2021-2022学年陕西省延安市第一中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省延安市第一中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】.

故选：A

2．已知向量，，那么（    ）

A．5 B． C．8 D．

【答案】B

【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.

【详解】因为向量，，所以

.

故选：B.

3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】A

【分析】结合三角函数图象的平移变换规律，可得出答案.

【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，属于基础题.

4．若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解.

【详解】.

故选：C.

5．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（      ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】由可得，代入到中可得，利用三点共线即可求得答案.

【详解】由可得：，即，

故,

因为B,P,D三点共线，所以 ，

故选：D

6．执行如图的程序框图，输出的S值是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】直接按照程序框图运行程序，找到函数的周期，即可求出输出值.

【详解】当时，；

执行第一次循环可得，；

执行第二次循环可得，；

执行第三次循环可得，；

执行第四次循环可得，；

执行第五次循环可得，；

执行第六次循环可得，；

归纳可知，其周期为6，所以.

所以输出.

故选：B.

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，，则B等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据正弦定理求解即可

【详解】由正弦定理，，故，因为，故或

故选：C

8．在中，，则是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理实现角化边，再整理条件可得，从而为直角三角形.

【详解】在中，由正弦定理得，，

又，所以，

整理得.

所以为直角三角形.

故选：C.

9．已知圆，在圆内随机取一点P，以点P为中点作弦AB，则弦长的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式可得答案.

【详解】当时，此时，若，则点P必须位于以点C为圆心，

半径为1和半径为的圆环内，所以弦长的概率为，

故选：B．

10．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

11．将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.

【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，

此时图像关于轴对称，所以当时，，，

则.

又，则的最小值是.

故选：D.

12．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数恒等变换化简，可得 是函数含原点的递增区间，结合已知可得可解得，又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得，进而求解.

【详解】

是函数含原点的递增区间．

又∵函数在上递增，

∴得不等式组 ，得 又∵

又函数在区间上恰好取得一次最大值，

根据正弦函数的性质可知 ，

即函数在处取得最大值，可得

综上，可得

故选：D.

二、填空题

13．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.

【答案】10

【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数．

【详解】解：根据分层抽样原理知，，

所以在大一青年志愿者中应选派10人．

故答案为：10．

14．已知，，，则向量与的夹角为________．

【答案】

【分析】设向量与的夹角为，由已知条件可得，从而可求出向量与的夹角

【详解】解：设向量与的夹角为，

因为，，，

所以，即，

因为，，

所以，即，

因为，所以，

故答案为：

15．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是_______.

【答案】

【分析】设被污损的数字的个位数为，根据甲的平均成绩超过乙的平均成绩可解得，即可求得概率.

【详解】设被污损的数字的个位数为，其中为中的一个，

要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，

则，解得，

则的可能取值为的自然数，共8个，

则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.

故答案为：.

16．已知数据，，…，的方差为5，则数据，，…，的方差为___________.

【答案】45

【分析】根据线性变换前后方差的关系求得正确结论.

【详解】原数据的方差为，则线性变换后的数据的方差为.

故答案为：

三、解答题

17．已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由，得到的坐标，再根据求解；

（2）由，得到的坐标，再由求得x，再利用夹角公式求解.

【详解】（1）解：已知，

所以.

又因为，

所以，

所以，

解得或.

（2）因为，

所以.

又因为，

所以，

解得，

所以.

所以，

因为，

所以

18．已知函数的部分图象，如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.

（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【详解】（1）解：根据函数的部分图象

可得，，所以.

再根据五点法作图可得，

所以，.

（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

由，可得

又函数在上单调递增，在单调递减

，，

函数在的值域.

19．画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（个）的相关数据如下表：

（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性相关方程；

（2）若该新造型糖画每个的成本为元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）

参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计计算公式为，.

参考数据：.

【答案】（1）；（2）10.

【分析】（1）由表中数据计算，，再根据公式求出线性回归方程中斜率和截距，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出为何值时函数值最大．

【详解】（1）由表中数据，计算可得，

则

，

所以关于的线性相关方程为.

（2）设定价为元，

则利润函数为，

则，

所以对称轴时，取最大值

故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，根据给定函数类型解决实际问题，属于简单题．

20．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：.

(1)求图中的值；

(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；

(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.

【答案】(1)

(2)73

(3)82.5

【分析】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；

（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；

（3）由频率分布直方图可知，区间占5%，区间占20%，估计“优秀”档次的分数线在之间，由此即可求出答案.

【详解】（1）由题意得，，

解得：；

（2）估计该校此次期中考试平均分为

；

（3）由频率分布直方图可知，区间占5%，区间占20%，

估计“优秀”档次的分数线为：.

21．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角B的大小；

(2)从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.

【答案】(1)

(2)条件①：；条件②：

【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.

（2）选条件①：首先利用余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求得.

选条件②:首先利用正弦定理求出，再结合三角函数恒等变换求出，再利用三角形面积公式即可求得.

【详解】（1）解：（1）因为，由正弦定理．

因为，所以．

又因为，所以．

（2）选条件①：；

因为，由（1）得，

所以根据余弦定理得，可得，解得．

所以的面积，

选条件②：；

由（1）知且，

根据正弦定理得，所以，

因为，

所以，

所以的面积．

22．已知向量，函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)是否存在实数，使不等式对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，取值范围为

【分析】（1）根据已知条件及向量的数量积的坐标运算，再利用辅助角公式及二倍角的余弦公式，结合换元法及二次函数的性质即可求解；

（2）根据（1）的出函数，利用换元法但注意新元的范围，结合不等式恒成立问题利用分离参数法转化为函数的最值问题，再利用对勾函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题可知，因为，

所以，

又，令，

当时，所以，

对称轴，开口向上，由二次函数的单调性知，

所以在上单调递减，

所以当时，取得最小值为

.

所以的最小值为.

（2）由（1）知，，

所以，对任意的恒成立，

令，，则，

因为，所以，所以，即，所以，

由，得，

则，整理得，

所以，故在上恒成立，

由对勾函数的性质知：在上单调递减，

当时，取到最大值4，所以，

故存在，且的范围为.