微专题 函数的周期性 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 函数的周期性 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共32页。

微专题：函数的周期性
【考点梳理】
1.函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期.
2. 函数周期性的几个常用结论
(1)周期函数的定义域必定至少一端是无界的.
(2)T是f(x)的周期，则nT(n∈N*)也是f(x)的周期.
(3)若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝.
(4)以下等式中任何一个可推得2a为f(x)的周期(a＞0)：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝；③f(x＋a)＝－；④f(x＋a)＝.



【题型归纳】
题型一：由周期性求函数的解析式
1．设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数f(x)满足f(x-1)=2f(x)，且x当x[-1，0)时，f(x)=--2x+3，则当x[1,2)时，f(x)的最大值为（       ）
A． B．1 C．0 D．-1
3．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（       ）
A． B． C． D．

题型二：由函数的周期性求函数值
4．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（       ）
A． B．0 C． D．1
5．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（       ）
A． B． C． D．
6．已知是以2为周期的函数，且，则（       ）
A．1 B．-1 C． D．7

题型三：函数周期性的应用
7．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（       ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
9．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）
A．是偶函数 B．
C． D．





【双基达标】
10．已知函数的图象关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（       ）
A． B． C．的周期为2 D．
11．已知函数满足：对任意，．当时，，则（       ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，且满足，且，，则（       ）．
A．2021 B．1 C．0 D．
13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（       ）
A． B． C． D．
14．函数对任意，都有的图形关于对称，且   则（       ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，现有以下四个对函数的命题：
①是偶函数                    ②是周期函数
③的值域为［0，1］       ④当时，
其中正确的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知函数的定义域为R，且，则（       ）
A． B． C．0 D．1
17．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）
A． B． C． D．
18．偶函数关于点中心对称，且当时，，则（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
19．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（       ）
A． B．
C． D．
20．已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
21．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法不正确的是（       ）
A．的周期 B．的最大值为4 C． D．为偶函数
22．定义域为的偶函数，满足．设，若是偶函数，则（       ）
A． B． C．2021 D．2022
23．已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（       ）
A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数
C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数
24．设，又记，，，2，3，，则（       ）
A． B． C． D．
25．若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于(       )
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（       ）
A．－2 B．2 C．3 D．
27．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
28．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（       ）
A． B． C．0 D．1
29．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
30．已知函数则（       ）
A． B． C． D．
31．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（       ）
A． B． C． D．
32．已知函数，，，，…，依此类推，
A． B． C．0 D．
33．已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
34．从出生之日起，人的体力､情绪､智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲线)：

体力､情绪､智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周期内的表现如下表所示：

高潮期
低潮期
体力
体力充沛
疲倦乏力
情绪
心情愉快
心情烦躁
智力
思维敏捷
反应迟钝

如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（       ）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
二、多选题
35．已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是（       ）
A．的周期为4 B．的值域为
C．是偶函数 D．
36．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则
A．为奇函数 B．为周期函数
C．为奇函数 D．为偶函数
37．已知在定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．
C．，
D．方程在的各根之和为-6
38．（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（       ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．
D．
三、填空题
39．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为______________.
40．设是定义在上周期为4的偶函数，且当时，，则函数在上的解析式为__________.
41．已知是以为周期的偶函数，且当时，，则________．
42．定义在上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；       
②的图象关于对称；
③在上是增函数；
④．
其中正确命题的序号是______．
43．已知函数是周期函数，10是的一个周期，且，则________.
44．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.
四、解答题
45．已知函数的最小值正周期是．
（1）求的值；
（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合．
46．函数满足，求．
47．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，求的值.
48．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，．
（1）当时，求的解析式．
（2）画出函数在上的函数简图．
（3）当时，求x的取值范围．
49．已知函数
（1）作出在上的图像；
（2）若，判断是否为周期函数？如果是，求出最小正周期.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．
【详解】
解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，，
∴时，
，，
此时，
时，
，，
此时，
综上可得：时，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
2．B
【解析】
首先设，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】
设，，
，
，
，
，在区间单调递减，函数的最大值是.
故选：B
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数的解析式.
3．C
【解析】
令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．
【详解】
令，则，
∵当时，有，
∴f（x+2）＝2x+2，
∵f（x+2）＝f（x），
∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，故可得，
又为偶函数，故可得，
则，故以4为周期，
故.
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
由抽象函数关系式可求得周期为，从而得到，结合函数奇偶性和解析式可求得结果.
【详解】
由，可得函数的周期为，
，又为偶函数，
，
当时，，
.
故选：D.
6．A
【解析】
【分析】
除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.
【详解】
因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即
所以.
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
作出函数与的图象，由图象观察即可求解
【详解】
由，得，
知周期，
令，得.
作出函数与的图象如图所示.

