2022年江苏省盐城市盐都区鹿鸣路中学中考数学二模试卷

这是一份2022年江苏省盐城市盐都区鹿鸣路中学中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中，最大的数是
A．1.2B．3C．0D．
2．（3分）下列图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
A．B．C．D．
3．（3分）计算的结果是
A．B．C．D．
4．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是
A．B．C．D．
5．（3分）下列整数中，与最接近的是
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）正六边形的内角和等于
A．B．C．D．
7．（3分）已知一次函数，随的增大而减小，则的值可能是
A．1B．2C．3D．5
8．（3分）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是
A．B．C．且D．且
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置）
9．（3分）4是 的算术平方根．
10．（3分）方程的根是 ．
11．（3分）已知，则的补角 ．
12．（3分）如图，已知，平分，，则的度数是 ．
13．（3分）函数中，自变量的取值范围是 ．
14．（3分）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
15．（3分）如图，是函数图象上的一点，是轴上任意一点，过点作轴的垂线，交函数在第一象限内的图象于点，交轴于点，连接，，则的面积为 ．
16．（3分）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：．其中．
19．（8分）解不等式组．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于4，求的取值范围．
21．（8分）某校为了了解家长和学生的参与“防疫教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：．仅学生自己参与；．家长和学生一起参与；．仅家长自己参与；．家长和学生都未参与，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生？
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数 ；
（3）根据抽样调查结果，估计该校3200名学生中“家长和学生一起参与”的人数．
22．（10分）4月18日上午，2021盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地约15000名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小军和小峰参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小军和小峰被分到同一个项目组的概率．
23．（10分）在某市双城同创的工作中，某社区计划对的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
（2）若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
24．（10分）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．（10分）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
（1）求点到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长；
（3）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到
26．（12分）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过，两点，与对称轴交于点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）直线交线段于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（4）点在对称轴上，满足，求出点的坐标．
27．（14分）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
【初步探究】
（1）若，，（即点到的距离为．
①与之间的距离为，求此时的面积；
②与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含、、的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
2022年江苏省盐城市盐都区鹿鸣路中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填涂在答题卡指定的位置）
1．（3分）下列各数中，最大的数是
A．1.2B．3C．0D．
【分析】利用有理数的大小比较判断．
【解答】解：在有理数1.2，3，0，中，最大的数是3．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较．
2．（3分）下列图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：即不是中心对称图形也不是轴对称图形的是第二个图形，
故选：．
【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．
3．（3分）计算的结果是
A．B．C．D．
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
4．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
5．（3分）下列整数中，与最接近的是
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用，进而得出答案．
【解答】解：，
与最接近的是2．
故选：．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确记忆的近似值是解题关键．
6．（3分）正六边形的内角和等于
A．B．C．D．
【分析】根据边形的内角和可以表示成，即可求得六边形的内角和．
【解答】解：六边形的内角和是．
故选：．
【点评】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．
7．（3分）已知一次函数，随的增大而减小，则的值可能是
A．1B．2C．3D．5
【分析】利用随的增大而减小可得的范围，再选出符合条件的答案即可．
【解答】解：随的增大而减小，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据题干信息求出的范围．
8．（3分）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是
A．B．C．且D．且
【分析】根据△决定抛物线与轴有两个交点，得到△，，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得：，
由于该函数为二次函数，
则．
且．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，关键是二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置）
9．（3分）4是 16 的算术平方根．
【分析】如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：，
是16的算术平方根．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．
10．（3分）方程的根是 ， ．
【分析】因为可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得，
解得，．
故答案为，．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
11．（3分）已知，则的补角 114.5 ．
【分析】根据补角的定义解决此题．
【解答】解：，
的补角等于．
故答案为：114.5．
【点评】本题主要考查补角，熟练掌握补角的定义是解决本题的关键．
12．（3分）如图，已知，平分，，则的度数是 ．
【分析】先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到的度数，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
平分，
，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
13．（3分）函数中，自变量的取值范围是 且 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案是：且．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14．（3分）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： 两直线平行，同位角相等 ．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15．（3分）如图，是函数图象上的一点，是轴上任意一点，过点作轴的垂线，交函数在第一象限内的图象于点，交轴于点，连接，，则的面积为 ．
【分析】连接，，得到和的面积相等，然后由反比例函数系数的几何意义求得和的面积，进而得到的面积．
【解答】解：如图，连接，，
轴于点，
轴，，
是函数图象上的一点，点是函数图象上一点，
，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟知平行线之间的距离处处相等得到和的面积相等．
16．（3分）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 4或或 ．
【分析】由勾股定理求出，设，则，；分三种情况讨论：
①当时，列出方程，解方程即可；
②当时，在的垂直平分线上，得出，列出方程，解方程即可；
③当时，作于，则，由射影定理求出，再解方程即可．
【解答】解：由翻折变换的性质得：，
，，，
，
设，则；
分三种情况讨论：
①当时，，
解得：，
；
②当时，在的垂直平分线上，
为的中点，
，
，
解得：，
；
③当时，作于，如图所示：
则，
根据射影定理得：，
，
即，
解得：，
；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为：4或或；
故答案为：4或或．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．
三、解答题
17．（6分）计算：．
