初中数学中考复习 专题23 多边形内角和问题（解析版）

专题23  多边形内角和问题

1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°

7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）n边形共有条对角线。

【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　）

A．360° B．540° C．630° D．720°

【答案】C．

【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．

【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（　　）

A．108° B．120° C．135° D．140°

【答案】D．

【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．

该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，

则每个内角的度数＝．

【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（　　）

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

【答案】D

【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。

多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，列方程可求解．

设所求多边形边数为n，

则（n﹣2）•180°＝1080°，

解得n＝8．

【例题4】（2019海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　  　度．

【答案】144．

【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠E＝∠A＝＝108°．

∵AB、DE与⊙O相切，

∴∠OBA＝∠ODE＝90°，

∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°。

一、选择题

1．（2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（　　）

A．45° B．60° C．72° D．90°

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．

∵正多边形的内角和是540°，

∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，

∵多边形的外角和都是360°，

∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．

2．（2019内蒙古巴彦卓尔）下列命题：

①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；

②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；

③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；

④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．

其中真命题个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断．

若x2+kx+是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；

若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；

等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；

一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．

3．（2019宁夏）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．6﹣π B．6﹣π C．12﹣π D．12﹣π

【答案】B．

【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，

∴正六边形ABCDEF的面积是：

＝6×＝6，

∠FAB＝∠EDC＝120°，

∴图中阴影部分的面积是：

6﹣＝，

4.（2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

A． 27       B． 35       C． 44     D． 54

【答案】C

【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴=44

5.（2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（　　）

A．3          B，4           C.5              D.6

【答案】D

【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．

∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，

∴这个多边形的边数是：360÷60=6．

6.（2018武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）

A． 27     B． 35      C． 44    D． 54

【答案】C

【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．

设这个内角度数为x，边数为n，

∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，

180n=1870+x，

∵n为正整数，

∴n=11，

∴=44

7.（2018大连）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=　　．

【答案】110°．

【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．

∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，

∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，

∴∠OBC+∠OCB=70，

∴∠BOC=180﹣70=110°

8.（2018沈阳）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（　　）

A．6     B．12     C．16     D．18

【答案】B

【解析】根据多边形的内角和，可得答案．

设多边形为n边形，由题意，得

（n﹣2）180°=150n，

解得n=12

9．（2018山东临沂）内角和为540°的多边形是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．

设多边形的边数是n，则

（n﹣2）•180°=540°，

解得n=5．

10.（2018江苏镇江）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.

（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；

（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.

【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.

【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可.

试题解析：(1)甲对，乙不对.

∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°，

解得n=4.

∵θ=630°，∴（n-2）×180°=630°，

解得n=.

∵n为整数，∴θ不能取630°.

(2)由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，

解得x=2.

11．（2018湖南岳阳）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．6     B．7    C．8   D．9

【答案】D

【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．

正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，

则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．

12.（2018四川绵阳）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（　　）

A．7    B．7或8    C．8或9    D．7或8或9

【答案】D．

【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．

首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．

设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，

解得：n=8．

则原多边形的边数为7或8或9．

13.（2019大庆模拟题）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）

A．360°   B．540°    C．720°    D．900°

【答案】D．

【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．

根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．

①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°

②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°

③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°

14.（2019长沙模拟题）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（　　）

A．7    B．10   C．35    D．70

【答案】C． 

【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．

由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．

∵一个正n边形的每个内角为144°，

∴144°n=180°×（n﹣2），解得：n=10．

这个正n边形的所有对角线的条数是： ==35．

15. （2018江西）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（　　）

A．115 B．120 C．125 D．130

【答案】C

【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．

∵正三角形ACD，

∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，

∵AB=DE，BC=AE，

∴△ABC≌△AED，

∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，

∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，

∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°

二、填空题

16．（2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是　  　．

【答案】5

【解析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．

设这个多边形的边数是n，

则（n﹣2）•180°＝540°，

解得n＝5

17.（2019陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为         

【答案】6

【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD=2AB=6，故答案为6

18．（2019江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝　    ．

【答案】140°

【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．

多边形的每个外角相等，且其和为360°，

据此可得多边形的边数为：，

∴∠OAD＝．

19.（经典题）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________.   

【答案】8   

【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.

设这个多边形边数为n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8.