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2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
2. 在一幅长80cm，宽50cm矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
19. 课前预习是学习重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
22. 如图，中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
【正确答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【正确答案】D
【分析】旋转为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
【正确答案】D
【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在上，而点O是圆心，
∴四边形OABC没有内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
【正确答案】B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
【详解】解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴,.
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点，
∴G也为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12−2−2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4.
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确.
∴①③正确.
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证 所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积
∴AP没有断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
当AP=AC=2时,即
S△PEF最小，故④错误；
故选B.
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
【正确答案】且a≠0
【详解】∵方程有两个没有等的实数根，
∴ ，解得且.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂径定理可知：
∴由勾股定理可知：
∵AC=1，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：
PC>OP−OC，
∴当O、C. P三点共线时，PC可取得最小值，
此时
故答案为
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
【正确答案】0.55
【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1，可以得到第三组的概率是多少．
解：由题意可得，
第三组的概率是：1﹣0.2﹣0.25=0.55，
故答案为0.55．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
【详解】试题解析：x=0时，y=c，
∴两函数图象的交点A为(0,c)，
如图，时，0
故答案为0
【正确答案】﹣2+2＜k≤或≤k≤﹣4+6或k≥15
【详解】试题解析：如图,由题意图象的解析式为 图象是图中两根红线之间的上的部分图象.
由,则A(2,4),B(−2,−16),D(2,0).
因为函数y=kx+k−1(k>0)的图象与图象有两个交点
当直线点A时,满足条件,4=2k+k−1,解得
②当直线与抛物线相切时,由 消去y得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
观察图象可知当时,直线与图象有两个交点.
当直线与抛物线相切时,由消去y,得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
④当直线点D(20)时,0=2k+k−1,解得
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
⑤当直线点B(−2,−16)时，−16=−2k+k−1，解得k=15，
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
综上所述,当或或时,直线与图象有两个交点．
故答案为:或或
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
【正确答案】，．
【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
详解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）图见解析，面积为.
【分析】（1）根据网格图知：AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5，作B1A⊥AB，且B1A=AB，作C1A⊥AC且C1A=AC；
（2）阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，而△ABC与△AB1C1的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积．
【详解】(1)作图如图：
(2)线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，
故阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积，两个扇形的圆心角都90度,
∴线段BC所扫过的图形的面积.
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
【正确答案】（1）20、2、2；（2）25%，10%，（3）
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求得A类总人数可得A类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D类人数；
（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）÷50%=20（名），
则A类女生有：20×15%-1=2（名），D类学生有20-（3+10+5）=2（名），
故答案为20、2、2；
（2）C类百分比为×=25%，D类别百分比为×=10%，
补全图形如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结果共有2种．
所以P（一位女同学辅导一位男同学）=．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【正确答案】（1）m＜；（2）m=-3
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值．
试题解析：(1)∵方程有两个没有相等的实数根，
解得：
∴当时，方程有两个没有相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：
∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
解得：m=−3或m=5.
∵a>0，b>0，
∴a+b=−2m+1>0，
∴m=−3.
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3.
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
【正确答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
【详解】试题分析：（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100﹣2（x﹣60），量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可；
（2）将（1）中的2250换成y即可解答．
试题解析：解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85．
（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；
y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有值为2450元．
答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴，
∴，
解得：FD=．
考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
【正确答案】（1）0＜t＜，M（2t，t）；（2）b=；（3）①t=1；②≤m≤2．
【详解】试题分析：
试题解析：(1)如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∵P为线段OB上−动点(没有与O,B重合)，
∵四边形PCDM为正方形，
∴△POC为等腰直角三角形，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M(2t,t)；
(2)把M(2t,t)代入到中得：
1=4at+2b，
(3)①如图2,
∵
∴t=1；
②由(2)得： 即4a=1−2b，
顶点
i)当时,即时，
解得
ii)当时,即−
则
综上所述：a的取值为：
得：
∴
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）， （2）或 （3）存在使线段与互相平分
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．
试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵CH=1，半径CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），
设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x2+2x+2．
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，
∴点D在抛物线上
∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
考点：圆的综合题．
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. 且 B. C. D.
