2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x>5 B. x≥5 C. x≤5 D. x≠5
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
3. 以下列三个正数为三边长度，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，2，5 C. 2，3， D. 4，5，6
4. 下列命题错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分四边形是平行四边形
5. 已知（4+）•a=b，若b是整数，则a的值可能是（　　）
A. B. 4+ C. 8﹣2 D. 2﹣
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（　　）

A. 100π﹣24 B. 100π﹣48
C. 25π﹣24 D. 25π﹣48
7. 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A. 25 B. C. D.
8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D. 4
9. 如图，的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）

A. 9 B. C. 27 D.
二、填 空 题（本大题共5个小题；每小题3分，共15分.把答案写在题中横线上）
11. 当x=___________时，代数式有最小值.
12. 已知三角形三边长分别为，，，则此三角形边上的高为________．
13. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则周长为_______________．
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm．

15. 如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数_____________.

三、解 答 题（本大题共7个小题，共55分.解答应写出证明过程或演算步骤）
16. 计算：（1）.
（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和两张正方形纸片，求图中空白部分的面积.

17. 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，以大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，得四边形ABEF.
求证：四边形ABEF是菱形.

18. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数.

19. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

20 阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤　 　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
21. 我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类的勾股数.通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一 表二
a
b
c

a
b
c
3
4
5

6
8
10
5
12
13

8
15
17
7
24
25

10
24
26
9

41

12

37

（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是_____________，a、b、c之间的数量关系是_________________________；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是_____________，a、b、c之间的数量关系是_________________________；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值.
22. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若没有是，请说明理由．


2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x>5 B. x≥5 C. x≤5 D. x≠5
【正确答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件列没有等式求解即可．
【详解】解：∵x-5≥0
∴x≥5
故选：B．
点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是明确二次根式有意义的条件为被开方数为非负数．
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：根据最简二次根式的性质，被开方数中没有含有开方开的尽的数，化简判断即可.
详解：因为=2，故没有是最简二次根式；因为=|m|，故没有是最简二次根式；因为=，故没有是最简二次根式.
故选D.
点睛：此题主要考查了最简二次根式，比较简单，灵活化简二次根式是解题关键.
3. 以下列三个正数为三边长度，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3 B. 2，2，5 C. 2，3， D. 4，5，6
【正确答案】C

【详解】分析：根据勾股定理的逆定理，分别求出a2+b2=c2即可.
详解：因为1+2=3，故没有能构成三角形；因为2+2＜5，故没有能构成三角形；因为22+32=13，（）2=13，故能够成直角三角形；因为42+52=41，62=36，故没有能构成直角三角形.
故选C.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，关键是求出各边的平方，看是否符合a2+b2=c2的关系.
4. 下列命题错误的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形的判定逐项分析即可得．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，则此项没有符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，则此项没有符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，此项符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，则此项没有符合题意，
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定是解题关键．
5. 已知（4+）•a=b，若b是整数，则a的值可能是（　　）
A. B. 4+ C. 8﹣2 D. 2﹣
【正确答案】C

【分析】根据分母有理化的法则进行计算即可．
【详解】∵（4+）•a=b，b是整数，
又（4+）×（4-）=9，
∴a的值应为（4-）的整数倍，
观察所给选项可知：a=8﹣2，
故选C．
本题考查分母有理化，关键是根据分母有理化的法则进行解答．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（　　）

A. 100π﹣24 B. 100π﹣48
C. 25π﹣24 D. 25π﹣48
【正确答案】C

【详解】∵中,
∴
∴AC为直径的圆的半径为5，
∴S阴影=S圆﹣S△ABC
故选C．
7. 如图，矩形OABC边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A. 25 B. C. D.
【正确答案】D

【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
详解】由勾股定理可知，
∵OB=，
∴这个点表示的实数是．
故选D．
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D. 4
【正确答案】C

【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC=OB，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，

∵点B的坐标是（1，3），
∴OM=1，BM=3，由勾股定理得： ，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=
故选：C
本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC=OB是解此题的关键．
9. 如图，的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，则三角形ABC的面积即可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，
，
∴．
故选：D
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
10. 如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）

A. 9 B. C. 27 D.
【正确答案】B

【详解】分析： 根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律没有难求得第n个菱形的边长，从而代入求解即可．
详解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=，
∴AM= ，
∴AC= ，
同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（ ）n-1，
则第6个菱形的边长为（）6-1=9.
故选B.

