福建省泉州市第五中学、第七中学、科技中学等五校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

福建省泉州市第五中学、第七中学、科技中学等五校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．二次根式有意义，则的取值为（    ）

A． B． C． D．

2．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．下列各式计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为12米，则铅垂高度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

5．2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场．现A组有支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（　　）

A．59° B．62° C．118° D．124°

8．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，四边形内接于半径为5的⊙，，，则的长为（    ）

A．5 B． C． D．10

10．已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（    ）

A．8 B．9 C．12 D．18

二、填空题

11．计算：_____．

12．一元二次方程x2+3x=0的解是_____．

13．如图，每个小正方形的边长均相等，则的值为_____．

14．抛物线的对称轴是_____．

15．如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是___________．

16．如图，在矩形中，，是由绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，与相交于点，交于点，连结，四边形恰好是矩形．则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．

三、解答题

17．计算：．

18．解方程：．

19．油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为乡村旅游的一张靓丽名片．我校初二年数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留根号）

20．小明每天玩“贏豆领零花钱”游戏．游戏规则：将三张分别标注数字、2、2，背面花纹相同的扑克牌反扣在桌面上，由妈妈随机摸出一张，记下数字后，将扑克牌反扣桌面洗匀，再随机摸出一张，并将两张标注的数字之和作为本次游戏结果．当时，小明赢粒豆；当时，小明输粒豆．最后凭豆数从妈妈那里领零花钱，一粒豆30元钱．

(1)试用画树状图或列表法，求每次玩游戏时小明贏豆的概率；

(2)几年来，小明每天玩“贏豆领零花钱”游戏一直这样进行．请以游戏结果的平均数为依据判断：小明今天领了多少零花钱？

21．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．

(1)求k的取值范围；

(2)若，求k的值．

22．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

23．已知如图，中，，平分．

(1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)若，，与相离，求半径的取值范围．

24．如图，在四边形中，于点，，，过点作于，、的延长线交于点．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)求证：．

25．已知抛物线与轴只有一个交点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线．抛物线与轴交于、两点（其中点在左侧，点在右侧），与轴交于点，连接．为第一象限内拋物线上的一个动点．

①若的面积是面积的倍，求的坐标；

②抛物线的对称轴交轴于点，过作交于，交轴于．当点在线段上时，求的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．

【详解】解：根据题意得，．

解得：

故选：A．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是关键．

2．C

【分析】根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．

【详解】解：∵，

∴设，，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

3．C

【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可．

【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；

B、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；

C、，计算正确，符合题意；

D、，计算错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．

4．A

【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．

【详解】解：∵迎水坡的坡度，水平宽度为12米，

∴铅垂高度为：（米），

故选A．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．

5．B

【分析】已知支球队参加比赛，则每个队伍需要赛场，队共需赛场；而每两队都赛了一场，因此共赛了场．

【详解】解：设有支球队参加比赛，每只球队比赛场

依题意，可列方程为

故选：B．

【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是找到其中的相等关系．

6．A

【分析】连接交于点，即可．

【详解】解：如图，连接交于点，

∴位似中心是点．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．

7．B

【分析】连接OA、OB，先证明∠P=180°-∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB的度数，即可得出结果．

【详解】连接OA、OB，如图所示：

∵PA、PB是⊙O切线，

∴PA⊥OA，PB⊥OB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，

∴∠P=180°-∠AOB，

∵∠ACB=59°，

∴∠AOB=2∠ACB=118°，

∴∠P=180°-118°=62°，

故选：B．

【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键．

8．B

【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，则△AEF∽△CBF，有，再根据AE：ED＝1：2，可得AE：AD＝1：3，从而解决问题．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE：ED＝1：2，

∴AE：AD＝1：3，

∴，

∴AF：CF＝1：3，

∵OA＝OC，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键．

9．B

【分析】连接，．首先证明，推出，可得结论．

【详解】解：如图，连接，．

，

点是的外接圆的圆心，

，

，

，

，

故选B．

【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是证明．

10．D

【分析】根据抛物线表达式以及分析出抛物线图像的大致情况，得到，再根据抛物线对称轴得到，从而推出，即点C坐标，代入抛物线表达式中，即可求出n．

【详解】解：由题意画图可得：

抛物线与x轴交于A，C，抛物线与x轴交于B，D，

∵，

∴，

∵两个抛物线与y轴都交于，

∴，

∵抛物线的对称轴为直线，

物线的对称轴为直线，

∴，

∴，即，代入中，

得：，

故选D．

【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，解题的关键是要读懂题意，通过对图像的分析将转化为．

11．

【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．

【详解】．    

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．

12．0，-3

【分析】利用提公因式法把方程变形为ab=0的形式，构成两个一元一次方程解答即可.

