如皋市石庄镇初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

如皋市石庄镇初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（每小题2分，共20分）

1. 如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是(   )

A. AC＝BD B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB＝BC

2. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A. 12 B. 6 C. 4 D. 3

3. 正比例函数y= - 4x的图象经过的象限是（　　）

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

4. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （    ）

A.  B.

C  D.

5. 若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）

A. 2 B. 8 C. ﹣2 D. ﹣8

6. 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（  ）

A. 1cm B. cm C. 3cm D. 4cm

8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（　　）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 8

9. 如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变

10. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）

A. ①②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④

二、填空题（每小题2分，共16分）

11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．

12. 函数中，自变量的取值范围是________.

13. 已知，A（2，y1），B（-1，y2）在正比例函数y= -2x上，则y1____y2．（用 >、<或=填空）

14. 如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 _____度．

15. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

16. 如图，长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，则CE的长 _____．

17. 如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是______．

18. 如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为     ．

三、解答题（共8大题，共64分）

19. 已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．

20. 请用无刻度直尺按要求在网格中作图，并标明字母（辅助线可用虚线作出，以下作图请勿超出网格范围）．

（1）作出平行四边形ABDC；

（2）以AC为边，作出正方形ACMN；

（3）作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线．

21. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小红家到舅舅家的路程是 　 　米，小红在商店停留了 　 　分钟；

（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？

（3）本次去舅舅家行程中，小红一共行驶了多少米？

22. 如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD长．

23. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长．

24. 如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．

25. 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．

（1）[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．

 A．平行四边形    B．对角线互相垂直的四边形   C．对角线相等的四边形

（2）等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：

如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．

求证：BO＝DO．

（3）[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．

①求证：∠BCE＝2∠DAC；

②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．

26. 如图，在正方形中，边长为3，点M，N边，上两点，

且，连接，；

（1）则与的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）若点E，F分别是与中点，计算的长；

（3）延长至P，连接，若，试求的长．

答案与解析

一、选择题（每小题2分，共20分）

1. 如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是(   )

A. AC＝BD B. AC⊥BD C. AB＝CD D. AB＝BC

【答案】C

【解析】

【详解】解：∵平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角线互相平分，

∴C正确，其余不一定正确，

故选C．

2. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　）

A. 12 B. 6 C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，

则CDAB12＝6，

故选：B．

【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．

3. 正比例函数y= - 4x的图象经过的象限是（　　）

A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论．

【详解】解：∵k=-4＜0，

∴正比例函数y=-4x的图象经过第二、四象限，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，掌握当k＜0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限是解决问题的关键．

4. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的定义解答即可．

【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．

【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．

5. 若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（ ）

A. 2 B. 8 C. ﹣2 D. ﹣8

【答案】A

【解析】

【详解】设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入，

可得：3k=﹣6，

解得：k=﹣2，

∴函数解析式为：y=﹣2x，

将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，

解得m=2，

故选A．

6. 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形、平行线性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【详解】选项A，两组对边分别相等

∴四边形为平行四边形

∴两组对边分别平行

∵其中一个内角为直角

∴相邻的两个内角均为直角

∴四边形为矩形

∵测量长为4cm、宽为3cm

∴选项A符合题意

选项B，三个内角均为直角

∴四个角均为直角，即为矩形

∵测量长为4cm、宽为3cm

∴选项B符合题意；

选项C，两个对角为直角无法推导得其他两个内角为直角

∴四边形可能不是矩形

∴选项C不符合题意；

选项D，两个相邻内角相等，且均为直角

∴测量长为4cm的两个边平行且相等

∴四边形为矩形

∵测量长为4cm、宽为3cm

∴选项D符合题意

故选：C．

【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、平行线的知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定性质，从而完成求解．

7. 若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（  ）

A. 1cm B. cm C. 3cm D. 4cm

【答案】B

【解析】

【详解】解：如图,因为AE垂直平分BC于E,

所以AB=BC=2BE,∠AEB=90°,

所以AE=BE,

则BE=,

所以BC=,

故选B.

8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，FG＝，AE平分∠BAD交BC于点E．点F，G分别是AD，AE的中点，则BC的长为（　　）

A. 3 B. 5 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】连接DE，由三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理求出CE，角平分线的性质得出△ABE是等腰有直角三角形，求出BE，从而求出BC．

【详解】解：连接DE，

∵FG＝且F、G分别为AD、AE中点，

∴DE＝2FG＝5，

∵四边形ABCD为矩形，

∴CD＝AB＝4，

在△CDE中，CE＝＝3，

∵AE平分∠BAD，四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE＝∠BAD＝45°，

在△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠AEB＝45°，

∴∠BAE＝∠AEB＝45°，

△ABE为等腰直角三角形，

∴BE＝AB＝4，

又∵CE＝3，

∴BC＝BE+CE＝4+3＝7．

故选：C．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出DE的长度是解题的关键．

9. 如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变

【答案】D

【解析】

【分析】连接AE，根据，推出，由此得到答案．

【详解】解：连接AE，

∵，

∴，

故选：D．

．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．

10. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（　　）

A. ①②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③④

【答案】A

【解析】

【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；

②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长；

③作于H，作交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG的长，根据勾股定理可求得CF，BD的长，据此解答；

④根据三角形面积公式即可解答．

【详解】解：①

故①正确；

②

故②正确；

③作于H，作交CO的延长线于G，则FG=1

故③错误；

④，

故④正确，

即正确的结论为：①②④

故选：A．

【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题（每小题2分，共16分）

11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．

【答案】AF=CE（答案不唯一）．

【解析】

【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．

根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.