点睛：此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
二、填 空 题（本大题共5个小题；每小题3分，共15分.把答案写在题中横线上）
11. 当x=___________时，代数式有最小值.
【正确答案】

【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，可求出x的物质范围，根据二次根式的性质求解即可.
详解：∵4x-5≥0
解得x≥
∵代数式有最小值
∴x=
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，关键是明确二次根式的被开方数越大，值越大.
12. 已知三角形三边长分别为，，，则此三角形边上的高为________．
【正确答案】

【分析】根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵三角形三边长分别，，，
∴ ，
∴三角形是直角三角形，
设边上的高为h，
∴ ，
∴．
故．
本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键．
13. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
【正确答案】32或42##42或32

【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；

当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC的周长是32或42，
故32或42.
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm．

【正确答案】9

【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得： (cm)，
∴DO=5cm，
∵点E，F分别是AO、AD的中点，
(cm)，,，
△AEF的周长=
故9．

15. 如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数_____________.

【正确答案】45°

【详解】分析：连接CF，根据正方形的性质，证明△BCF≌△DCF，然后可得∠BCF＝∠DCF＝∠BCD＝45°，再证明△BEF≌△BCF，即可得到∠BEF＝∠BCF.
详解：连接CF
∵正方形ABCD
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝90°
∵BF＝DF，CF＝CF
∴△BCF≌△DCF （SSS）
∴∠BCF＝∠DCF＝∠BCD＝45°
∵BE＝AB
∴BE＝BC
∵∠EBF＝∠CBF，BF＝BF
∴△BEF≌△BCF （SAS）
∴∠BEF＝∠BCF＝45°
故答案为45°.
点睛：此题主要考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质，合理选用全等三角形的判定方法是解题关键.
三、解 答 题（本大题共7个小题，共55分.解答应写出证明过程或演算步骤）
16. 计算：（1）.
（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积.

【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）根据二次根式的性质，负整指数幂的性质，二次根式的乘法，零次幂的性质，值的性质，逐一计算即可；
（2）根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得到空白（长方形）的长与宽，即可求面积.
试题解析：（1）解：原式=
（2）解：∵两张正方形纸片的面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴AB=4cm，BC=，
∴空白部分的面积=.
点睛：此题主要考查了实数的混合运算和正方形的面积，关键是①利用相关性质进行化简变形，然后计算，②利用图形中线段的关系得到长方形的长与宽.
17. 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，以大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，得四边形ABEF.
求证：四边形ABEF是菱形.

【正确答案】见解析

【分析】先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
【详解】证明：连接BP、FP由作图知：AB=AF，BP=FP，

△APB和△APF中，

∴△APB≌△APF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，属于中考常考题型．
18. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，求∠E的度数.

【正确答案】15°

【分析】
【详解】试题分析：连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．
解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为15．
19. 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

【正确答案】10km

【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km．
∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，
∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，
解得：x=1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
本题主要考查了勾股定理的应用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题的关键．
20. 阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9，≤　 　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【正确答案】

【详解】分析：（1）根据题意的结论，列出相关的没有等式即可求解；
（2）利用阅读材料的变形，把求值的式子作相应的变形即可求解，注意数值的非负性的探讨.
详解：（1）∵（a、b均为正实数），
又∵a+b=9，
∴，
即；
（2）由（1）得：，
即，当时，m=1（负数舍去），
故有最小值，最小值是2．
点睛：此题是阅读理解题，关键是读懂题意，利用题目中的结论进行解题.
21. 我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类的勾股数.通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一 表二
a
b
c

a
b
c
3
4
5

6
8
10
5
12
13

8
15
17
7
24
25

10
24
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37

（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是_____________，a、b、c之间的数量关系是_________________________；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是_____________，a、b、c之间的数量关系是_________________________；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当，时，斜边c的值.
【正确答案】 ①. b+1=c ②. a2=b+c ③. b+2=c ④. a2=2(b+c)

