高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系当堂达标检测题

【基础】3.2 向量的数乘与向量共线的关系-1课时练习

一．填空题

1．已知梯形中，，且，若，，则________.

2．已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.

3．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．

4．在四面体中，．分别是．的中点，若记，，，则______.

5．若为正方形，为的中点，且，，则可以用和表示为____________.

6．在△ABC中，已知为△ABC的重心，用表示向量=_____

7．中，是边的中点，点满足，则向量用向量，表示为____________．

8．已知，设，则实数____________.

9．已知G是的重心，是的中点 则____________

10．如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.

11．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.

12．在中，，则______．

13．如图，在平行四边形中，，，点为对角线与的交点，点在边上，且，则________.（用，表示）

14．如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.

15．已知直线与平行四边形的两边，分别交于点，，且交其对角线于点，若，，，则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意结合平面向量共线的性质．线性运算法则直接运算即可得解.

详解：由题意画出图形，如图：

，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量线性运算．数乘的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据垂心得到，得到，即，，计算得到答案.

【详解】

因为是的垂心，所以，

因为，且，所以，

所以，同理，即，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．【答案】

【解析】根据四点共面的充要条件即可求出t的值.

【详解】

P，A，B，C四点共面，且，

，解得.

故答案为:

【点睛】

本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.

4．【答案】

【解析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.

详解：解：在四面体中，．分别是．的中点，

则

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

5．【答案】

【解析】利用平面向量基本定理，取和为基底，将用基向量表示出即可．

【详解】

如图，．

故答案为：.

【点睛】

考查向量的加法．减法．数乘运算的综合运用，属于容易题．

6．【答案】

【解析】利用三角形的重心的性质，即可用向量表示向量，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，设边的中点为，

因为为△ABC的重心，且，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算法则，以及三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记三角形重心的性质，熟练应用向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．【答案】

【解析】利用向量加法和减法的运算，将用，表示出来.

【详解】

依题意.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.

8．【答案】2

【解析】利用向量的减法和数乘运算，得到，从而得到的值．

【详解】

根据条件，，

∴．

故答案为：2.

【点睛】

考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题．

9．【答案】4

【解析】由是的中点，G是的重心，则，，再联立求解即可.

【详解】

解：因为是的中点，G是的重心，则，即

又，所以,

所以,

故答案为：.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.

10．【答案】

【解析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可.

【详解】

如图，

设，，则，连接，，

过点，点作的垂线，垂足分别为点，点，

由向量加法的平行四边形法则可知

又

同理可得

∴.

故答案为：

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题.

11．【答案】

【解析】分析：解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.

解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.

详解：解法1：因为，所以，

又，

所以

因为点三点共线，

所以，

解得：.

解法2：

因为，设，

所以，

因为，所以，

又，

所以，

所以，

又，

所以 解得： ，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算．三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.

12．【答案】

【解析】利用向量减法得到B，D，C三点共线的向量关系，即得到.

详解：因为，所以

所以，所以即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量的共线关系，属于基础题.

13．【答案】

【解析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解．

【详解】

解：由题意可得，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．

14．【答案】

【解析】根据条件便可得到，然后两边平方即可得出，而由条件，代入上式即可得出，从而配方即可求出的最小值，进而得出的最小值．

详解：解：

；

，，代入上式得：

；

；

时，取最小值；

的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式，配方求二次函数最值的方法．

15．【答案】

【解析】可画出图形，根据条件可得出，然后根据，，三点共线即可得出，解出即可．

详解：解：如图，

；

；

．．三点共线；

；

．

故答案为：．

【点睛】

考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，由．．三点共线及可得出．