高中数学2.5.1 椭圆的标准方程课后练习题

【精编】2.5.1 椭圆的标准方程-2课时练习

一．填空题

1．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标，且为锐角，的取值范围为______．

2．已知命题：方程表示焦点在x轴上的椭圆．命题：实数满足，其中．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_________.

3．已知圆的圆心为，设为圆上任一点，且点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程是___________.

4．设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为___________.

5．设椭圆的左焦点为？右准线为，若上存在点，使得线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率的最小值为_____________.

6．椭圆的长轴为为短轴一端点，若，则椭圆的离心率为_________.

7．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为______.

8．的焦点为F1．F2，点Р在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的大小为_________.

9．若椭圆的一个焦点是，则______．

10．椭圆的一个焦点是，那么_______.

11．已知圆：，定点，动圆过点，且与圆相内切，那么点的轨迹的方程为________.

12．如图，已知P为椭圆C：上的点，点A．B分别在直线与上，点O为坐标原点，四边形为平行四边形，若平行四边形四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．

13．已知双曲线（）与直线交于，两点，其中点在点的上方，若，（为坐标原点），则的离心率为______；

14．给出下列结论：动点分别到两定点，连线的斜率之积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左．右焦点，则下列命题中：

（1）曲线的焦点坐标为，；

（2）曲线上存在一点，使得；

（3）为曲线上一点，，，是一个直角三角形的三个顶点，且，的值为；

（4）设动点在曲线上，则的最大值为；

其中正确命题的序号是________________．

15．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆方程为_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案.

详解：由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，,

所以该圆的方程为：，

由，消去y得：解得,

又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，

由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，

∴为使为锐角，的取值范围是

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的方程与性质，关键是有题意得到P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，注意由为锐角，可知P不在x轴上，还要注意结合椭圆的范围求解.

2．【答案】

【解析】分析：先求出命题和对应的集合，由题可得或，即可列式求出.

详解：对于命题，方程表示焦点在x轴上的椭圆，

，解得，

故命题对应的集合为，

对于命题，由可得，

，，

故命题对应的集合为或，

是的必要不充分条件，

或，

或，解得或，

，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．

3．【答案】

【解析】分析：由题意得出，得到点满足，根据椭圆的定义，求得点表示为焦点的椭圆，即可求解.

详解：由题意，圆的圆心为，点，

线段的垂直平分线交于点，

所以是的垂直平分线上的一点，所以，

又由，所以点满足，

根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中，

可得，所以，

所以椭圆的方程为.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解.

详解：椭圆的焦点为，

在中，由正弦定理得：，

解得，，

设，

在中，由余弦定理得：，

解得，

所以，

又，

所以，

整理得，即，

解得或（舍去）

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：利用根据椭圆的准线方程，设点，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得，又，解不等式即可得离心率的最小值.

详解：由，得，，

设点，故中点为，

又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得，

整理得，故，

又，整理得，，

即，，

故答案为：.

【点睛】

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

6．【答案】

【解析】分析：由，可得出，从而得出，的关系，进行恒等变形，求出椭圆的离心率.

详解：由题意椭圆的长轴为，为短轴的一端点，若，得出，

故，由此知，即，即整理得

解得

故答案为：．

7．【答案】或

【解析】分析：分别讨论椭圆焦点在轴和轴上两种情况，采用待定系数法，根据和椭圆过可求得结果.

详解：①当椭圆焦点在轴时，设其方程为，

长轴长是短轴长的倍，，又椭圆过，

，解得：，，标准方程为；

②当椭圆焦点在轴时，设其方程为，

长轴长是短轴长的倍，，又椭圆过，

，解得：，，标准方程为；

综上所述：所求椭圆的标准方程为或.

故答案为：或.

【点睛】

易错点睛：采用待定系数法求解椭圆标准方程时，需注意椭圆焦点位置，若焦点位置不确定，需对焦点在轴和轴两种情况进行讨论.

8．【答案】

【解析】分析：根据椭圆的定义可得，结合，三角形中利用余弦定理求解即可.

详解：由椭圆

可得:,,.

根据椭圆定义可得:, ,

可得，解得:.

在三角形中由余弦定理:,

所以

故答案为: .

9．【答案】

【解析】分析：化简椭圆方程为标准方程，然后利用焦点坐标，列出方程求解即可.

详解：将椭圆化成标准方程：

椭圆的一个焦点是，即椭圆是焦点在x轴上的椭圆，

，解得：

故答案为：

10．【答案】1

【解析】分析：先将椭圆方程转化为标准方程，再根据一个焦点是，确定，再利用a，b，c的关系求解.

详解：椭圆的标准方程为：，

因为一个焦点是，

所以焦点在x轴上，且，

则，

所以，

解得，

故答案为：1

11．【答案】

【解析】分析：由题意分析知：动圆的圆心到．的距离之和等于圆的半径，即可知为椭圆轨迹，写出轨迹方程.

详解：由题意，动圆M的半径为，圆的圆心，半径，且圆与圆相内切，

∴，即动点到两定点．的距离之和为定值，且大于，

有，，

∴根据椭圆定义知：M的轨迹C为，

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：方法一：首先设点，利用平行四边形的性质求直线和的方程，并接到点的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到，求椭圆的离心率；方法二：首先设，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行，利用四边形性质边长平方和等于为定值，求椭圆的离心率.

详解：（法一）设，则直线的方程为，直线方程为，联立方程组，解得，

联立方程组，解得，

则，

又点P在椭圆上，则有，因为为定值，

则．

法二：设，由和中点相同，则，

所以

平行四边形性质边长平方和等于为定值，

又点P在椭圆上，则有，因为为定值，则．

故答案为：

【点睛】

方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.

13．【答案】

【解析】分析：求出点A的坐标，由双曲线的对称性可得60°，利用勾股定理即可求得a与b的关系式，从而可求得离心率.

详解：设直线l与x轴的交点为M，双曲线C的下焦点为F2,

将x=-2b代入双曲线C的方程，可得，

由双曲线的对称性知,

又,

所以∠POA=60°,则∠AOM=30°,

易知|OM|=2b, |AM|=,则,

所以,

可得

所以

故答案为：

14．【答案】（3）（4）

【解析】分析：求出轨迹方程，确定轨迹是椭圆的一部分，求得，然后利用椭圆的性质求解判断．

详解：∵动点分别到两定点，连线的斜率之积为，∴，整理，得曲线的方程为：，．曲线是椭圆的一部分，，

在（1）中，∵．分别为曲线的左．右焦点，，∴曲线的焦点坐标为，，故（1）错误；

在（2）中，曲线上任意一点，，故（2）错误；

在（3）中，，，，的值为，故（3）对；

在（4）中，当，，共线时，的最大值为，故（4）正确．

故答案为：（3）（4）．

15．【答案】

【解析】分析：设椭圆方程为（,,且）,将两点坐标代入椭圆方程，求出即可.

详解：设椭圆方程为（,,且）.

椭圆经过两点，则,解得,

所以所求椭圆方程为.

故答案为：