【详解】分析：（1）根据图表中数据勾股定理得出即可；
（2）利用图表中数据即可得出b、c的数量关系；
（3）利用图表中数据即可得出b、a的数量关系；
（4）利用勾股定理得出即可．
详解：（1）如图所示：
表一 表二
a
b
c

a
b
c
3
4
5

6
8
10
5
12
13

8
15
17
7
24
25

10
24
26
9
40
41

12
35
37
（2）根据表格数据可得：
表一中a为大于l奇数，此时b、c的数量关系是b+1=c；a、b、c之间的数量关系是a2=b+c
表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2=c；a、b、c之间的数量关系是a2=2(b+c)
（3）∵，∴，∴c=1．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，根据图表中数据得出数字之间的变化规律是解题关键．
22. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连结GE、GF．
（1）求证：△OAE≌△OBG．
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若没有是，请说明理由．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）菱形

【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义证明∠GAH=∠OBG，即可得到结论；
（2）证△AHG≌△AHB（ASA），得到GH=BH，推出AF是BG的垂直平分线，得到EG=EB，FG=FB．再分别求出∠BEF和∠BFE的度数，得到EB=FB，即可证得四边形BFGE为菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．
在△OAE与△OBG中，，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中， ，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB．
∵AF是∠CAB的平分线，，
∴∠BAE=22.5°，
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形.
本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定、线段垂直平分线的性质等知识点，是一个比较难的四边形的综合题，在证明的过程中要注意一个基本几何图形“8字形”的运用，如下图通常称为“8字形”，如果∠A=∠B，那么∠D=∠C，这种寻找角的关系的图形在几何证明中会经常遇到，需要熟悉掌握．
．








2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）
1. 下列既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下问题，没有适合用普查的是(　　)
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检
C. 学校教师，对应聘人员面试 D. 了解一批灯泡的使用寿命
3. 没有能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（　　）
A. AB=CD，AB∥CD B. ∠A=∠C，∠B=∠D C. AB=AD，BC=CD D. AB=CD，AD=BC
4. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°
5. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，没有一定正确的是( )

A. △AFD≌△DCE B. AF＝AD
C. AB＝AF D. BE＝AD﹣DF
6. 如图是某厂2018年各季度产值统计图(单位：万元)，则下列说确的是(　　)

A. 四个季度中，每个季度生产总值有增有减
B 四个季度中，前三个季度生产总值增长较快
C. 四个季度中，各季度的生产总值变化一样
D. 第四季度生产总值增长最快
7. 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后没有用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　

A.
B.
C.
D.
二、填 空 题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9. 某中学要了解八年级学生的视力情况，在全校八年级学生中抽取了25名学生进行检测，在这个问题中，总体是___________，样本是__________．
10. 有50个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10，8，7，11．第5组的频率是0.16，则第6组的频数是__________．
11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= °

12. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．

14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．

15. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__________．

17. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为________．

18. 如图，在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上）．则剪下的等腰三角形的底边长可以是_____

三、解 答 题（本大题共10个小题，共96分．）
19. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）请在图中画出△AEF．
（2）请在x轴上找一个点P，使PA+PE的值最小，并直接写出P点的坐标为 ．

20. 在一个没有透明的口袋里装有仅颜色没有同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，没有断重复，下表是进行中记下的一组数据
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
059
0.605
0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 (到0.1)．
(2)假如你去摸，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
21. 在信息发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．我市区机抽取了部分家庭，每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的没有完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请图中相关数据回答下列问题：

（1）A组的频数是 ，本次样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额没有少于300元的户数是多少？
22. 已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．

23. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．

24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．

25. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
26. 如图，已知点A从点（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C在象限内，且∠AOC=60°，点P的坐标为（0，3），设点A运动了t秒，求：

（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点A在运动过程中，当t何值时，使得△OCP为等腰三角形？
27. 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若没有成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽没有相等的矩形，其他条件没有变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，没有需要证明．

28. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的值和此时的度数，直接写出结果没有必说明理由．













2022-2023学年安徽省合肥市八年级下册数学期中专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）
1. 下列既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：选项根据轴对称图形与对称图形的概念求解即可．A、是轴对称图形，也是对称图形；B、是轴对称图形，没有是对称图形；C、是轴对称图形，没有是对称图形；D、没有是轴对称图形，也没有是对称图形
考点：（1）对称图形；（2）轴对称图形
2. 以下问题，没有适合用普查的是(　　)
A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检
C. 学校教师，对应聘人员面试 D. 了解一批灯泡的使用寿命
【正确答案】D

