2022-2023学年安徽省淮北市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

淮北一中2022-2023学年度高一第一学期期中考试

数学试卷

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共60分.每小题给的四个选项中只有一个是符合题意的.）

1. 已知全集为，集合，则（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】先由指数函数的单调性化简集合，再解二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算先求得，再求得.

【详解】因为在上单调递减，所以由得，故，

由得，解得，故，

所以或，

所以或.

故选：D.

2. 命题：“，”，若命题是假命题，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得命题：“，”为真命题，参变分离可得对恒成立，则，求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：因命题：“，”为假命题，

则命题：“，”为真命题，

所以对恒成立，

所以，即，所以的最小值为.

故选：D

3. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义逐一判断各个选项即可.

【详解】解：对于A，函数在上递减，故A不符题意；

对于B，函数在上是减函数，故B不符题意；

对于C，函数，

因为，所以函数是偶函数，故C不符题意；

对于D，函数，

因为为奇函数，

由函数在上递增，且，函数在上连续，

所以函数在上是增函数，故D符合题意.

故选：D.

4. 已知函数，，则（    ）

A. 10 B.  C.  D. 26

【答案】C

【解析】

【分析】令，并证明其为奇函数，利用奇函数的性质结合已知条件即可得解.

【详解】令，定义域为，关于原点对称，

，所以为奇函数，

，即，即，

，

故选：C

5. 若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可.

【详解】，

由对数函数的性质可得，

故.

故选：A

【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题.

6. “”是“”的

A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】若，当时，有，必要性不成立，

若时，则，充分性成立，

故“”是“”的充分而不必要条件.

本题选择A选项.

7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（    ）个单位.

A. 2400 B. 2700 C. 6400 D. 8100

【答案】B

【解析】

【分析】将代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.

【详解】由，当时，

则，即，解得，

所以.

故选：B.

8. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将转化为，从而得到函数为增函数，再结合将所求不等式转化为，进而根据单调性求解即可.

【详解】可转化为，不妨设，则，∴.

令，由单调性定义可知，为上增函数.

∵，∴.

∵，∴，

∴，∴，

∴，即x的取值范围为.

故选：B.

二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题意的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分）

9. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位）与时间（单位：月）的关系为，下列说法正确的是（    ）

A. 这个指数函数的底数为2

B. 第5个月时，浮萍面积就会超过

C. 浮萍从蔓延到需经过1.5个月

D. 若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函数图像上的定点可确定函数解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积，进而对选项作出判断

【详解】由图像可知经过，代入，，，故选项A正确，

当时，，浮萍面积就会超过，故选项B正确，

浮萍为时，得，经过1.5个月后，，此时浮萍面积为，

选项C错误，若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，

则，，，则，

得，所以选项D正确，

故选：ABD

10. 下列说法不正确的有（    ）

A. 函数是减函数

B. 函数的值域为，则实数的取值范围是

C. 幂函数在上为减函数，则的值为1

D. 若函数是奇函数，则

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，根据函数的解析式，结合其定义域，可判断其单调性，判断A;对于B,讨论a的取值，由函数的值域为求得a的取值范围，判断B;对于C，根据幂函数的定义以及性质，可求得的值，判断C;对于D，举反例可判断正误.

【详解】函数定义域为，当时，且单调递减，

当时，且单调递减，故在定义域内不是减函数，A错误；

若函数的值域为，当时，，

由于 可取遍所有的正数，故函数值域为，符合题意；

当时，需满足 ，解得 ，

综上可得实数的取值范围是，B正确；

函数为幂函数，则，

解得或 ，

当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，

所以幂函数在上为减函数，则的值为1，故C正确；

函数定义域为，满足 ，

即为奇函数，但是无意义，故D错误，

故选：.

11. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ）

A. 的最大值为1 B. 在区间上单调递减

C. 的解集为 D. 当时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.

【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时

所以当时，，故D错误；

当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；

当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.

故选：ABC.

