数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义同步达标检测题

这是一份数学选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了[多选]下列说法中正确的是，即y＝2x－4.故选C.等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测 （十二）  导数的概念及其几何意义1．[多选]下列说法中正确的是(　　)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处的切线方程为x＝x0解析：选CD　f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在x＝x0处可能没有切线，也可能有切线x＝x0，故A错误；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线为直线x＝x0时，f′(x0)不存在，故B错误；C显然正确；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率不存在时，其切线方程为x＝x0，故D正确．2．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为(　　)A．y＝－2x＋4　　　　 B．y＝－2x－4C．y＝2x－4  D．y＝2x＋4解析：选C　因为＝＝，所以当Δx趋于0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)A．k1>k2  B．k2<k2C．k1＝k2  D．不确定解析：选D　k1＝＝＝2x0＋Δx；k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)A．－2  B．－1C．1  D．2解析：选D　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，∴ ＝ ＝x＋1，由x＋1＝3，得x＝2，即该切点的横坐标为2.5.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为(　　)A．－1  B．1C．2  D．3解析：选C　曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2)．因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.6．已知y＝，则y′＝________.解析：∵Δy＝－，∴＝，∴ ＝ ＝ ＝ ＝，即y′＝.答案：7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是____________．解析：由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx.∴y′x＝1＝ ＝2，∴所求直线的斜率k＝2.故直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝08．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝ ＝ ＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．解：∵直线5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－，∴f′(4)＝－.而f′(4)＝ ＝ ＝ ＝－，∴－＝－，解得a＝1.∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－，即切点坐标为.∵点在切线5x＋16y＋b＝0上，∴5×4＋16×＋b＝0，即b＝8，从而a＝1，b＝8.10．已知曲线y＝f(x)＝x3－3x上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求与曲线y＝f(x)相切且以P为切点的直线l的方程；(2)求与曲线y＝f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程．解：(1)f′(x)＝ ＝3x2－3，则过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，所以所求直线l的方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)(x0≠1)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x－3，所以直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．又直线l过点P(1，－2)，则－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－.故直线l的斜率为－，于是直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. 1．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点有(　　)A．0个  B．1个C．2个  D．无数个解析：选D　由题意，y＝f(x)＝sin x，则f′＝ ＝ .当Δx→0时，cos Δx→1，∴f′＝0.∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．2．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为(　　)A．(1,0)  B．(－1，－4)C．(1，－4)  D．(－1，－4)或(1,0)解析：选D　由f(x)＝x3＋x－2，得f′(x)＝ ＝ ＝ [3x2＋1＋(Δx)2＋3x·Δx]＝3x2＋1.设点P(x0，y0)，则有3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1.又点P(x0，y0)在曲线f(x)＝x3＋x－2上，所以y0＝－4或y0＝0，所以点P的坐标为(－1，－4)或(1,0)．故选D.3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则(　　)A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)解析：选A　由图可知，经过点(2，f(2))和点(4，f(4))的割线的斜率大于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率，且小于曲线y＝f(x)在点(4，f(4))处的切线斜率，即f′(2)<<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A.4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．解析：设P(x0,2x＋4x0)，则f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＋4.又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．答案：(3,30)5．已知曲线f(x)＝－x3＋2x2－3x＋1.(1)求该曲线的斜率为－3的切线方程；(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P，过点P作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．解：(1)f′(x)＝ ＝－x2＋4x－3.由－x2＋4x－3＝－3，解得x＝0或x＝4.又f(0)＝1，f(4)＝－.∴所求切线方程为y－1＝－3x或y＋＝－3(x－4)，即3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0.(2)∵f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，∴当x＝2时，切线的斜率取得最大值1，此时点P的坐标为.由题意，设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，∴＋＝1.S△OAB＝ab＝ab2＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＝6b时取“＝”．将a＝6b代入＋＝1，解得a＝4，b＝.∴△AOB面积的最小值为.