添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.

12. 函数中，自变量的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣2≠0，求解可得自变量x的取值范围．

【详解】根据题意，有x﹣2≠0，

解得：x≠2．

故答案为：x≠2．

【点睛】本题考查了分式有意义条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．

13. 已知，A（2，y1），B（-1，y2）在正比例函数y= -2x上，则y1____y2．（用 >、<或=填空）

【答案】＜

【解析】

【分析】根据正比例函数的图象性质比较横坐标的大小即可得知纵坐标的大小．

【详解】解：∵正比例函数，

∴，

∴随的增大而减小，

∵

∴．

故答案为：＜．

【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象性质，熟悉掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．

14. 如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED大小为 _____度．

【答案】70

【解析】

【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，

∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，

∴∠AED＝∠AEB，

∵∠AEB为△EBC的外角，

∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，

∴∠AED＝70°，

故答案为70．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题关键是是利用了正方形关于对角线所在的直线对称求解．

15. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是_____．

【答案】##4.8

【解析】

【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AO⊥BO，

∴BC＝＝5cm，

∴S菱形ABCD＝＝×6×8＝24cm2，

∵S菱形ABCD＝BC×AE，

∴BC×AE＝24，

∴AE＝cm．

故答案为 cm．

【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．

16. 如图，长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，则CE的长 _____．

【答案】3cm

【解析】

【分析】根据矩形的性质得到AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得到AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．

【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝10cm，DC＝AB＝8cm，∠B＝∠D＝∠C＝90°，

∵沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，

∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF，

在Rt△ABF中，BF＝＝＝6（cm），

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），

设CE＝xcm，则DE＝EF＝（8﹣x）cm，

Rt△CEF中，∵CF2+CE2＝EF2，

∴42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

即CE的长为3cm，

故答案为：3cm．

【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换（折叠问题），解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，用勾股定理解直角三角形．

17. 如图，线段AB的长为8，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE长的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】设AC = x，BC= 8- x，由含30角的直角三角形的性质和勾股定理得CDACx ，CE= (8- x)，再由勾股定理和配方法即可求解．

【详解】解：设AC＝x，BC＝8﹣x，

∵△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，

∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，

∵△BCE为直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，

∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，

∴BEBC= ，

∴CE（8﹣x），

∵∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，

∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+48＝（x﹣6）2+12，

∵（x-6）2≥0,

∴当x＝6时，DE2取最小值为12，

此时DE的最小值为=2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

18. 如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为     ．

【答案】或

【解析】

【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．

【详解】设点A落在BC边上的A′点．

①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，

设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．

过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，

在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．

在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．

即AE=；

②如图2，当A′B=BC=2时，

设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．

过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，

在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．

在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．

即AE=；

所以AE的长为5.6或．

故答案为5.6或．

【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．

三、解答题（共8大题，共64分）

19. 已知：y与x﹣2 成正比例，且x＝3时，y＝2．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当点A（a，2）在此函数图象上，求a的值．

【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）3

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法解答即可；

（2）将点A（a，2）代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．

【详解】解：（1）∵y与x﹣2 成正比例，

∴y＝k（x﹣2）．

把x＝3时，y＝2代入得：

2＝（3﹣2）k．

∴k＝2．

∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x﹣4．

（2）点A（a，2）在此函数图象上，

∴2＝2a﹣4．

解得：a＝3．

∴a的值为3．

【点睛】本题考查了正比例函数的定义以及求一次函数对应自变量，正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；一次函数y=kx+b（k≠0），当给定x时，只需将x的值代入解析式的自变量的位置，求出y即可．同理，当给定y时，只需将y的值代入解析式的自变量的位置，求出x即可．

20. 请用无刻度直尺按要求在网格中作图，并标明字母（辅助线可用虚线作出，以下作图请勿超出网格范围）．

（1）作出平行四边形ABDC；

（2）以AC为边，作出正方形ACMN；

（3）作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的判定画出图形即可．

（2）根据正方形的判定画出图形即可．

（3）连接AD，BC交于点G，连接AM，CN交于点H，直线GH即为所求．

【小问1详解】

如图，平行四边形ABDC即为所求．

【小问2详解】

如图，正方形ACMN即为所求．

【小问3详解】

如图，直线l即为所求．

【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．

21. 小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）小红家到舅舅家的路程是 　 　米，小红在商店停留了 　 　分钟；

