上海市长宁区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

上海市长宁区2022-2023学年高一上期末

数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填㝍结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．

1. 用符号“”“”或“”填空：_____________．

【答案】

【解析】

【分析】由集合间的关系即可求.

【详解】a为集合的其中一个元素，故.

故答案为：.

2. 已知方程的两根为，则____________．

【答案】

【解析】

【分析】结合韦达定理求解即可.

【详解】

故答案为：

3. 若，则_____

【答案】；

【解析】

【分析】

根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.

【详解】，.

故答案为：.

4. 已知，用表示____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算法则求解即可.

【详解】

，

故答案为: .

5. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解.

【详解】因为不等式的解集是，

在上恒成立，

，即．

故答案为:.

6. 已知直角三角形的斜边长为，则该直角三角形面积的最大值是____________．

【答案】100

【解析】

【分析】设两直角边为，则，进而根据基本不等式求解即可.

【详解】解：设两直角边为，∵直角三角形的斜边长为

∴，

，，即．

故答案为：

7. 已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据题意且为偶数即可.

【详解】解：幂函数在区间上是严格减函数，，

又图像关于y轴对称，可以为偶数，

故满足条件a的值可以为．

故答案为：-2

8. 指数函数在上最大值与最小值之差为6，则__________.

【答案】3

【解析】

【分析】分为和两种情况，结合函数的增减性求解即可

【详解】当时，函数为减函数，，，则，方程无解；

当时，函数为增函数，，，则，解得，舍去

故答案为3

【点睛】本题考查指数函数根据函数最值在给定区间求解参数问题，属于基础题

9. 已知函数在区间上是严格增函数，则实数范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】先求解的根，判断两根的大小以及严格递增区间，再判断m的范围.

【详解】令，解得或，

∴当时，在上是严格增函数；

若时，函数在上单调递增，

又函数在区间上是单调递增，故；

若时，函数在上单调递增，则函数在区间上是单调递增恒成立，

综上m的范围是．

故答案为：

10. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】由绝对值三角不等式得，进而结合题意得.

【详解】解：由绝对值三角不等式得：，当且仅当时等号成立，即时等号成立，

关于x的不等式的解集为，

，即实数a的取值范围是．

故答案为：

11. 己知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由偶函数的定义作出在上的图像，根据图像讨论即可.

【详解】因为函数是上的偶函数，图像关于轴对称，

所以在上的图像如图所示：

的定义域为，

由图像可知在上，，，所以，

在上，，，所以，

在上，，，所以，

在上，，，，

综上不等式的解集为，

故答案为：

12. 设，若存在唯一的使得关于的不等式组有解，则的范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】将不等式拆解后分别计算，得到，结合且m是存在且唯一及其范围得到不等式，求解即可.

【详解】解：，

，

，

，，

，

且且m是存在且唯一，

，

故答案为：

二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）

13. 如图，点、分別为的边、上的两点，若，则是的（）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】若，根据平行线分线段成比例定理可推出，而反向通过作图不一定成立.

【详解】由平行线分线段成比例定理得，当，；

当时，不一定成立，

如图所示：

则是的充分非必要条件．

故选：A．

14. 用反证法证明命题:“若，则或”时，应假设（）

A. 或 B. 若或，则

C. 且 D. 若且，则

【答案】C

【解析】

【分析】取命题的反面即可.

【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即且，

故选:C．

15. 如果，那么下列不等式中不成立是（）

A B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取特殊值得到反例即可证明不成立.

【详解】，

，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

取，但，故时，不成立，故D错误；

故选：D．

16. 已知函数，下列命题中:

①若函数在区间上是单调函数，则函数在区间上是严格增（减）函数;

②若函数在区间上单调函数，则是函数在在区间上的最大（或最小）值；

③若函数的图像是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点；

真命题的个数为（）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】B

【解析】

【分析】①③可举出反例；②可分函数在上单调递增和单调递减两种情况，推理出是在上的最大值或最小值.

【详解】若，则在R上是单调的，但不是严格单调增的，故①为假命题；

若函数在上单调递增，有，

若函数在上单调递减，有，，

故是在上的最大值或最小值，故②为真命题；

若，

，

但，

在上有零点，故③为假命题.

故选：B．

三、解答题（本大题满分52分）

17. 已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及．

【答案】

【解析】

【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解.

【详解】将两个方程中都代入，得：，

解得：或3，

或3，

所以

.

18. 解下列不等式:

（1）;

（2）．

【答案】（1）；

（2）或

【解析】

【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式求解；(2)根据绝对值的几何意义解不等式.

【小问1详解】

，

所以不等式的解为.

【小问2详解】

，或，或,

所以不等式的解为或.

19. 科学家用死亡生物的体内残余碳成分束推断它的存在年龄．生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳含量大致不变．生物死去后会停止呼吸，此时体内原有的碳含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），且大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设某一刚死亡生物体内碳含量为．

（1）按上述变化规律，此死亡生物体内碳含量与死亡年数之间有怎样的关系?

（2）当死亡生物体内碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了，请问该生物死亡年后，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳吗?

【答案】（1）

（2）能测到

【解析】

【分析】（1）根据半衰期的定义可直接得到函数关系式；

（2）将代入函数关系式中可求得碳含量大于死亡前的千分之一，由此可得结论.

【小问1详解】

体内原有的碳，每经过年衰减为原来的一半，

年后体内的碳应为原来的，

.

【小问2详解】

由（1）得：该生物死亡年后，体内的碳的含量为，

碳的含量大于死亡前的千分之一，

用一般的放射性探测器能测到它体内的碳．

20. 设．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由;

（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理山;

（3）若，求的取值范围．

【答案】（1）奇函数（2）单调递增，证明见解析

（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；

（2）根据在上单调递增判断单调性，并结合函数的单调性的定义证明；

（3）根据函数单调性与奇偶性解不等式即可.

【小问1详解】

解：，由，得，

，

为奇函数

【小问2详解】

解：∵，函数在上单调递增，

∴可以判断在其定义域上单调递增，证明如下：

令，

∵，∴，，

∴，

∴，

∴在上为单调递增函数

【小问3详解】

解：∵为奇函数

∴，

∵在上为单调递增函数，

∴，解得

∴的取值范围为．

21. 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的．

（1）己知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;

（2）若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；

（3）已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取值范围．

【答案】（1）假命题，理由见解析；

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判断即可；

（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可；

（3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

由可得

，

由一元二次函数的图像可知，

所以，即，

故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.

【小问2详解】

由（1）知，即，所以，

所以，解得，故实数a取值范围为.

【小问3详解】

因与在上是“密切”的，

所以在上恒成立，

所以，即，

因为，，所以，且单调递增，只需即可，

又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，

所以，即，

所以，解得，即，

所以，故.