【详解】A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间，工作量比较小，适合普查；
B. 旅客上飞机前的安检工作很重要，必须普查；
C. 学校教师，对应聘人员面试工作量比较小，适合普查；
D. 了解一批灯泡的使用寿命具有破坏性，没有适合普查；
故选D.
3. 没有能判定四边形ABCD为平行四边形题设是（　　）
A. AB=CD，AB∥CD B. ∠A=∠C，∠B=∠D C. AB=AD，BC=CD D. AB=CD，AD=BC
【正确答案】C

详解】解：A. ∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形；
B. ∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形；
C. 由AB=AD，BC=CD，没有能判定四边形ABCD为平行四边形；
D. ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形
故选C
本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.
4. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°
【正确答案】C

【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵ ，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故选：C．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
5. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，没有一定正确的是( )

A. △AFD≌△DCE B. AF＝AD
C AB＝AF D. BE＝AD﹣DF
【正确答案】B

【详解】A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF没有一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF没有一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
6. 如图是某厂2018年各季度产值统计图(单位：万元)，则下列说确的是(　　)

A. 四个季度中，每个季度生产总值有增有减
B. 四个季度中，前三个季度生产总值增长较快
C. 四个季度中，各季度的生产总值变化一样
D. 第四季度生产总值增长最快
【正确答案】D

【分析】根据折线统计图可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：图为产值的折线图，分析可得：四季度中，每季度生产总值都持续增加，A错误；第四季度生产总值增长最快，D正确，而B、C错误．
故选D．
本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形的思想解答．
7. 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后没有用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【正确答案】A

【详解】试题分析：如图，
，
∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB=A′B′，∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后没有用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长没有用测量无法判断．故选A．
考点：1．对称；2．应用题；3．综合题．

8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　

A.
B.
C.
D.
【正确答案】B

【详解】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．
解：如图，

过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，
∴∠PCE=30°，
∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD
=××1+××1-×1×1=；
故选B．
二、填 空 题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9. 某中学要了解八年级学生的视力情况，在全校八年级学生中抽取了25名学生进行检测，在这个问题中，总体是___________，样本是__________．
【正确答案】 ①. 该中学七年级学生的视力情况； ②. 抽取的25名学生的视力情况

【详解】解：总体是某中学初二学生的视力情况，样本是抽取的20名初二学生的视力情况．故答案为某中学初二学生的视力情况；抽取的20名初二学生的视力情况．
10. 有50个数据，共分成6组，第1～4组的频数分别为10，8，7，11．第5组的频率是0.16，则第6组的频数是__________．
【正确答案】6．

【分析】首先根据频率=频数÷数据总数求得第5组的频数，然后根据6个组的频数和等于数据总数即可求得第6组的频数．
【详解】解：∵有50个数据，共分成6组，第5组的频率是0.16，∴第5组的频数为50×0.16=8；又∵第1～4组的频数分别为10，8，7，11，∴第6组的频数为50﹣（10+8+7+11+8）=6．
故答案为6．
本题考查频数与频率．
11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= °

【正确答案】55

【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到
∴，，
∵，
∴
∴∠A=55°．
故55
本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
12. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

【正确答案】20

【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．

13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______．

【正确答案】1.5

【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF=AB=2.5．
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=4．
∴EF=DE-DF=1.5．
故答案为1.5．
直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．

【正确答案】22.5°

【详解】四边形ABCD是矩形，
AC=BD，OA=OC，OB=OD，
OA=OB═OC，
∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∠EAC=2∠CAD，
∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，
∠AEO=90°，
∠AOE=45°，
∠OAB=∠OBA=67.5°，
即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．

15. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．

【正确答案】12

【分析】根据对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
本题考查了对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是__________．

【正确答案】10

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB=4，AD=BC=6．∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；故答案为10．
17. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为________．

【正确答案】

【分析】设BE=x，表示出CE=16-x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】设BE=x，则CE=BC−BE=16−x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=16−x，
在Rt△ABE中,
即
解得x=6，
∴AE=16−6=10，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=10，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=8，
AH=BE=6，
∴FH=AF−AH=10−6=4，
在Rt△EFH中,
故答案为