（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？

（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？

【答案】（1）1500，4；（2）小红在12-14分钟最快，速度为450米/分；（3）2700米

【解析】

【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．

【详解】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，

故小红在12-14分钟最快，速度为米/分．

（3）读图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米．

【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．

22. 如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）先由得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．

（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．

【详解】解：（1）证明：连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵AE＝CF，

∴OE＝OF，∵OB＝OD，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）∵BE⊥AC，

∴∠BEF＝90°，

在Rt△BEF中，EF＝＝6，

∴OE＝OF＝3，

在Rt△BEO中，OB＝，

∴BD＝2OB＝．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及判定、应用勾股定理解三角形，重点在于根据已知找到各线段间关系．

23. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB=，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据菱形的性质，可得AC⊥BD，然后判断出四边形AODE是平行四边形，即可推得四边形AODE是矩形．
（2）在Rt△AEC中，求出AC、AE即可解决问题．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

又∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∴四边形AODE是矩形．

（2）∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，OB=OD=AE=3，

在Rt△AEC中，EC===．

【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，菱形的性质，熟悉掌握是关键.

24. 如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．

【答案】（1）见解析    （2）EC=2.5．

【解析】

【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，由角平分线的性质和平行线的性质可证AB=AF，可得结论；

（2）由菱形的性质可得AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，由勾股定理可求BO，由菱形的面积公式可求菱形ABEF的面积=24，可求平行四边形EFDC的面积，即可求解．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

又∵EFAB，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠EBF，

∵AFBC，

∴∠AFB=∠EBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形；

【小问2详解】

解：∵四边形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，AO=OE=3，BO=OF，AB=BE=5，

∴BO==4，

∴BF=8，

∴菱形ABEF的面积=×6×8=24，

∵ADBC，ABEFCD，

∴四边形ECDF是平行四边形，

∴=36-24=12，

∴=2：1，

∴BE：EC=2：1，

∴EC=2.5．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

25. 定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．

（1）[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．

 A．平行四边形    B．对角线互相垂直的四边形   C．对角线相等的四边形

（2）等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：

如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．

求证：BO＝DO．

（3）[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．

①求证：∠BCE＝2∠DAC；

②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．

【答案】（1）A    （2）见解析   

（3）①见解析；②见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得结论．

（2）如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．证明△DOM≌△BON（AAS），可得结论．

（3）①如图2中，在EA上取一点T，使得ET=EC，连接DT，BT．证明四边形BCDT是平行四边形，可得结论．②证明四边形BCDT是矩形，△BCE，△DET都是等边三角形，可得结论．

【小问1详解】

平行四边形属于等面积四边形．

故答案为：A；

【小问2详解】

如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．

∵S△ADC＝S△ABC，

∴，

∴DM＝BN，

∵∠DMO＝∠BNO，∠DOM＝∠BON，

∴△DOM≌△BON（AAS），

∴OD＝OB．

【小问3详解】

①证明：如图2中，在EA上取一点T，使得ET＝EC，连接DT，BT．

∵四边形是等面积四边形，AC是等面积对角线，

∴DE＝EB，

∵EC＝ET，

∴四边形BCDT是平行四边形，

∴BC＝DT，DTBC，

∴∠BCE＝∠DTE，

∵AC﹣BC＝2CE，

∴AC﹣2CE＝BC，

∴AC﹣CT＝AT＝BC，

∴TA＝TD，

∴∠DAC＝∠ADT，

∵∠DTE＝∠DAC+∠ADT，

∴∠BCE＝2∠DAC．

②如图2﹣1中，辅助线同①．

由①可知，∠ECB＝2∠DAC＝60°，

∵DA＝DC，

∴∠DCA＝∠DAC＝30°，

∴∠DCA+∠BCE＝90°，

∵四边形BCDT是平行四边形，

∴四边形BCDT是矩形，

∴EC＝ET＝ED＝DB，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠CEB＝∠DET＝60°，

∴△DET是等边三角形，

∵TA＝DT，

∴AT＝ET＝EC＝DE＝BE，

∴．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等面积四边形的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．

26. 如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，

且，连接，；

（1）则与的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）若点E，F分别是与的中点，计算的长；

（3）延长至P，连接，若，试求的长．

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）证△BCM≌△CDN，得出，∠BCM=∠CDN，再证∠CDN+∠DCM=90°即可；

（2）连并延长交于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；

（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可．

【详解】解：（1）设CM与DN交于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，

∵，

∴△BCM≌△CDN，

∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，

∵∠BCM+∠MCD=90°，

∴∠CDN+∠MCD=90°，

∴∠CQD=90°，

∴，

故答案为：，．

（2）连并延长交于G，

∵BC∥AD，

∴∠ENC=∠EDG，

∵NE=DE，∠NEC=∠GED，

∴，NC=GD=1，

又∵，

∴，

∵正方形的边长为3，，

∴

∴

（3）过点B作于点H，

，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∴；

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算．