7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 200（1+x）2＝1000
B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000
D 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
8. 若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足=0，第三边c是整数，则c的值可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
9. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A. 10m B. 10m C. 5m D. 5m
10. 已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
11. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. 8或﹣8 D. 4或﹣4
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案直接填在题中横线上.
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
14. 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片(卡片中除图案不同外，其余均相同)，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有对称图案的卡片的概率是________．
15. 已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
16. 如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是___________．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共56分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.）
17. （1）|﹣2|﹣×tan60°+2cos30°+（）﹣1
（2）解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．
18. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
19. 如图，在电线杆上C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
21. 某商店甲、乙两种商品，现有如下信息：
请以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
22. 如图，直线y=x+2分别交x，y轴于点A、C，点P是该直线与反比例函数y=的图象，在象限内的交点，PB丄x轴，B为垂足，S△ABP=9．
（1）直接写出点A坐标_____；点C的坐标_____；点P的坐标_____；
（2）已知点Q在反比例函数y=图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使MP+MQ最小（保留作图痕迹），并求出点M的坐标；
（3）设点R在反比例函数y=的图象上，且在直线PB的右侧，做RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
【正确答案】B
【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项不正确；
B、-=2−=，所以B选项正确；
C、×=，所以C选项不正确；
D、=÷=2÷=2，所以D选项不正确．
故选B．
此题考查二次根式混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、，B、，C、，均不是同类二次根式，故错误；
D、，符合同类二次根式的定义，本选项正确；
故选D．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
3. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先将常数项移至等式右边，再两边配上项系数一半的平方即可.
【详解】，
，
即.
故选.
本题主要考查配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为（）的形式；②方程两边同除以二次项系数，是二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
4. 若，则的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
【正确答案】A
【分析】先用b表示a，然后再代入求值即可．
【详解】解：由＝，得4b＝a﹣b，解得a＝5b，
∴＝＝5．
故选：A．
本题主要考查了代数式求值，用b表示a成为解答本题的关键．
5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【正确答案】A
【详解】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：2．
故选A．
相似三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. 且 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程为一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以，根据这两点列式求解即可．
【详解】解：∵此方程为一元二次方程，
∴k≠0．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴，
解得：．
综上可知且k≠0．
故选：A．
本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路．
7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 200（1+x）2＝1000
B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000
D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【正确答案】D
【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得季度的营业额．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选D．
此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：季度指一、二、三月的总和．
8. 若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足=0，第三边c是整数，则c的值可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【正确答案】B
【详解】因为=0，
所以a-3=0，b-2=0，
解得a=3，b=2，
∵3-2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故选B．
9. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A. 10m B. 10m C. 5m D. 5m
【正确答案】D
【详解】∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC=1：2，BC=5m，
∴AC=10m，
则AB=.
故选D.
10. 已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C
【详解】如图，当点E在线段AD上时，
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴;
如图,当点E在射线AD上时．
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴.
故选C.
11. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. 8或﹣8 D. 4或﹣4
【正确答案】C
【详解】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，
∴a+b=﹣，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=﹣7=9，
∴k=±8，
故选C.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
【正确答案】C
【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∴①正确．
∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
∵AB=BC，
∴△CBD≌△BAG，
∴AG=BD，
∵BD=AB，
∴，
∴，
∴，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
∴②正确；
∵AG∥BC，
∴，
∵AG=BD，，
∴，
∴，
∴AF=AC，
∴S△ABF=S△ABC；
∴S△BDF=S△ABF，
∴S△BDF=S△ABC，
即S△ABC=12S△BDF
∴③错误；
故选C
相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形思想与转化思想的应用．
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案直接填在题中横线上.
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
【正确答案】x≥﹣4
【详解】由题意得，x+4≥0，
解得x≥﹣4．
故答案是：x≥﹣4．
14. 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片(卡片中除图案不同外，其余均相同)，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有对称图案的卡片的概率是________．
【正确答案】
【详解】∵圆、矩形、菱形、正方形是对称图案，
∴抽到有对称图案的卡片的概率是，
故答案为．
15. 已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
【正确答案】2017
【详解】试题解析：根据题意可知：a2﹣2018a+1=0，
∴a2+1=2018a，
a2﹣2017a=a﹣1，
∴原式=a2﹣2017a+
=a﹣1+
=﹣1
=2018﹣1
=2017
故答案2017
16. 如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是___________．
【正确答案】.