由函数的图象知，有两个零点.
故选：A
8．B
【解析】
【分析】
根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
因为，且为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故A正确．
由的周期为4，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，


由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：B．
9．A
【解析】
【分析】
根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.
【详解】
是奇函数，；
是偶函数，，
，，
，，
是周期为的周期函数，B错误；
，，是偶函数，A正确；
，，无法得到，C错误；
，无法得到，D错误.
故选：A.
10．B
【解析】
【分析】
由函数的图象关于直线对称，得到；由函数关于点对称，得到，证明出的最小正周期为4.判断C、D错误；利用周期性和得到，可以判断B正确；不能确定是否正确.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，
所以，即.
用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.
函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.
对于，令x取x+1，可得：.
对于，令x取x+2，可得：.
所以，令x取-x，可得：，
所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；
对于B：对于，令x取x-3，可得：.
因为的最小正周期为4，所以，
所以，即.故B正确.
对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
根据可得，，则，将代入解析式，即可求解.
【详解】
因为，
则，即，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：C
12．C
【解析】
【分析】
分别令，令得到，进而推得函数是周期函数求解．
【详解】
令，则，
故，
故，（舍）
令，则，
故．
∴，
即，
故的周期为4，即是周期函数．
∴．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】
由，得，则
，所以的周期为，
因为函数是定义在实数集上的偶函数， 所以，
为无理数，所以，
，
所以.
故选：D.
14．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.
【详解】
函数周期为，，
的图形关于对称，故关于对称，.
故.
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.
【详解】
由于，所以，
由此画出函数图像如下图所示，

由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为，当时，.
故选项②④正确
故选：C
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.
16．A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
17．B
【解析】
【分析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
18．B
【解析】
【分析】
偶函数关于点对称，则是周期为4的函数，计算出、，再利用周期可得．
【详解】
偶函数关于点对称，则，，
令，则，
故，
是周期为4的函数，
，，
又，
，
，
．
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，
故，代入解析式即得解
【详解】
为奇函数, ，
偶函数，，
，即，
．
令，则，
，．
故函数周期为4

故选：B
20．A
【解析】
【分析】
令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.
【详解】
解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，
又函数为偶函数，所以，
所以函数是周期为2的函数，
又的图象也关于直线对称，
作出函数与在区间上的图象，如图所示：

由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，
所以方程在区间上所有解的和为，
故选：A.
21．C
【解析】
【分析】
根据函数的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.
【详解】
解：函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，当时，，
又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：C.
22．C
【解析】
【分析】
由题可得，结合条件可得函数周期为4，进而可得，即得.
【详解】
∵，
∴，又为偶函数，
∴，即，
∴，又是定义域为R偶函数，
∴，
∴周期为4，又，
∴，
∴.
故选：C.
23．D
【解析】
【分析】
由可得，结合可得出，再由即可求出的周期，再由，即可求出为奇函数.
【详解】
即①，
在①中将变换为，则，则，
又因为，所以，所以②，
在②将变换为，所以，所以，
所以的周期为.
因为，所以，
所以为奇函数.
故选：D.
24．D
【解析】
【分析】
根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出．
【详解】
根据题意，，则，，
，则，故，
故选：．
25．D
【解析】
【分析】
根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.
【详解】
∵函数是偶函数，
∴，
又∵，
，
，
，
∴函数的周期为4，
∴.
故选：D.
26．D
【解析】
【分析】
由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值.
【详解】
由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又，
，的周期为4.
.
故选：D.
27．B
【解析】
【分析】
根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.
【详解】
因为是奇函数，
∴，
∵是偶函数，
∴，即，
，
则，即周期为8；
另一方面，
∴，即是偶函数.
故选：B.
28．B
【解析】
先利用奇偶性和周期性求出和，即得结果.
【详解】
解：是定义在上的奇函数，，满足，
，又，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.
29．C
【解析】
【详解】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
30．A
【解析】
【分析】
先分析出时的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.
【详解】
当时，因为，所以，所以是周期为的函数，
所以，
又因为，所以，
故选：A.
【点睛】
结论点睛：周期性常用的几个结论如下：
（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；
（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；
（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；
（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.
31．B
【解析】
【分析】
根据是定义在上的偶函数，得到，同时结合条件为偶函数，可得到函数的周期，从而，代入即可求值.
【详解】
因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又为定义在上的为偶函数，所以，
所以，所以函数的周期，
所以.
故选：B.
32．A
【解析】
【分析】
利用三角函数求导法则求出 观察所求的结果，归纳其中的规律，发现其周期性，即可得出答案.
【详解】

