课时作业(五) 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行

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[练基础]
1．空间直角坐标中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2)
C．(2 ，－2,1) D．(1,2，－2)
3．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于( )
A．－3 B．0
C．1 D．3
4．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,1,2)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(x，－3，6)．若DE∥平面ABC，则x的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．5
5．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，y，\f(1,2)))，已知α∥β，则x＋y＝________.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
[提能力]
7．(多选)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列选项中，正确的是( )
A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β
C．v∥n1⇔l∥α D．v⊥n1⇔l∥α
8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为________．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[战疑难]
10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
课时作业(五)
1．解析：∵空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4，1,3)，
∴eq \(AB,\s\up10(→))＝(－2，－2,2)，eq \(CD,\s\up10(→))＝(1,1，－1)，
∴eq \(AB,\s\up10(→))＝－2eq \(CD,\s\up10(→))，
∴直线AB与CD平行．
故选A.
答案：A
2．解析：设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，∴eq \(AE,\s\up10(→))＝(0,2,1)，eq \(AF,\s\up10(→))＝(－1,0,2)
设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up10(→))＝2y＋z＝0,n·\(AF,\s\up10(→))＝－x＋2z＝0))，取y＝1，得x＝－4，z＝－2
∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量．
因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量．故选B.
答案：B
3．解析：由题意，得eq \(AB,\s\up10(→))＝(－1，－2－y，z－3)，则eq \f(－1,2)＝eq \f(－2－y,1)＝eq \f(z－3,3)，解得y＝－eq \f(3,2)，z＝eq \f(3,2)，所以y＋z＝0，故选B.
答案：B
4．解析：设平面ABC的一个法向量为
n＝(x′，y′，z′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up10(→))＝0,n·\(BC,\s\up10(→))＝0))，
从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＋5y′－2z′＝0,3x′＋y′＋2z′＝0))，则可令n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，－2，－\f(7,2)))，
又DE∥平面ABC，则eq \(DE,\s\up10(→))·n＝0，
则x＝5.
答案：D
5．解析：因为α∥β，所以u∥v.则eq \f(x,－1)＝eq \f(1,y)＝eq \f(－2,\f(1,2))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－\f(1,4)，))故x＋y＝eq \f(15,4).
答案：eq \f(15,4)
6．证明：(1)以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up10(→))，eq \(DC,\s\up10(→))，eq \(DD1,\s\up10(→))分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．
由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以eq \(DA,\s\up10(→))＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．
由于eq \(MN,\s\up10(→))＝(0,1，－1)，则eq \(MN,\s\up10(→))·eq \(DA,\s\up10(→))＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以eq \(MN,\s\up10(→))⊥eq \(DA,\s\up10(→)).
又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由于eq \(MP,\s\up10(→))＝(0,2,0)，eq \(DC,\s\up10(→))＝(0,2,0)，所以eq \(MP,\s\up10(→))∥eq \(DC,\s\up10(→))，即MP∥DC.
由于MF⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.
又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.
7．解析：A选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，正确；B选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，正确；C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误；D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误．故选AB.
答案：AB
8．解析：∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使eq \(AP,\s\up10(→))＝k1eq \(AB,\s\up10(→))＋k2eq \(AC,\s\up10(→))，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k1＋6k2＝－2，,k1＋4k2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝－4，,k2＝1.))
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
答案：11
9．解析：
如图所示，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，eq \(OP,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \(BD1,\s\up10(→))＝(－1，－1,1)，∴eq \(OP,\s\up10(→))∥eq \(BD1,\s\up10(→))，∴OP∥BD1. eq \(AP,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(BQ,\s\up10(→))＝(－1,0，z)，
当z＝eq \f(1,2)时，eq \(AP,\s\up10(→))＝eq \(BQ,\s\up10(→))，
即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
10．解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)
则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))
eq \(AB1,\s\up10(→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，eq \(DP,\s\up10(→))＝(0，－1，b)，
∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，设eq \(DP,\s\up10(→))＝λeq \(AB1,\s\up10(→))＋μeq \(AE,\s\up10(→))，
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μa,2)，μ，λ)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λa＋\f(μ,2)a＝0，,μ＝－1，,λ＝b，))∴b＝λ＝eq \f(1,2)，即AP＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)