【详解】试题分析：由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，证出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例=，设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，再证明△AEF∽△ADC，得出，得出x=，AC=a，再由三角函数的定义求得sin∠ACD==.
故答案为．
考点：矩形的性质；解直角三角形．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共56分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.）
17. （1）|﹣2|﹣×tan60°+2cos30°+（）﹣1
（2）解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．
【正确答案】(1) ；(2)，.
【详解】试题分析：（1）原式项利用值的代数意义化简，第二、三项利用角的三角函数值计算，一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）
试题解析：
（1）解：原式=2﹣﹣2×+2×+2
=2﹣﹣6++2
=﹣2；
（2）解：（x﹣1）（2x﹣3）=0，
x﹣1=0或2x﹣3=0，
所以x1=1，x2=．
18. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
【正确答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×=40%，故m=40，
故答案为20，72，40．
（2）故等级B人数为20﹣（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示；
（3）列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
19. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
【正确答案】CE的长为（4+）米
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米），
∵DH=1.5，
∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
1．相似三角形的判定与性质；2．翻折变换（折叠问题）．
21. 某商店甲、乙两种商品，现有如下信息：
请以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
【正确答案】（1）甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元；（2）m=0.5．
【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+×100）件，每件降价后每件利润为：（1-m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
【详解】（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得，
解得：，
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元；
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1）（500+1000m）+（3﹣2）×1300=1800
（1﹣m）（500+1000m）=500
即2m2﹣m=0
∴m1=0.5，m2=0，
∵m＞0，
∴m=0不合舍去，即m=0.5，
答：当m=0.5时，商店获取的总利润为1800元．
本题考查了二元方程组的应用，一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程（组）是解题的关键．
22. 如图，直线y=x+2分别交x，y轴于点A、C，点P是该直线与反比例函数y=的图象，在象限内的交点，PB丄x轴，B为垂足，S△ABP=9．
（1）直接写出点A的坐标_____；点C的坐标_____；点P的坐标_____；
（2）已知点Q在反比例函数y=的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使MP+MQ最小（保留作图痕迹），并求出点M的坐标；
（3）设点R在反比例函数y=的图象上，且在直线PB的右侧，做RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
【正确答案】 ①. （﹣4，0） ②. （0，2） ③. （2，3）(2) M（5，0）(3) （1+ ， ）或（3，2）
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法可以求出点A、C的坐标，由△ACO∽△APB，推出 ，推出OB=2，PB=3，由此即可解决问题．
（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′与x轴交于点M，LJ PM，此时PM+MQ的值最小．求出直线P′Q的解析式即可．
（3）设R点的坐标为（m， ），分两种情形分别利用相似三角形的性质，列出方程解决问题．
试题解析：
（1）∵直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C，
∴A点坐标（﹣4，0），C点坐标（0，2），
∵S△AOC=×4×2=4，
∵OC∥PB，S△ABP=9，
∴△ACO∽△APB，
∴，
∴AB=6，PB=3，
∴OB=2，
∴P（2，3）
故答案为（﹣4，0），（0，2），（2，3）．
（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′与x轴交于点M，LJ PM，此时PM+MQ的值最小．
∵点P（2，3）在，反比例函数y=上，
∴k=6，
∴Q（6，1），P′（2，﹣3），
∴直线P′Q是解析式为y=x﹣5，
令y=0，得x=5，
∴M（5，0）．
（3）如图2中，设R点的坐标为（m，），
∵P点坐标为（2，3），
又∵△BRT∽△ACO，
∴ ，
∴ ，
解得m1=1+，m2=1﹣（舍去），
∴R（1+，），
②如图3中，△BRT∽△时，
∴ 时，
∴，
解得m1=3，m2=﹣1（舍去）
∴R（3，2）
综上所述，满足条件的点R坐标为（1+，）或（3，2）．
运用了反比例函数、相似三角形的判定和性质、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
2. 在一幅长80cm，宽50cm矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
19. 课前预习是学习重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
22. 如图，中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 方程的左边配成完全平方后所得方程为 （ ）
A. B. C. D. 以上答案都没有对
【正确答案】A
【分析】先变形得到x2+6x=5，再把方程两边加上9得x2+6x+9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2=14．
【详解】先移项得x2+6x=5，
方程两边加上9得：x2+6x+9=5+9，
所以（x+3）2=14．
故选A．
本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A. x2+130x﹣1400＝0 B. x2+65x﹣350＝0
C. x2﹣130x﹣1400＝0 D. x2﹣65x﹣350＝0
【正确答案】B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
3. 如罔，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点 A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点)，连接CC′，则∠CC′B′的度数是( )．
