高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列评课ppt课件

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1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.(数学抽象)2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.(数学抽象)3.会求简单的离散型随机变量的分布列.(数学运算)
在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,…,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,则变量X取值情况如何?(变量X的结果可由0,1,…,10这11个数表示)
一、离散型随机变量1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
名师点析 (1)所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的.(2)随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.
微思考随机变量和函数有类似的地方吗?提示 随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域.
微练习1将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,则可以作为随机变量的是(　　)A.第一次出现的点数　　　　B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和 D.两次出现相同点的种数答案 C
微练习2下列随机变量中,不是离散型随机变量的是(　　)A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化,该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数YD.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和Z
二、概率分布列1.分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列,分布列的表格表示如下:
名师点析 对分布列的理解应注意的问题(1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和图象表示.(2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数字特征的基础.
2.离散型随机变量分布列的性质(1)pi ≥ 0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn= 1 .
名师点析 对分布列性质的理解(1)离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求出分布列中的未知数.(2)离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
微练习(1)一个盒子中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒子中随机取出一个球.若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒子中随机取出一球所得分数ξ的分布列.
(2)已知离散型随机变量X的分布列为
我们称X服从两点分布或0—1分布.
微练习设某试验成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ去描述一次试验的成功次数,则P(ξ=0)等于(　　)
解析 由题意知ξ=0表示试验失败,ξ=1表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p,ξ的分布列如下.
例1下列变量是离散型随机变量的是　　　　.(填序号) ①下期某闯关节目中过关的人数;②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;③在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;④江西省九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
解析 ①是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.②不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.③是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列出.④不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值不能按一定次序一一列出.
延伸探究将本例的(4)改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29 m),X是离散型随机变量吗?
反思感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是不是随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值是不是有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.
变式训练1①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;②某网站中某歌曲一天内被点击的次数;③射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散型随机变量的是(　　)A.①②③B.仅①②C.仅①③D.仅②③答案 A
变式训练2写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数ξ;(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.
解 (1)ξ可能的取值为0,1,2,3,ξ=0表示遇到红灯的次数为0;ξ=1表示遇到红灯的次数为1;ξ=2表示遇到红灯的次数为2;ξ=3表示遇到红灯的次数为3.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.
例2从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球输1元,取出黄球无输赢.(1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列;(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
解 (1)依题意,当取到2个白球时,随机变量X=-2;当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1;当取到2个黄球时,随机变量X=0;当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1;当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2;当取到2个黑球时,随机变量X=4.所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4.
反思感悟求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并确定X=xi的意义;(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);(3)列成表格的形式.
变式训练3袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.
例3设离散型随机变量X的分布列为
求2X+1的分布列.
解 由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9,故2X+1的分布列为
延伸探究若例3的条件不变,求随机变量η=|X-1|的分布列.
解 由例3,知m=0.3.列表为
故P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.
故η=|X-1|的分布列为
反思感悟(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
例4一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即
(2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.
要点笔记两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.(2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.
分布列在实际生活中的应用典例某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果.A配方的频数分布表
(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率;(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系
从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
解 (1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,故X的分布列为
方法点睛本题已知条件中有表格,有函数关系式,出现的概念、术语较多,是比较综合的一道统计概率问题.解答此类问题的技巧和关键在于理解题意,明确各种术语的联系,利用求频率及分布列的思路和方法,逐步求解.
1.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②某道路斑马线一天经过的人数X;③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是(　　)A.①②③B.②③④C.①②④D.仅③④答案 C
2.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则ξ<2表示的试验结果是　　　　. 答案 取到1件次品、2件正品或取到3件正品解析 应分ξ=0和ξ=1两类.ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.故ξ<2表示的试验结果为取到1件次品,2件正品或取到3件正品.
3.下列随机变量不是离散型随机变量的是　　　　.(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X;②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X;③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;④虎门大桥一天经过的车辆数X.答案 ②
5.设ξ为一个离散型随机变量,其分布列为
则P(ξ≤0)=　　　　. 
6.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中所有的白球的个数;(2)求随机变量ξ的分布列;(3)求甲取到白球的概率.
解 (1)设袋中有n个白球,
解得n=3或n=-2(舍去).故袋中所有的白球的个数为3.(2)依题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,