高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用精练

【精编】2.2.4均值不等式及其应用课时练习

一、单选题

1．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．4

4．已知，则的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．6

5．设实数、满足，且.则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．现将一物体放在左、右托盘各称一次，称量结果分别为和，设该物体的真实质量为，则（    ）

A． B． C． D．

7．若，且，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．

8．已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(    )

A．2 B．4 C．9 D．16

9．设x＞0，则函数的最小值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

10．a，b∈，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是（    ）

A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|

C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|

11．若，则的最小值等于（     ）

A．0 B．1 C．2 D．3

12．若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．5

13．若正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

14．若－4<x<1，则（    ）

A．有最小值1 B．有最大值1

C．有最小值－1 D．有最大值－1

15．下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

参考答案与试题解析

1．B

【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故选：B

2．B

【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.

解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.

【详解】解法一：当时，满足，但，不成立，故是的不充分条件；

当时，不成立，当时无意义，即不成立，故是的必要条件；

综上，是的必要不充分条件.

解法二：当时，，，当且仅当时取等号，

所以是的不充分条件；

若，则，所以,故是的必要条件；

综上，是的必要不充分条件.

故选：B.

3．C

【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.

【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：C

4．B

【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.

【详解】因，则，

当且仅当且，即时取“=”，

所以当时，取最小值.

故选：B

5．C

【解析】由已知，分别讨论，两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得的最小值.

【详解】由题意可知，.

当时，，

当且仅当且，即，时取等号，

当时，，

当且仅当且时取等号，

综上可得，的最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.

6．B

【分析】设天平的两臂的长度分别为和，得到且，且，结合基本不等式，即可求解.

【详解】设天平的两臂的长度分别为和，

若两次称量结果分别为，则有且，且，

两式联立可得，即，

又由，可得，则.

故选：B.

7．D

【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.

【详解】因，且，则，即有，同理，

由得：，

于是得，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：D

8．B

【分析】求出(x+y)()的最小值，转化为该最小值不小于9，即可解得.

【详解】(x+y)()=1+a++≥1+a+2=(1+)2，

当且仅当=时取等号.

所以(1+)2≥9，所以a≥4.

故选：B

9．A

【解析】根据x＞0，将函数转化为，利用基本不等式求解.

【详解】因为x＞0，

所以函数，

当且仅当 ，即时取等号，

故函数的最小值为0

故选：A

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想，属于基础题.

10．D

【分析】利用作差法，求得结果，判断正负，则问题得解.

【详解】∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，

∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立).

故选：.

【点睛】本题考查利用作差法比较大小，属基础题.

11．D

【分析】将变形为，即可利用均值不等式求最小值.

【详解】因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3.

故选：D.

12．A

【分析】根据基本不等式即可直接求出的最小值.

【详解】因为，所以，

当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.

故选：A.

13．B

【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.

【详解】因为，则，又，是正数.

所以，

当取得等号，即且时取等号，

所以的最小值为9，

故选：B.

14．D

【分析】先将转化为，根据－4<x<1，利用基本不等式求解.

【详解】

又∵－4<x<1，

∴x－1<0．

∴－(x－1)>0．

∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

故选：D

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.

15．D

【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；

【详解】解：对于A：若、时，故A错误；

对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；

对于C：若、时，，故C错误；

对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；

故选：D