依次类推可得出 .
【点睛】
本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性解决本题.
33．B
【解析】
【分析】
根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在时的最小值即可.
【详解】
因为，所以是周期为2的周期函数，
因为，所以，所以为奇函数，
所以只需考虑区间内的最小值即可.
当时，，所以，且，
而由于为奇函数，所以在时，，
又因为为奇函数，所以，，
因为的周期为2，所以，
所以，
所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值.
故选：B．
34．A
【解析】
【分析】
由题知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为，进而根据周期性求解即可得答案.
【详解】
解：由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为.
从同学甲出生到今日的天数为5850，
故对于体力，有，处于高潮期，体力充沛；
对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁；
对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷；
故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷.
故选：A
35．ACD
【解析】
【分析】
由奇函数的性质和对称性首先得出，然后可得，函数为周期为4的周期函数，判断A，由图象变换可判断C，由周期性判断D，由奇偶性、对称性、周期性求得值域，判断B．
【详解】
是奇函数，，又的图象关于直线对称，所以，所以，从而，
所以是周期函数，4是它的一个周期，
的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，因此的图象关于轴对称，它是偶函数，
，
时，，，，时，，再由对称性，周期性可得的值域是，
综上ACD正确，B错误．
故选：ACD．
36．ABC
【解析】
【分析】
利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果.
【详解】
由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称，
所以，，
所以，即
所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数，
所以，均为奇函数.
故选ABC.
【点睛】
本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.
37．ACD
【解析】
【分析】
由题意可得是以4为周期的周期函数，再由，可判断选项A; 当时,求出可判断选项B；根据题意可得出从而可判断性选项C；作出的示意图，由图象的对称性数形结合可判断选项D.
【详解】
由在定义在上的奇函数，则
由，所以，即
则，即是以4为周期的周期函数.
由题意，所以
又，则，所以
所以，故选项A正确.
选项B. 当时，故选项B不正确.
选项C.

所以
当时，均为增函数，则为增函数.
所以在上为增函数，
又为奇函数，且
所以在单调递增，所以，由
所以，所以必存在，使得，故选项C正确.
选项D. 因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，
然后由对称性作出在上的图象，如图所示.

根据对称性可知方程在的各根之和为 ，故选项D正确.
故选：ACD
38．ABD
【解析】
【分析】
，所以的图象关于对称．故选项B正确；
周期为4，所以的图象关于对称，故选项A正确；
，故选项D正确，选项C不正确.
【详解】
因为为奇函数，所以
即，所以的图象关于对称．
故选项B正确，
由可得，
由可得，
所以，可得，
所以，所以周期为4，
所以的图象关于对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
39．0
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期可求解，再由奇函数即可得解.
【详解】
由题意，得，
∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周期为4，
∴
又∵，
∴
故答案为：0
40．，.
【解析】
【分析】
设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果.
【详解】
解：根据题意，设，则，则有，
当时，，
则，
又为周期为4的偶函数，
所以，，
则有，；
故答案为：，.
41．
【解析】
【分析】
利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】
．
故答案为：.
42．①②④
【解析】
【分析】
令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出.
【详解】
由，可得，
所以函数的周期为4，所以①正确；
由，可得，解得，
在令，可得，所以，
即，所以函数为奇函数，
所以，即，
所以的图象关于对称，所以②正确；
因为在上是增函数，
又由，所以函数关于直线对称，
所以函数在为减函数，所以③错误；
由，可知，
因为，所以，所以④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.
43．
【解析】
直接利用函数的周期性可得，从而可得答案．
【详解】
因为10是函数的周期，
所以．
故答案为：．
44．
【解析】
【分析】
推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【详解】
当时，，
又因为函数是定义在上的偶函数，
则，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
45．（1）；（2）最大值为，此时.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由即可求解.
（2）由（1）知，，令，即可求解.
【详解】
（1）
．
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以；
（2）由（1）知，．
当，即时，取得最大值1，
所以函数的最大值为．
46．5
【解析】
【分析】
令，可得为奇函数，则根据三角函数的周期性和奇函数的性质可求.
【详解】
设，显然，故为奇函数．
又因为，


．
47．
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义，可知，再由，得出函数的周期为，结合条件并运用函数的周期性和奇偶性，即可求出结果.
【详解】
解：∵是奇函数，∴，
又∵，∴函数的周期为，
由于时，，
∴

.
48．（1）；（2）图见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据是偶函数，求得时，函数的解析式，再由函数的同期性可求得时，函数的解析式，从而可得答案．
（2）由（1）得，根据正弦函数的图像可得出函数在上的函数简图.
（3）先求得时，满足不等式的的范围，再根据函数的周期求得x的取值范围．
【详解】
解：（1）若，则．
因为是偶函数，所以．
若，则，
因为是最小正周期为的周期函数，所以，
所以．
（2）由（1）得．
若，则．因为是偶函数，所以．
所以，，
所以函数在上的函数简图，如下图所示：

（3），可得，函数周期为，因此x的取值范围是．
49．（1）图象答案见解析；（2）是，最小正周期.
【解析】
【分析】
(1)先对函数式化简整理，在区间上分段讨论并作出图象而得解；
(2)利用周期函数的意义并借助正余弦函数的最小正周期判断作答.
【详解】
(1)，即时，，
，即时，，
所以，
时，，时，，在上的图像如图：

(2)，是周期函数，
因正弦函数和余弦都是周期函数，最小正周期为，
则时，，
，，
时，，
，，
即，，
所以是周期函数，最小正周期为.