考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键，也是本题的突破点.
18. 如图，在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上）．则剪下的等腰三角形的底边长可以是_____

【正确答案】5cm或2cm或4cm

【分析】因为等腰三角形腰的位置没有确定，所以分三种情况：①两腰在矩形相邻的两边上，②一腰在矩形的宽上，③一腰在矩形的长上，画出图形，利用勾股定理分分别求底边长．
【详解】解：分三种情况讨论：
①如图1所示：BE＝BF＝5，
由勾股定理得：EF＝，
②如图2所示：
∵AE＝EF＝5，
∴BE＝6﹣5＝1，
∴BF＝ ，
∴AF＝ ，
③如图3所示，
∵AE＝EF＝5，
∴ED＝8﹣5＝3，
∴DF＝ ＝4，
∴AF＝ ，
所以剪下的等腰三角形的底边长为5cm或2 cm或4 cm；
故答案为5cm或2cm或4cm．



本题考查等腰三角形的性质和勾股定理的运用，根据三角形腰长所在位置的没有同分情况进行讨论是解题的关键．

三、解 答 题（本大题共10个小题，共96分．）
19. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．
（1）请在图中画出△AEF．
（2）请在x轴上找一个点P，使PA+PE的值最小，并直接写出P点的坐标为 ．

【正确答案】(1)作图见解析；（2）P点坐标为（1.5，0）．

【详解】试题分析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出点O和B的对应点E、F，从而得到△AEF；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连结EA′交x轴于P点，如图，则PA=PA′，于是可得到PA+PE=EA′，根据两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，然后利用OP=AE=可写出P点坐标．
试题解析：（1）如图，△AEF为所作；

（2）作点A关于x轴的对称点A′，连结EA′交x轴于P点，如图，
因为PA=PA′，所以PA+PE=PA′+PE=EA′，所以此时PA+PB的值最小，
因为OP=0.5AE=1.5，所以P点坐标为（1.5，0）．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了最短路径问题．
20. 在一个没有透明的口袋里装有仅颜色没有同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，没有断重复，下表是进行中记下的一组数据
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 (到0.1)．
(2)假如你去摸，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【正确答案】（1）0.6；（2），；（3）12，8

【详解】试题分析：（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
试题解析：(1)根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
(2)因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是
（3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是个，
黑球是个
21. 在信息发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．我市区机抽取了部分家庭，每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的没有完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请图中相关数据回答下列问题：

（1）A组的频数是 ，本次样本的容量是 ；
（2）补全直方图（需标明各组频数）；
（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额没有少于300元的户数是多少？
【正确答案】（1）2；50；（2）补图见解析；（3）540户．

【详解】试题分析：根据A、B组的比值得出A组的人数和A、B组的百分比，然后分别进行计算．
试题解析：（1）10÷5=2 1－40%－20%－8%=24% 则A组：24%÷6=4% 2÷4%=50人
C组的频数是：50×40%=20，如图．

（3）∵1500×（28%+8%）=540，
∴全社区捐款没有少于300元的户数是540户．
考点：条形统计图和扇形统计图．
22. 已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）50°．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；
（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠ECB，
∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，
∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
23. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】（1）∵ 四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD.
又∵AC是折痕，∴BC = CE = AD ，AB =AE =CD.
又∵DE = ED，∴ΔADE ≌ΔCED（SSS）；
（2）∵ΔADE ≌ΔCED，∴∠EDC =∠DEA，
又∵ΔACE与ΔACB关于AC所直线对称，∴∠OAC =∠CAB.
又∵∠OCA =∠CAB，∴∠OAC =∠OCA.
∵∠DOE = ∠COA，
∴∠OAC =∠DEA，
∴DE∥AC.
考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.折叠对称的性质；4.全等三角形的判定和性质；5. 平行的判定.

