2022-2023学年河北省石家庄四十一中高一上学期第四次考试数学试题（解析版）

石家庄四十一中学2022—2023学年第一学期第四次考试

高一数学试题

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题.区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

第I卷

一、单选题（共8小题，每题5分，共40分在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求，选对的得5分，选错的得0分）

1. （　　）

A.  B. — C.  D. —

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式，化简求值.

【详解】.

故选：D

2. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出点到原点的距离，由余弦函数定义计算．

【详解】由已知，所以．

故选：C．

3. 以下四个命题中，正确的是（　　）

A. 在定义域内，只有终边相同的角的同名三角函数值才相等

B. 第四象限的角可表示为

C. 表示终边在y轴上的角的集合

D. 若α，β都是第一象限角，且，则

【答案】C

【解析】

【分析】逐项带入分析即可求解.

【详解】例如，，所以选项A错；

第四象限的角可表示为，故选项B错误；

表示终边在y轴上的角的集合，所以选项C正确；

若α，β都是第一象限角，如，则，故选项D错误；

故选：C.

4. 在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判断选项的周期和单调性即可得到答案.

【详解】对于A：，将在x轴下方的图象翻折到上方，

可知最小正周期，在区间上单调递减，故A不符合题意；

对于B：的最小正周期，故B不符合题意；

对于C：的最小正周期，且在区间上单调递增，故C符合题意；

对于D：的最小正周期，故D不符合题意.

故选：C.

5. “”是“函数为奇函数”的（　　）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可

【详解】当时，为奇函数，故充分性成立；

当函数为奇函数，故，故必要性不成立；

则“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件

故选：A

6. 若，则的值为（　　）

A. — B.  C. — D.

【答案】D

【解析】

【分析】将分式上下同时除以，代入，即可求出结果.

【详解】根据题意，将上下同时除以，

得，代入，

得，

故选：D.

7. 设，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数图像，由四个不同的零点，得出时的值，即可求出的取值范围.

【详解】解：由题意

中，图像如下图所示

在中，有四个不同的零点

∴

则或

由函数图像可知，有1解，

∴有3解

∴

∴的取值范围为

故选：B.

8. 关于函数的图像与直线为常数）的交点情况，下列说法正确的是（　　）

A. 当或，有0个交点

B. 当或，有1个交点

C. 当，有2个交点

D. 当有两个交点时，设两个交点的横坐标为，则

【答案】B

【解析】

【分析】注意到，，，，据此可做出在上图像，即可得答案.

【详解】注意到，，，，

又在上单调递减，在上单调递增，据此可做出在上图像如下图所示.

对于A，由图可知当时有一个交点，故A错误；

对于B，由图可知此时有一个交点，故B正确；

对于C，由图可知当时，图像与直线有且只有一个交点，故C错误；

对于D，由图知此时，故D错误.

故选：B

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的有（　　）

A.

B. 若角是锐角，则是第一或第二象限角

C. 若角第二象限角，则是第一或第三象限角

D. 角是第三或第四象限角的充要条件是

【答案】AC

【解析】

【分析】A项，根据弧度制的定义即可推出结果；B项，通过求出角的范围，即可推出所在的位置；C项，通过求出角的范围，即可推出所在的位置；通过分别讨论角是第三或第四象限角时，的取值范围，以及时，所在的位置，即可判断.

【详解】解：由题意

A项，

∴

故A正确.

B项，若角是锐角，

∴

∴

∴不仅可能是第一或第二象限角，也可能在轴上，故B错误.

C项，若角是第二象限角，

∴

∴

则是第一或第三象限角

故C正确.

D项，若角是第三或第四象限角

则，且

∴，必要性成立

若，则

∴角是第三或第四象限角或在轴的负半轴上

充分性不成立

故错误.

故选：AC.

10. 下列不等式中，正确的有（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用三角函数的单调性，判断ABC；根据角的象限，判断函数值的正负，即可判断D.

【详解】A.当时，角大，正弦值小，，所以，故A正确；

B.函数在区间单调递增，，所以，故B正确；

C. 当时，角大，正切值也大，，所以，故C错误；

D.因为，，，，所以，故D正确.

故选：ABD

11. 若实数、满足，则下列各式中一定正确是（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由对数函数的单调性可得出，利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.

【详解】因为函数为上的增函数，由可得.

对于A选项，函数为上的增函数，则，A对；

对于B选项，函数为上的减函数，且，则，B对；

对于C选项，，但与的大小关系不确定，故与的大小关系不确定，C错；

对于D选项，取，，则，即，D错.

