课时作业(十六) 圆的标准方程

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1．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
2．方程y＝eq \r(9－x2)表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
3．若点(4a－1,3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．|a|＜eq \f(\r(5),5) B．|a|＜1
C．|a|≤eq \f(\r(5),5) D．|a|≤1
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
5．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
6．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[提能力]
7．(多选)实数x，y满足(x＋1)2＋y2＝1，则下列关于eq \f(y,x－1)的判断正确的是( )
A.eq \f(y,x－1)的最大值为eq \r(3) B.eq \f(y,x－1)的最小值为－eq \r(3)
C.eq \f(y,x－1)的最大值为eq \f(\r(3),3) D.eq \f(y,x－1)的最小值为－eq \f(\r(3),3)
8．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．
9．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝eq \f(1,4)，求eq \r(x－22＋y－32)的取值范围．
[战疑难]
10．已知曲线C：x2＋y2＝2，点A(－2,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．[－4,4]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
课时作业(十六)
1．解析：已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.故选A.
答案：A
2．解析：y＝eq \r(9－x2)可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．故选D.
答案：D
3．解析：由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴|a|≤1.故选D.
答案：D
4．解析：直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝0,－x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2))
∴C(－1,2)．
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C
5．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))，即圆心为(2,4)，从而r＝eq \r(2－02＋4－02)＝2eq \r(5)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
6．解析：方法一 如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝eq \r(|AC|2－|AO|2)＝eq \r(52－42)＝3.
设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25
方法二 由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
7．解析：由题意知(x＋1)2＋y2＝1为圆心是C(－1,0)，半径为1的圆．
由eq \f(y,x－1)为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值．
过P(1,0)点的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
圆心到直线的距离d＝r，即eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，整理可得3k2＝1
解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
所以eq \f(y,x－1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，即eq \f(y,x－1)的最大值为eq \f(\r(3),3)，最小值为－eq \f(\r(3),3)，故选CD.
答案：CD
8．解析：
如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为eq \f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq \r(5)，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5.
9．解析：
(1)方法一 如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时eq \f(y,x)最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，
在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝eq \r(3).
∴切线l的倾斜角为60°，
∴eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3).
同理可得eq \f(y,x)的最小值为－eq \r(3).
法二：令eq \f(y,x)＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，
消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，
Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，
∴－eq \r(3)≤n≤eq \r(3)，即eq \f(y,x)的最大值、最小值分别为eq \r(3)、－eq \r(3).
(2) eq \r(x－22＋y－32)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝eq \r(0－22＋1－32)＝2eq \r(2).
由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(1,2)，2\r(2)＋\f(1,2))).
即eq \r(x－22＋y－32)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(1,2)，2\r(2)＋\f(1,2))).
10．解析：
由直线AB过点A(－2,0)及点B(2，a)，可得直线AB的方程为：
eq \f(y,a)＝eq \f(x＋2,2＋2)，
即：eq \f(a,4)x－y＋eq \f(a,2)＝0，由题意可得圆心到直线的距离大于半径，如图．
故eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)))2＋12))＞eq \r(2)，解得a＞4或a＜－4，故a的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)，故选A.
答案：A