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【正确答案】D
【分析】旋转为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．
【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，
又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，
∴∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．
故选D．
4. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
5. 如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O C. .AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
【正确答案】D
【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在上，而点O是圆心，
∴四边形OABC没有内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
6. 在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（ ）
A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相离
C. 与x轴相离，与y轴相切 D. 与x轴相离，与y轴相离
【正确答案】B
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选B．
本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
7. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（ ）时，游戏对甲乙双方公平．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．
【详解】解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x，
解得：x=4．
故选B．
此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．
8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故选D
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
9. 如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（ ）
①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；
③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：如图，分别延长AE、BF交于点H.
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴,.
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点，
∴G也为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN.
∵CD=12−2−2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4.
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点,
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确.
∴①③正确.
∵点P从点C沿线段CD向点D运动(运动到点D停止),易证 所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp=x,则四边形面积
∴AP没有断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误.
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
当AP=AC=2时,即
S△PEF最小，故④错误；
故选B.
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共18分）
11. 方程ax2+x+1=0 有两个没有等的实数根，则a的取值范围是________.
【正确答案】且a≠0
【详解】∵方程有两个没有等的实数根，
∴ ，解得且.
12. 如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是_____．
【正确答案】
【详解】试题解析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂径定理可知：
∴由勾股定理可知：
∵AC=1，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：
PC>OP−OC，
∴当O、C. P三点共线时，PC可取得最小值，
此时
故答案为
13. 将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．
【正确答案】0.55
【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1，可以得到第三组的概率是多少．
解：由题意可得，
第三组的概率是：1﹣0.2﹣0.25=0.55，
故答案为0.55．
14. 挂钟分针的长10cm，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm
【正确答案】．
【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=，求得弧长．
∵分针60分钟，转过360°，
∴45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l=（cm）．
考点：弧长的计算．
15. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c 的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当y1
【详解】试题解析：x=0时，y=c，
∴两函数图象的交点A为(0,c)，
如图，时，0
故答案为0
【正确答案】﹣2+2＜k≤或≤k≤﹣4+6或k≥15
【详解】试题解析：如图,由题意图象的解析式为 图象是图中两根红线之间的上的部分图象.
由,则A(2,4),B(−2,−16),D(2,0).
因为函数y=kx+k−1(k>0)的图象与图象有两个交点
当直线点A时,满足条件,4=2k+k−1,解得
②当直线与抛物线相切时,由 消去y得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
观察图象可知当时,直线与图象有两个交点.
当直线与抛物线相切时,由消去y,得到
∵△=0，
解得或 (舍弃)，
④当直线点D(20)时,0=2k+k−1,解得
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
⑤当直线点B(−2,−16)时，−16=−2k+k−1，解得k=15，
观察图象可知,时,直线与图象有两个交点．
综上所述,当或或时,直线与图象有两个交点．
故答案为:或或
三、解 答 题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）
17. 解方程：．
【正确答案】，．
【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
详解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．
（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）图见解析，面积为.