【详解】x2＋3x＝0

x（x+3）=0

x=0或x+3=0

解得x1＝0，x2＝－3.

故答案为x1＝0，x2＝－3.

【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是利用提公因式法把方程化为ab=0的形式.

13．

【分析】要求的值，必须把放在直角三角形中，所以想到连接，然后证明是等腰直角三角形即可解答．

【详解】解：连接，

由题意得：

，

，

，

，

是直角三角形，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14．直线

【分析】根据对称轴的公式计算即可．

【详解】解：抛物线的对称轴是直线，

故答案为：直线．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握对称轴的求法为直线．

15．

【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算．

【详解】解：在各个道路上标上相应的字母，

根据标出的字母画出树状图，如图所示：

∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路，

∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键．

16．①②③④

【分析】①根据旋转的性质可证结论成立；②由①，结合可证；③先根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质证明，再证明即可证明结论成立；④由旋转的性质的，从而，结合勾股定理可得，进而可证结论成立．

【详解】∵是由绕点C旋转得到，

∴，故①正确；

∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，故②正确；

∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是由绕点C旋转得到，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，故③正确；

∵是由绕点C旋转得到，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故④正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，锐角三角函数等知识，综合运用各知识点是解题的关键．

17．

【分析】先算平方差，乘法并化简，再计算加减法即可求解．

【详解】解：

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．

18．x1=3，

【分析】因式分解法解.

【详解】

(-2x-1)(-x+3)=0

x1=3，.

【点睛】考查利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是解决本题的关键．

19．

【分析】作于点，根据三角函数求出和，再利用等腰直角三角形的性质得出，再根据比例关系求出的长度即可．

【详解】解：作于点，

，平分，

，

，

，

，，

，

，

，

，

即，

解得，

最少需要准备长的伞柄．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．

20．(1)

(2)20元

【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到的情况数，再根据概率公式求解即可；

（2）先求出、、4的概率，再根据加权平均数的定义求出a的平均值，乘以30即可得出答案．

【详解】（1）解：如图，

由图可知：共有9种等可能的结果，其中，的情况有4种，

∴小明赢豆的概率为；

（2）由（1）可得：，，，

∴a的平均值为，

∴当游戏次数足够多时，判断：小明今天领了零花钱元．

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．(1)

(2)2

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；

（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．

【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，

此方程根的判别式，

解得．

（2）解：由题意得：，

解得或，

由（1）已得：，

则的值为2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．

22．(1)20%

(2)18个

【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；

（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．

【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，

根据题意得：，

解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，

由题意得：，

解得．

∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）作的平分线交于点H，再线段上任取一点O，作于点E，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可求解；

（2）当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作与于点G，则，证明四边形是正方形，可得，再证明与相切，根据切线长定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．

【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作交于点G，则，

∴，，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∵，

∴四边形是正方形，

∴，

∴，

∵平分，，，

∴，

∴与相切，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴当与相离时，半径的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，切线长定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质和判定，切线长定理是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）利用同角的余角相等可得；

（2）作的外接圆，证明，，即可得证；

（3）证明，得到，，再证明，可得，通过相似可证，推出即可解决问题．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）∵，

∴A，B，C，D四点共圆，如图，

，

，

又，

，

，，

，

，

，

，

，

，

（3）在和中，

，

∴，

∴，，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

即．

【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，从复杂图形中找出基本图形进行线段之间的转化是解决问题的关键．

25．(1)

(2)①或；②

【分析】（1）根据根的判别式，求出a的值，即可求解；

（2）①根据平移的性质可得抛物线的解析式，然后过点D作轴交于点M，再直线的解析式为，设点，则点，可得，然后根据的面积是面积的倍，得到关于m的方程，即可求解；②根据题意可得：F点从点O向点G 的移动过程中，的值逐渐增大，此时的值逐渐增大，然后分别求出过点O和G时，的值，即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线与轴只有一个交点，

∴，即，

解得：或0（舍去），

∴抛物线的解析式为；

（2）解：①根据题意得：抛物线的解析式为:，

如图，过点D作轴交于点M，

对于抛物线为，

令，则，

解得：，

∴点，

令，，

∴点，

∴，

设直线的解析式为，

把点，代入得：

，解得：，

∴直线的解析式为，

设点，则点，

∴，  

∴，

∵的面积是面积的倍，

∴，

解得：或2，

∴的坐标为或；

②如图，

根据题意得：，

∵，

∴F点从点O向点G 的移动过程中，的值逐渐增大，此时的值逐渐增大，

若过点O，如图，

由（2）得：，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴，

此时；

若过点G，如图，

∵，抛物线的对称轴交轴于点，

∴点，

∴，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

综上所述，的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．