24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．

【正确答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；
（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.
【详解】证明：（1），
，.
E是CD中点，，
又
(AAS)
（2），
，.
，
四边形OCFD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形，
.
平行四边形OCFD是矩形.
此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.
25. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足 时（添加一个条件），四边形ADCE是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝90°

【分析】（1）先根据等腰三角形的性质“三线合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分线的定义得∠MAE=∠CAE，从而证得；然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明结论．
（2）假设当，先根据等腰三角形的性质由AB=AC得，再根据等腰直角三角形的性质得AD=DC，从而根据正方形的判定得四边形ADCE为正方形．
【详解】解：（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=，
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE=，
∴∠DAE=，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下；
∵AB＝AC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形，
故当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性质及角平分线的定义，解题的关键是综合运用以上知识点．
26. 如图，已知点A从点（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C在象限内，且∠AOC=60°，点P的坐标为（0，3），设点A运动了t秒，求：

（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点A在运动过程中，当t为何值时，使得△OCP为等腰三角形？
【正确答案】（1）点C的坐标为：（（1+t），（1+t））；（2）当t=﹣1，t=2，t=3﹣1时，均可使得△OCP为等腰三角形．

【详解】试题分析：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，解直角三角形CHO，求出OH，CH的长，即可求出点C的坐标；
（2）因为等腰三角形OCP的腰和底没有确定所以要分三种情况分别讨论：①当以O为等腰三角形顶点时；②当以C为等腰三角形顶点时；③当以P为等腰三角形顶点时，求出t的值即可．
解：（1）过点C作CH⊥x轴于点H，
根据题意得：OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=1+t，
∵∠AOC=60°，
∴OH="OC" cos60°=OC=（1+t），CH="OC" sin60°=（1+t），
∴点C的坐标为：（（1+t），（1+t））；
（2）①当以O为等腰三角形顶点时，OC=OP，
∴1+t=3，
∴t=2；
②当以C为等腰三角形顶点时，PC=OC，则CH=OP=，
即（1+t）=，
解得：t=﹣1；
③当以P为等腰三角形顶点时，OP=PC，∠POC=30°，则Q（0，），
∴OC=3，
∴1+t=3，
∴t=3﹣1，
综上可知，当t=﹣1，t=2，t=3﹣1时，均可使得△OCP为等腰三角形．

考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．
27. 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若没有成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽没有相等的矩形，其他条件没有变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，没有需要证明．

【正确答案】（1）AM=AD+MC，见解析；（2）成立，见解析；（3）结论AM=AD+MC仍然成立，结论AM=DE+BM没有成立

【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长、交于点，如图1（1），易证，从而有，只需证明即可；
（2）作交的延长线于点，易证，只需证明即可；要证，只需证明它们所在的两个三角形全等即可；
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到没有成立．
【详解】解：（1）AM=AD+MC．理由如下：
如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴ADBC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE与NCE中，

∴ADE≌NCE（AAS），
∴AD=NC，
∵MN=NC+MC，
∴AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM成立．理由如下：
如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，
∴∠AED=∠BAE，
∵旋转，
∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，
∴∠ABM＋∠ABF=180°，
∴点F、B、M在同一直线上，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠BAF=∠MAE，
∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，
∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∵FM=BF+BM
∴AM=DE+BM；
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下：
①如图2（1），延长、交于点，

四边形是矩形，
．
．
平分，
．
．
．
在ADE与PCE中，

∴ADE≌PCE（AAS），
．
∵MP=PC+MC，
∴AM=AD+MC；
②结论没有成立，理由如下：
假设成立．
过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示．

四边形是矩形，
，．
，
．
．
．
，
．
，

，
．
．
．
，
．
，
与条件“ “矛盾，故假设没有成立．
没有成立．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．
28. 如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形，如图2．
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的值和此时的度数，直接写出结果没有必说明理由．

【正确答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°

【详解】分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；
（2）根据题意和锐角正弦的概念以及角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数；
（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的值和此时的度数．
详解：如图1，延长ED交AG于点H，

点O是正方形ABCD两对角线的交点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即；
在旋转过程中，成为直角有两种情况：

Ⅰ由增大到过程中，当时，
，
在中，sin∠AGO=，
，
，
，
，
即；
Ⅱ由增大到过程中，当时，
同理可求，
．
综上所述，当时，或．
如图3，

当旋转到A、O、在一条直线上时，的长，
正方形ABCD的边长为1，
，
，
，
，
，
，
此时．
点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.