【分析】（1）根据网格图知：AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5，作B1A⊥AB，且B1A=AB，作C1A⊥AC且C1A=AC；
（2）阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，而△ABC与△AB1C1的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积．
【详解】(1)作图如图：
(2)线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
阴影部分的面积等于扇形ACC1与△ABC的面积和减去扇形ABB1与△AB1C1，
故阴影部分的面积等于扇形ACC1减去扇形ABB1的面积，两个扇形的圆心角都90度,
∴线段BC所扫过的图形的面积.
19. 课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．
（1）本次的样本容量是 ；其中A类女生有 名，D类学生有 名；
（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．
【正确答案】（1）20、2、2；（2）25%，10%，（3）
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求得A类总人数可得A类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D类人数；
（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得；
（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）÷50%=20（名），
则A类女生有：20×15%-1=2（名），D类学生有20-（3+10+5）=2（名），
故答案为20、2、2；
（2）C类百分比为×=25%，D类别百分比为×=10%，
补全图形如下：
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结果共有2种．
所以P（一位女同学辅导一位男同学）=．
20. 已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个没有相等实数根？
（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【正确答案】（1）m＜；（2）m=-3
【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为 根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据即可确定的值．
试题解析：(1)∵方程有两个没有相等的实数根，
解得：
∴当时，方程有两个没有相等的实数根.
(2)设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：
∵2a、2b为边长为的菱形的两条对角线的长，
解得：m=−3或m=5.
∵a>0，b>0，
∴a+b=−2m+1>0，
∴m=−3.
若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为−3.
21. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？
【正确答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
【详解】试题分析：（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100﹣2（x﹣60），量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可；
（2）将（1）中的2250换成y即可解答．
试题解析：解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解得：x1=65，x2=85．
（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；
y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有值为2450元．
答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．
22. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
（1）求的值；
（2）若是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【正确答案】（1）；（2）菱形
【分析】（1）由旋转的性质可得出，再由三角形的内角和可求出，因此可证出是等边三角形，得到，即可解决问题；
（2）根据题意，证明，再证明，得到，即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵，
∴
∴等边三角形
∴
（2）∵为等边三角形
∴
∵
∴
由题意得：，
∵是的中点
∴
∴
∴四边形是菱形
本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．
23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD∥AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE∥FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴，
∴，
解得：FD=．
考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．
24. 如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（没有与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP=t，OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ，写出M的坐标：（ ， ）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
【正确答案】（1）0＜t＜，M（2t，t）；（2）b=；（3）①t=1；②≤m≤2．
【详解】试题分析：
试题解析：(1)如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∵P为线段OB上−动点(没有与O,B重合)，
∵四边形PCDM为正方形，
∴△POC为等腰直角三角形，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M(2t,t)；
(2)把M(2t,t)代入到中得：
1=4at+2b，
(3)①如图2,
∵
∴t=1；
②由(2)得： 即4a=1−2b，
顶点
i)当时,即时，
解得
ii)当时,即−
则
综上所述：a的取值为：
得：
∴
25. ．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在优弧上．
（1）求出A，B两点的坐标；
（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由.
【正确答案】（1）， （2）或 （3）存在使线段与互相平分
【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．
（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．
（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．
试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵CH=1，半径CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．
（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），
设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x2+2x+2．
（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，
∴点D在抛物线上
∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
考点：圆的综合题．
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. 且 B. C. D.
7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 200（1+x）2＝1000
B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000
D 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
8. 若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足=0，第三边c是整数，则c的值可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
9. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A. 10m B. 10m C. 5m D. 5m
10. 已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
11. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. 8或﹣8 D. 4或﹣4
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案直接填在题中横线上.
