高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习题

课时跟踪检测（四十三）

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

层级(一)　“四基”落实练

1．sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．－  D．－

解析：选B　sin 17°cos 13°＋sin 73°cos 77°＝sin 17°cos 13°＋cos 17°sin 13°＝sin(17°＋13°)＝.

2．已知sin α＝，且α∈，则sin的值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

解析：选D　因为sin α＝，且α∈，

所以cos α＝ ＝，

所以sin＝(sin α＋cos α)

＝＝.

3．(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是(　　)

A．tan α＝  B．cos β＝－

C．sin(α－β)＝－1  D．sin＝－

解析：选AC　由题意知sin α＝－，cos α＝－，β＝α＋90°，则tan α＝＝，故A正确；

cos β＝cos(α＋90°)＝－sin α＝，故B错误；

α－β＝－90°，则sin(α－β)＝sin(－90°)＝－1，故C正确；

sin β＝cos α＝－，则sin＝(sin β＋cos β)＝×＝×＝，故D错误，故正确的是A、C.

4．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是(　　)

A．2   B．　

C．－2  D．－

解析：选C　∵tan＝＝＝－，∴tan α＝－2，

∵点P(1，a)在角α的终边上，

∴tan α＝＝a，∴a＝－2.

5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，sin A＝，cos B＝－，则sin C等于(　　)

A．   B．

C．  D．

解析：选B　由sin A＝，cos B＝－＜0，得B为钝角，A，C为锐角，

故cos A＝，sin B＝，

sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.

6.＝________.

解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.

答案：2－

7．已知tan＝，tan＝，则tan(α－β)＝________.

解析：因为tan＝，tan＝，

所以tan(α－β)＝tan

＝

＝＝1.

答案：1

8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．

解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α

＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α

＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，

∴sin β＝－，又β是第三象限角，

∴cos β＝－＝－，

∴sin＝sin βcos＋cos βsin

＝×＋×

＝－.

层级(二)　能力提升练

1．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　∵0<β<α<，∴0<α－β<，

由cos α＝得sin α＝，

由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝，

∴β＝.

2．已知在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，则此三角形一定为(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形  D．钝角三角形

解析：选C　∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．

由已知可得sin(B＋C)＝2sin Bcos C⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.

∵0＜B＜π，0＜C＜π，

∴－π＜B－C＜π.

∴B＝C.所以△ABC一定为等腰三角形．

3．已知sin α－sin β＝－，cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________.

解析：已知两等式分别平方得：

(sin α－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝， ①

(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，      ②

①＋②得：2＋2(cos αcos β－sin αsin β)＝，

即cos αcos β－sin αsin β＝－，

则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.

答案：－

4．已知<α<，0<β<， cos＝－，sin＋β＝.

(1)求sin(α＋β)的值；

(2)求cos(α－β)的值．

解：(1)∵<α<，<＋α<π，

∴sin＝ ＝.

∵0<β<，<＋β<π，

∴cos＝－＝－，

∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)

＝－sin

＝－sin＋αcos＋β＋cos＋α·sin

＝－＝.

(2)由(1)可知，sin＝，cos＝－，

∴sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝－.

又sin＝sin

＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝.

5．已知锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4)．

(1)求sin的值；

(2)若锐角β满足cos(α＋β)＝－，求sin β的值．

解：(1)因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)，

所以sin α＝，cos α＝，

所以sin＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－.

(2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，

因为cos(α＋β)＝－＜0，

所以α＋β∈，所以sin(α＋β)＝.

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×＋×＝.

层级(三)　素养培优练

1．如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α＋β＋γ＝________.

解析：由题图易知tan α＝，tan β＝，γ＝，

∴tan(α＋β)＝＝1，

∴由题意知α＋β＝，所以α＋β＋γ＝.

答案：

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点．

(1)求cos(α＋β)的值；

(2)若α∈，β∈，求2α－β的值．

解：(1)由A，B，

得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，

则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.

(2)由已知得cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝－，sin 2α＝sin αcos α＋cos αsin α＝.

∵cos 2α＜0，α∈，∴2α∈.

∵β∈，∴2α－β∈.

∵sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β

＝×－×＝－，

∴2α－β＝－.