故选：AB.

12. 已知函数满足，且f（x）在区间上单调，则的值可以为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根据与的距离，建立关于周期的等式，可求，再根据与的距离，建立关于周期的不等式，即可求的范围，即可求解.

【详解】设函数的周期为，，由条件可知，，

得，且，得，

则时，，时，，时，.

故选：ABC

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知半径为1的扇形，其面积与弧长的比值为_________________．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式求面积和弧长的比值即可.

【详解】设弧长为，面积为，半径为，因为扇形面积公式为，所以.

故答案为：.

14. 已知函数，，若对于任意存在，使，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】对于任意存在，使等价于，分别求出与即可解出答案.

【详解】对于任意，存在，使等价于在上的最小值大于等于在上的最小值，

当时，函数单调递增，可得，

∵图象的对称轴为，

∴当时，，

∴，

解得．

故答案为：.

15. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前10h消除了20%的污染物，那么30h后还剩___________的污染物？（用百分数表示）

【答案】51.2%

【解析】

【分析】根据题意，利用函数解析式，直接求解.

【详解】由题意可知，所以.

所以30小时后污染物含量，

即30小时后还剩51.2%的污染物.

故答案为: 51.2%.

16. 已知函数，满足对恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立.则下列结论正确的有___________.

①函数的图像关于点对称：

②函数在区间上单调递减；

③函数在上的值域为

④表达式可改写为：

⑤若x1，x2为函数的两个零点，则为的整数倍.

【答案】②④

【解析】

【分析】本题通过的最小值求得三角函数的最小正周期，求出，根据求出即可得到函数的解析式，即可得到函数关于点的对称，单调递减区间，求导后的值域，根据三角恒等变换后的改写式子，以及两个零点横坐标差的绝对值.

【详解】解：由题意，

在中，

恒成立的的最小值为，

得，

解得：，

∴最小正周期，

∴，

解得：，

∴，

∵对任意x均有恒成立，

∴函数关于直线对称，

∴，

解得：，

∵，

∴，

∴，

∴当时，，不关于点对称，故①错误.

在中，函数在上单调递减，

∴在中，

当即时，函数单调递减，

∴函数在区间上单调递减，故②正确.

在中，，

当时，，此时，故③错误.

在中，最小正周期，

，

∴，

故④正确.

在中，恒成立的的最小值为，且对任意x均有恒成立

∴函数关于直线对称

∵最小正周期，

∴不为的整数倍，故⑤错误.

故答案为：②④.

四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

（1）求的值

（2）求tanβ的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)由已知求得，进而可求解； (2)联立，即可求解.

【小问1详解】

将已知等式

两边平方得：，

即，

∴

∵∴，即.

∴.

【小问2详解】

由(1)联立解得，

则.

18. 已知函数

（1）求函数的零点；

（2）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）零点为4和16   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据零点的定义和对数的运算求解即可；

(2)换元法，求二次函数在给定区间的值域.

【小问1详解】

令，

解得或，

由解得，由解得，

因此函数的零点为4和16.

【小问2详解】

令 ，

则

由，

所以时，y有最小值

所以当时，，当时，，

所以,

因此，函数的值域为.

19. （1）已知α是第四象限角，化简

（2）已知，且，求的值：

【答案】（1）0；（2）.

【解析】

【分析】(1)根据同角三角函数基本关系式即可求解；

（2）根据同角三角函数基本关系式和诱导公式即可求解.

【详解】（1），

由α是第四象限角，

所以原式=0.

（2）

又

∴，

∴.

20. 已知函数

（1）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]内单调递增区间：

（2）求使成立x的取值集合.

【答案】（1），和上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）由周期函数的定义求出求f（x）的最小正周期；令，解出的范围和取交即可得到答案；

（2）由得，则，解不等式即可求出x的取值集合.

【小问1详解】

函数，

的最小正周期：

的单调递增区间为

可得

得，

那么和上单调递增：

【小问2详解】

由得，即，

∴，

解得，

求得不等式的解集为

21. 为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.

（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；

（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.

【答案】（1）函数模型①，函数模型②   

（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500

【解析】

【分析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；

（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.

【小问1详解】

对于函数模型①：把及相应y值代入得

解得，所以.

对于函数模型②：把及相应y值代入得

解得，所以.

【小问2详解】

对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；

对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，

所以函数模型②更合适.

要使，则，

即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.