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
14. 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片(卡片中除图案不同外，其余均相同)，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有对称图案的卡片的概率是________．
15. 已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
16. 如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是___________．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共56分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.）
17. （1）|﹣2|﹣×tan60°+2cos30°+（）﹣1
（2）解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．
18. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
19. 如图，在电线杆上C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
21. 某商店甲、乙两种商品，现有如下信息：
请以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
22. 如图，直线y=x+2分别交x，y轴于点A、C，点P是该直线与反比例函数y=的图象，在象限内的交点，PB丄x轴，B为垂足，S△ABP=9．
（1）直接写出点A坐标_____；点C的坐标_____；点P的坐标_____；
（2）已知点Q在反比例函数y=图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使MP+MQ最小（保留作图痕迹），并求出点M的坐标；
（3）设点R在反比例函数y=的图象上，且在直线PB的右侧，做RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
2022-2023学年四川省内江市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. +＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ＝4
【正确答案】B
【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项不正确；
B、-=2−=，所以B选项正确；
C、×=，所以C选项不正确；
D、=÷=2÷=2，所以D选项不正确．
故选B．
此题考查二次根式混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、，B、，C、，均不是同类二次根式，故错误；
D、，符合同类二次根式的定义，本选项正确；
故选D．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
3. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先将常数项移至等式右边，再两边配上项系数一半的平方即可.
【详解】，
，
即.
故选.
本题主要考查配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为（）的形式；②方程两边同除以二次项系数，是二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
4. 若，则的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D.
【正确答案】A
【分析】先用b表示a，然后再代入求值即可．
【详解】解：由＝，得4b＝a﹣b，解得a＝5b，
∴＝＝5．
故选：A．
本题主要考查了代数式求值，用b表示a成为解答本题的关键．
5. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
【正确答案】A
【详解】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：2．
故选A．
相似三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A. 且 B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程为一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以，根据这两点列式求解即可．
【详解】解：∵此方程为一元二次方程，
∴k≠0．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴，
解得：．
综上可知且k≠0．
故选：A．
本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路．
7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 200（1+x）2＝1000
B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000
D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【正确答案】D
【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得季度的营业额．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选D．
此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：季度指一、二、三月的总和．
8. 若a、b、c为△ABC的三边，且a、b满足=0，第三边c是整数，则c的值可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【正确答案】B
【详解】因为=0，
所以a-3=0，b-2=0，
解得a=3，b=2，
∵3-2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故选B．
9. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，坡高BC=5m，则坡面AB的长度（ ）
A. 10m B. 10m C. 5m D. 5m
【正确答案】D
【详解】∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴BC：AC=1：2，BC=5m，
∴AC=10m，
则AB=.
故选D.
10. 已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，若DE=2，连接BE与对角线AC相交于点F，则FC：AF的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】C
【详解】如图，当点E在线段AD上时，
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴;
如图,当点E在射线AD上时．
∵DE=2、AD=BC=6，
∴AE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴.
故选C.
11. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是（ ）
A. 8 B. ﹣8 C. 8或﹣8 D. 4或﹣4
【正确答案】C
【详解】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7=0的两个根，
∴a+b=﹣，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=﹣7=9，
∴k=±8，
故选C.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：
①；
②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③
【正确答案】C
【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∴①正确．
∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
∵AB=BC，
∴△CBD≌△BAG，
∴AG=BD，
∵BD=AB，
∴，
∴，
∴，
∵AC=AB，
∴AF=AB，
∴②正确；
∵AG∥BC，
∴，
∵AG=BD，，
∴，
∴，
∴AF=AC，
∴S△ABF=S△ABC；
∴S△BDF=S△ABF，
∴S△BDF=S△ABC，
即S△ABC=12S△BDF
∴③错误；
故选C
相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形思想与转化思想的应用．
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案直接填在题中横线上.
13. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
【正确答案】x≥﹣4
【详解】由题意得，x+4≥0，
解得x≥﹣4．
故答案是：x≥﹣4．
14. 有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片(卡片中除图案不同外，其余均相同)，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有对称图案的卡片的概率是________．
【正确答案】
【详解】∵圆、矩形、菱形、正方形是对称图案，
∴抽到有对称图案的卡片的概率是，
故答案为．
15. 已知a是方程x2﹣2018x+1=0的一个根a，则a2﹣2017a+的值为_____．
【正确答案】2017
【详解】试题解析：根据题意可知：a2﹣2018a+1=0，
∴a2+1=2018a，
a2﹣2017a=a﹣1，
∴原式=a2﹣2017a+
=a﹣1+
=﹣1
=2018﹣1
=2017
故答案2017
16. 如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠ACD的值是___________．
【正确答案】.