【分析】根据平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计算即可求得结果．
【解答】解：
．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式等知识点的运算．
18．（6分）先化简，再求值：．其中．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
19．（8分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一实数根大于4，求的取值范围．
【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别是，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得的取值范围．
【解答】（1）证明：△，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根分别是，，
解方程得，
，．
由题意可知，即．
的取值范围为．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组．
21．（8分）某校为了了解家长和学生的参与“防疫教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：．仅学生自己参与；．家长和学生一起参与；．仅家长自己参与；．家长和学生都未参与，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 200 名学生？
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数 ；
（3）根据抽样调查结果，估计该校3200名学生中“家长和学生一起参与”的人数．
【分析】（1）“．仅学生自己参与”的有40人，占调查人数的，可求出调查人数；
（2）求出“，家长和学生一起参与”的人数，即可补全条形统计图；类的有30人，占调查人数的，因此圆心角的度数是的．
（3）样本中“家长和学生都参与”占整体的，因此估计该校1600名学生中“家长和学生都参与”的也占．
【解答】解：（1）这次抽样调查中，调查的学生人数为（名，
故答案为：200；
（2）（名，补全条形统计图如图所示：
在扇形统计图类所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
（3）（名，
答：该校3200名学生中“家长和学生都参与”的有1920人．
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提．
22．（10分）4月18日上午，2021盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地约15000名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小军和小峰参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为 ．
（2）用树状图或列表法求小军和小峰被分到同一个项目组的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小军和小峰被分到同一个项目组的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小军被分配到半程马拉松项目组的概率为，
故答案为：；
（2）把三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松，分别记为：、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小军和小峰被分到同一个项目组的结果有3种，
小军和小峰被分到同一个项目组的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）在某市双城同创的工作中，某社区计划对的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？
（2）若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天，列方程求解；
（2）设应安排甲队工作天，乙队的工作天，列不等式求解．
【解答】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，
根据题意得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
，
答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；
（2）设安排甲队工作天，乙队工作天，
由题意得：，
整理得：，
，
，
，
费用，
当时，（万元），
答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为4.6万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用等知识，找准数量关系，正确列出方程好不等式是解题的关键．
24．（10分）如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，是的直径，
是的切线，
是的切线；
，
，
，
解得．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
（1）求点到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长；
（3）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到
【分析】（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
（2）根据弧长公式解答即可；
（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
【解答】解：（1）如图，过点作于点，交于点，
，，
，
；
（2）点是点绕点旋转得到，
点经过的路径长为；
（3）在上取，，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时，
汽车高度为，
，
，，
，，，
，
，
汽车能安全通过．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过，两点，与对称轴交于点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点的坐标；
（3）直线交线段于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（4）点在对称轴上，满足，求出点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出、点坐标，过点作轴交于点，设，则，则，当时，的面积有最大值3，此时；
（3）设，当时，，可求，再由，求出或，则或；当时，，可求，再由，求出，或，，则或；
（4）设，以为圆心4为半径做圆，圆与直线的交点为点；以为圆心4为半径作圆，圆与直线的交点为，求出点坐标即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
将点，，代入，
，
解得，
；
直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2），
，，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值3，
此时；
（3），，，
，，，
设，
，
，
当时，，
，
，
，
解得或，
或，
点在上，
或；
当时，，
，
解得，
，
解得或，
，或，，
或；
综上所述：的值为3或或2或；
（4），，
，
，
以为圆心4为半径做圆，圆与直线的交点为点，
设，
，
解得（舍或，
；
以为圆心4为半径作圆，圆与直线的交点为，
，
解得或（舍，
；
综上所述：点坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
27．（14分）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
【初步探究】
（1）若，，（即点到的距离为．
①与之间的距离为，求此时的面积；
②与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；
③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含、、的代数式表示）
②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）①当时，，将代入即可；
②过作，垂足为，分别与、相交于点、，当时，；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明，运用相似三角形性质即可得出结论．
③根据②的结论进行分析计算即可；
（2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半；延长、交直线于、，则为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作于交于，证明，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可．
【解答】解：（1）①当时，，
当时，；
与之间的距离为时的面积为；
②如图1，过作，垂足为，分别与、相交于点、，
当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
由题意可知，，，
，，
，
，
又、分别是、的对应高，
，即，
化简，得：．
；
综上可知，当时，；当时，；
③当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
综上所述，当时，最大，最大值是2．
因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．
（2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中、在、边上，、在边上，
易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，
即：底高，
在图3中，延长、交直线于、，
则为的中位线时，矩形的面积最大，
所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需与边平行的中位线在上方即可，
即，此时的最大，面积为的面积的一半．
作于交于，
，
，
，即，
，
矩形面积的最大值面积的一半．
故答案为：；．
②如图4，过点作的垂线交于点，作的垂直平分线交、于点、，线段即为所求．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理等知识，综合性强，难度较大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．