初中数学冀教版八年级下册第二十一章 一次函数21.1 一次函数教学设计

21.1 一次函数

正比例函数
【教材与学情分析】
本课是义务教育教科书《数学》八年级下册第二十一章一次函数第一节。这节课主要学习正比例函数的概念，同时为后续一次函数的学习打下基础。
学生在小学已经学习了正比例的定义，并通过第二十章的学习，对函数的概念有了初步的认识，了解研究函数中两个变量关系的一般方法，具备学习本课的理论基础和相应的学习经验。
【教学目标】
1．知识与技能目标：
理解正比例函数的概念，能根据所给的条件写出正比例函数的表达式.
2．过程与方法目标：
经历正比例函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识；
3．情感与态度目标：
（1）通过经历概念的建立、印证和拓展全过程，培养学生良好的数学思维品质；
（2）在探索交流的过程中获得成功的体验，增强自信心；
【重点难点】
教学重点：经历正比例函数概念的抽象过程，建立正比例函数的概念。
教学难点：正比例函数概念的形成。
【教法设计】
在教学中结合学生的认知基础，设计合理的学习活动，为学生抽取函数模型形成概念搭建支架.
【教学过程】
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图

一、
复习导入

小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程的关系如下表：
时间t/min
1
2
3
4
5
…
17.5

路程s/km
0.2
0.4
0.6
0.8
1
…
3.5

（1）当t=2min时，s=_____，_____；当t=5min时，s=_____，_____；
（2）小刚行驶的时间和路程成正比吗？为什么？
（3）s与t之间的函数关系式为________.

学生独立解答并展示。
在学习活动中学生回忆正比例和函数的相关知识，并为正比例函数的学习做好准备.

二、
概念形成
活动一：
1.小亮每小时读20页书，若读书时间用字母t(h)表示，读过书的页数用字母m（页）表示，则用t表示m的函数表达式为____________；
2.小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元。若购买铅笔的数量用n（支）表示，花钱的总数用w（元）表示，则用n表示w的函数表达式为____________；
3.拧不紧的水龙头每分钟滴100滴水，每滴水约0.05ml，设tmin后，水龙头滴水Vml，则用t表示V的函数表达式为__________；

在实际背景下建立函数模型.

提供有代表性的典型事例，为概念的形成提供素材．

活动二：
观察在前面活动中所获得的函数关系式：
①，②，③，④
这些函数都叫做正比例函数.
下面这些不是正比例函数：
⑤，⑥，⑦
（1）①～④函数关系式有哪些共同之处？
（2）如果用表示自变量，用表示因变量，表示自变量的系数，正比例函数关系式可以写成什么形式？

学生独立思考后交流讨论。

抽取共性，用数学语言和符号表示概念．
活动三：
例1：下列函数中，哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)

例2：有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.
(1)求收割的面积y（公顷）与收割时间x(h)之间的函数关系式；
(2)求收割完这块麦田需要的时间.

学生独立解答并展示。
通过概念辨析与应用，把新概念纳入到已有的概念体系中.

三、
巩固提升
1.判断下列问题中哪两个量具有正比例关系
（1）向圆柱形水杯中加水，水的体积与高度；
（2）正方形的面积与它的边长；
（3）小丽录入一篇文章，她的打字速度与所用的时间；
（4）人的体重与身高.
2.填空
（1）已知函数，当时，______；
（2）已知函数，当时，______；
（3）已知函数，当时，，______；


学生独立解答并展示。
深化对正比例函数概念的理解。

四、回顾反思

1.本节课我们收获了哪些知识？
2.我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程？
3.通过这个研究过程，你有什么感受和体会？

学生独立思考后组内交流收获，最后由各小组选派代表展示.

通过有意识地引导学生回顾学习过程，积累学习活动经验，加强学生对自己的学习过程的认知.

五、
课后作业

必做题：P86页A组：1，2，3
选做题：P86页B组：4
课后完成。
分层次布置作业，关注不同学生的需要。

一次函数

知识技能目标

1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标；

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.

过程性目标

1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活；

2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题．

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？

（一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）.

2.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线？

（正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）.

3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？

4.在平面直角坐标系中,画出函数的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?

二、探究归纳

1.在画函数的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y轴上，点(2,0)在x轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.

2.求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.

分析 x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0．由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值．

解 因为x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0，所以当y＝0时，x＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝-3，点(0，-3)就是直线与y轴的交点.

过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y＝-2x-3.

    所以一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是.

三、实践应用

例1 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.

分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.

解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.

例2 求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.

分析 求直线与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线与x轴、y轴的交点与原点的距离.

解 当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3).

.

例3 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.

分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.

讨论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？

2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能找出几个例子加以说明.

例4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为．画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？

分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30．

解 函数(x≥30)图象为：

当y＝0时，x＝30.

所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.

例5 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．

(1)画出函数的图象；

(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.

分析 画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.

解 (1)函数的图象是：

(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.

四、交流反思

1.一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是；

2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.

五、检测反馈

1.求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一直角坐标系中画出它们的图象.

(1)y＝4x-1；          (2).

2.利用例3的图象，求汽车在高速公路上行驶4小时后，小明离北京的路程.

3.已知函数y＝2x-4.

(1)作出它的图象；

(2)标出图象与x轴、y轴的交点坐标；

(3)由图象观察，当-2≤x≤4时，函数值y的变化范围.

4.一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.

5.某水果批发市场规定，批发苹果不小于100千克时，批发价为每千克2.5元．小王携带现金3000元到这市场采购苹果，并以批发价买进．如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围，画出这个函数的图象．

感谢您下载使用【班海】教学资源。班海——老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！