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的定义域为 B. 为奇函数

C. 在定义域上是增函数 D. 的值域为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数的相关概念进行判断即可.

【详解】解：的定义域为，

又，

所以为奇函数，故AB正确；

，因为 在为增函数，

由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增，故C正确.

因为函数定义域为.

时，

故

的值域为，故D错误.

故选：ABC.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 函数的定义域是______.

【答案】.

【解析】

【分析】由对数的真数大于零，且分式的分母不为零，从而可求出函数的定义域.

【详解】由题意得，解得且，

所以函数的定义域为，

故答案为：.

14. 函数的单调递增区间___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性求解.

【详解】解：令，即，

解得，所以的定义域为，

因为在上递增，在上递减，

且在上递减，

所以的单调增区间为，

故答案为：

15. 已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围

【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，

由，

当时，，结合图象可得；

当时，，可得，

所以的解为或.

故答案为：.

16. 已知函数，若的值域是，则实数c的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

作出和的图象，由图象得解.

【详解】作出和的图象，当时，，当时或；当时，，由图象可知当的值域为时，需满足

故答案为：

【点睛】数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度.属于基础题.

四､解答题（本题共6题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 化简：

（1）．

（2）；

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂进行计算；（2）利用对数运算公式和换底公式进行计算.

【小问1详解】

【小问2详解】

18. 已知全集，，集合是函数的定义域．

（1）求集合；

（2）求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出函数定义域即可得集合；

（2）求出，进而可得．

【详解】解：（1）由得

所以集合；

（2）因为或，，

所以．

19. 已知函数是单调递增指数函数.

（1）求的值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）３    （2）

【解析】

【分析】（1）根据指数函数的定义列式计算即可；

（2）分离参数后用基本不等式求最值即可．

【小问1详解】

解：由题意知，

解得或（舍去），

．

【小问2详解】

解：由（1）知，

，

当时取等号，

．

20. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元

【解析】

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.

【小问1详解】

根据题意，，化简得，

；

【小问2详解】

由（1）得

，

当时，，

当时，，所以

，

当且仅当时，即时等号成立，

因为，所以当时，，

故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元.

21. 若函数为奇函数.

（1）求的值；

（2）判断单调性并用单调性定义证明；

（3）若求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）在上单调递增   

（3）

【解析】

【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可；

（2）先设，然后判断的正负，利用定义得得到在上单调递增；

（3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可.

【小问1详解】

由题可知恒成立

得，既恒成立

化简得，得

当时，，此时定义域为，满足，

所以满足；

当时，，此时定义域为，所以非奇非偶，

所以不满足；

故.

【小问2详解】

在上单调递增

设，

得

因为，所以，

得

得

所以在上单调递增.

【小问3详解】

由题得

即

由（2）可得

解得

22. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“疏远”的．

（1）已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

（2）若函数和在上是“疏远”的，求实数a的取值范围；

（3）已知常数，若函数与在上是“疏远”的，求实数c的取值范围．

【答案】（1）为假命题，反例为当时，   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）由命题“函数和在上是疏远的”，则在上恒成立，令，判断是否符合题意即可得出结论；

（2）由（1）知，在上恒成立，即在上恒成立，根据一元二次不等式恒成立即可得解；

（3）根据题意在上恒成立，即，即，

令，判断函数在上的单调性，求得最小值，解不等式即可得解.

【小问1详解】

由题意可知，命题“函数和在[0，1]上是疏远的”，则在[0，1]上恒成立，即证在[0，1]上恒成立，

令，故，

又函数的对称轴为，故函数在[0，1]上递增，

所以，即，并不恒大于2 ，

故为假命题，反例为当时，；

【小问2详解】

由（1）知，在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则或，

所以或，

解得或；

【小问3详解】

根据题意在[1，2]上恒成立，

即，

又，，所以，故，

令，取，

则，

因为，，则，，则，

所以，所以函数在[1，2]上递增，

故，解得或，

所以．