人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推当堂达标检测题

【精选】5.1.2 数列中的递推练习

一．单项选择

1．在数列中，，则（    ）

A． B．2 C．1 D．

2．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（    ）

A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项

3．已知数列满足：，则下列选项正确的是（    ）

A．时， B．时，

C．时， D．时，

4．数列，，，，的第14项是　　

A． B． C． D．

5．数列的通项公式为，则（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

6．无穷数列由k个不同的数组成，前n项和为，若对，则k的最大值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知数列的前项和为，若，，，则可能的不同取值的个数为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

9．著名的波那契列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N)，那么1+a3+a5+a7+a9++a2021是斐波那契数列中的（    ）

A．第2020项 B．第2021项 C．第2022项 D．第2023项

10．设数列的前n项和为，且，则（    ）．

A．12 B．13 C．16 D．32

11．数列满足性质：对于任意的正整数n，都成立，且，，则a10的最小值为（    ）

A．18 B．20 C．28 D．58

12．若正项数列中，，，则的值是（    ）

A． B．

C． D．

13．已知数列满足，，则（    ）

A．0.5 B．2 C．-0.5 D．1.5

14．已知数列满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

15．由正整数组成的数对按规律排列如下：，，，，，，，，，，，，.若数对满足，，则数对排在（    ）

A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】先求，，再判断数列是周期为2的周期数列，最后求即可.

详解：因为，所以，则数列是周期为2的周期数列，故．

故选：B.

【点睛】

本题考查数列的递推关系，属于基础题.

2．【答案】C

【解析】分析：由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.

详解：依题意得，设数列的最大项为，于是有，

从而得，整理得：，解得，而，则，

所以数列各项中最大项是第15项.

故选：C

3．【答案】D

【解析】分析：由函数的单调性，可判定A．B不正确； 由，得到，得到，可判定C错误，D正确.

详解：对于A中，由于，则，

又由函数，当时为单调递减函数，

可得，所以，所以A错误.

对于B中，由于，且，

由在上单调递增，

可得，所以B错误

对于C．D中，由于，可得，

当，时，可得，所以C不正确；

又由当，可得，从而，

利用叠加法，可得，

故当时，，所以D正确.

故选：D.

【点睛】

方法点拨：构造函数，结合函数的单调性，是判定与的大小关系的关键；同时化简，得到是解答的关键.

4．【答案】D

【解析】数列，，，，的通项公式为，

，

故选D．

5．【答案】B

【解析】根据数列的通项公式，代入，即可求解.

详解：由题意，通项公式为，

则

故选：

【点睛】

本题考查数列的通项公式，属于基础题.

6．【答案】B

【解析】分析：对任意，依次列举的值，归纳可得的值与前面的某个值相同，则k的最大个数为4.

详解：只需考虑数列的前几项有多少个互不相同的数即可，

若，则，

当，则，此时的值必与前面的某个值相同；

当，则，

若，则，此时的值必与前面的某个值相同；

若，则，此时的值必与前面的某个值相同；

综上，当时，，

同理，当时，，

所以.

故选：B

7．【答案】C

【解析】分析：分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.

详解：对于A，的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件；

对于B，的前4项为0,2，0,2，不符合条件；

对于C，的前4项为1,0，1,0，符合条件；

对于D，的前4项为0,2，0,2，不符合条件；

故选：C

8．【答案】D

【解析】分析：依题意可知数列是以3为周期的数列，且，，两两不同，且前100项和与最后一位的取值有关，从而可得答案．

详解：∵，，，

∴数列是以3为周期的数列，且，，两两不同，

从0，1，2，3四个数中取3个，对应，，(其和与，，的顺序无关)共有种方法，

又，前100项和与最后一位的取值有关，故有3种情况，

故可能的不同取值的个数为个，

故选：D.

9．【答案】C

【解析】分析：利用递推关系，将所求关系式中的“1”换为，再利用即可求得答案．

详解：因为，

所以

，

故选：C．

【点睛】

本题考查数列递推式，理解斐波那契数列，中递推关系的应用是关键，属于中档题．

10．【答案】D

【解析】分析：知求，作差求出的递推式，然后求出数列的通项公式，代入即可求出结果.

详解：当时，，可得；

当时，，即；

∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为，.

故选：D

11．【答案】C

【解析】分析：令，根据已知不等式可以判断出，根据之间的关系进行求解即可.

详解：令，由得，即.

又，，

即，，，

即，.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：根据已知不等式的结构，构造新数列，利用累和法进行求解.

12．【答案】A

【解析】分析：设，则，利用变形，可得数列是首项为，公差为的等差数列，求出，由此再求出，可得.

详解：设，则，

当时，，得，因为，所以，

当时，，得，

得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，因为数列是正项数列，所以，所以，

所以当时，，

又时，也适合上式，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用变形，得到数列是首项为，公差为的等差数列，求出是解题关键.

13．【答案】A

【解析】分析：根据数列的递推公式，可知数列是以3为周期的周期数列，即可得出答案.

详解：解：因为，，

所以，

，

，

，

所以数列是以3为周期的周期数列，

所以.

故选：A.

14．【答案】C

【解析】分析：由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．

详解：由题意，

由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，

所以．

故选：C．

15．【答案】D

【解析】分析：先求出的值，再根据数对的特点推出数对的位置

详解：解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；，第组为，数对中两数的和为，共个数，

由，得，

因为，所以，解得，

所以，

在所有数对中，两数之和不超过19的有个，

所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17），

所以数对（3，17）排在第174位，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由，得，解出的值，考查计算能力，属于中档题