【详解】试题分析：由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，证出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例=，设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，再证明△AEF∽△ADC，得出，得出x=，AC=a，再由三角函数的定义求得sin∠ACD==.
故答案为．
考点：矩形的性质；解直角三角形．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共56分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.）
17. （1）|﹣2|﹣×tan60°+2cos30°+（）﹣1
（2）解方程：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）=0．
【正确答案】(1) ；(2)，.
【详解】试题分析：（1）原式项利用值的代数意义化简，第二、三项利用角的三角函数值计算，一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）
试题解析：
（1）解：原式=2﹣﹣2×+2×+2
=2﹣﹣6++2
=﹣2；
（2）解：（x﹣1）（2x﹣3）=0，
x﹣1=0或2x﹣3=0，
所以x1=1，x2=．
18. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
【正确答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×=40%，故m=40，
故答案为20，72，40．
（2）故等级B人数为20﹣（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示；
（3）列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
19. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
【正确答案】CE的长为（4+）米
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米），
∵DH=1.5，
∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）．
【分析】（1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可；
（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．
【详解】（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10，
由折叠性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，，
即，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
即，
解得：AD=．
1．相似三角形的判定与性质；2．翻折变换（折叠问题）．
21. 某商店甲、乙两种商品，现有如下信息：
请以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润=零售单价﹣进货单价）
【正确答案】（1）甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元；（2）m=0.5．
【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+×100）件，每件降价后每件利润为：（1-m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
【详解】（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得，
解得：，
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元；
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1）（500+1000m）+（3﹣2）×1300=1800
（1﹣m）（500+1000m）=500
即2m2﹣m=0
∴m1=0.5，m2=0，
∵m＞0，
∴m=0不合舍去，即m=0.5，
答：当m=0.5时，商店获取的总利润为1800元．
本题考查了二元方程组的应用，一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程（组）是解题的关键．
22. 如图，直线y=x+2分别交x，y轴于点A、C，点P是该直线与反比例函数y=的图象，在象限内的交点，PB丄x轴，B为垂足，S△ABP=9．
（1）直接写出点A的坐标_____；点C的坐标_____；点P的坐标_____；
（2）已知点Q在反比例函数y=的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使MP+MQ最小（保留作图痕迹），并求出点M的坐标；
（3）设点R在反比例函数y=的图象上，且在直线PB的右侧，做RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
【正确答案】 ①. （﹣4，0） ②. （0，2） ③. （2，3）(2) M（5，0）(3) （1+ ， ）或（3，2）
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法可以求出点A、C的坐标，由△ACO∽△APB，推出 ，推出OB=2，PB=3，由此即可解决问题．
（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′与x轴交于点M，LJ PM，此时PM+MQ的值最小．求出直线P′Q的解析式即可．
（3）设R点的坐标为（m， ），分两种情形分别利用相似三角形的性质，列出方程解决问题．
试题解析：
（1）∵直线y=x+2分别交x、y轴于点A、C，
∴A点坐标（﹣4，0），C点坐标（0，2），
∵S△AOC=×4×2=4，
∵OC∥PB，S△ABP=9，
∴△ACO∽△APB，
∴，
∴AB=6，PB=3，
∴OB=2，
∴P（2，3）
故答案为（﹣4，0），（0，2），（2，3）．
（2）如图1中，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′与x轴交于点M，LJ PM，此时PM+MQ的值最小．
∵点P（2，3）在，反比例函数y=上，
∴k=6，
∴Q（6，1），P′（2，﹣3），
∴直线P′Q是解析式为y=x﹣5，
令y=0，得x=5，
∴M（5，0）．
（3）如图2中，设R点的坐标为（m，），
∵P点坐标为（2，3），
又∵△BRT∽△ACO，
∴ ，
∴ ，
解得m1=1+，m2=1﹣（舍去），
∴R（1+，），
②如图3中，△BRT∽△时，
∴ 时，
∴，
解得m1=3，m2=﹣1（舍去）
∴R（3，2）
综上所述，满足条件的点R坐标为（1+，）或（3，2）．
运用了反比例函数、相似三角形的判定和性质、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
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