辽宁省沈阳市和平区沈阳铁路实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题

这是一份辽宁省沈阳市和平区沈阳铁路实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省沈阳市和平区沈阳铁路实验中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．−2a2=−4a2 B．a+b2=a2+b2
C．a52=a7 D．−a+2−a−2=a2−4
3．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为(    )．
A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9
4．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（  ）

A．43 B．34 C．35 D．45
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD=∠BCD，则∠BAD的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°
6．不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x的所有非负整数解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是(    )

A．bc<0 B．a+b+c>0 C．2a+b=0 D．4ac>b2
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxx>0的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（　　）．

A．6 B．5 C．4 D．3
9．已知函数y＝x2−x(x⩾0)−x2−x(x<0)，当a≤x≤b时，﹣14≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）
A．52 B．52+22 C．32 D．2
10．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④SΔANF:S四边形CNFB=1:8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④

二、填空题
11．因式分解：4ab2−4a2b−b3=_____．
12．如果一组数据为4、a、5、3、8，其平均数为a，那么这组数据的方差为_______．
13．若关于x的方程xx−3−2=mx−3有正数解，则m的取值范围为______．
14．在−4，−2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax+b 中a，b的值，则该一次函数图象经过第一、二、四象限的概率为_____．
15．已知m，n是方程x2+2x﹣6=0的一个根，则代数式m2﹣mn+3m+n的值为________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=6,BC=8，点D、E分别是AC,BC的中点，点F是AD上一点，将△CEF沿EF折叠得△C′EF，C′F交BC于点G．当△CFG与△ABC相似时，CF的长为_____．

17．观察下列一组数：
a1=13,a2=35,a3=69,a4=1017,a5=1533,…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数an=__________（用含n的式子表示）
18．如图，△ABC,∠A=45°,∠B=60°,AB=4，P是AC上一动点，分别做点P关于AB、BC的对称点M、N，连MN，交BA、BC于点E、F，则△PEF周长的最小值为_____．


三、解答题
19．计算：6sin60°- 12+120+3−2022．
20．某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集数据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
90  85  68  92  81  84  95  93  87  89 78 99 89 85 97
88  81  95  86  98  95  93  89  86  84 87 79 85 89 82
整理分析数据：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
     　 　
80≤x＜90
17
90≤x＜100
     　 　


（1）请将图表中空缺的部分补充完整；
（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　 ．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．

23．在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
24．如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= ．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．
（3）直接写出时的x取值范围．
25．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2

(1)如图①，求点E的坐标；
(2)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形′′′′，点C，O，D，E的对应点分别为′，′，′，′．设′=t，矩形′′′′与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形′′′′与ΔABO重叠部分为五边形时，′′，′′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3⩽S⩽53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
26．综合与探究：
如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E(0，2)，直线AC与x轴交于点H．
(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；
(2)如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F(点F在第一象限)．设点G的横坐标为m．
①点G的纵坐标用含m的代数式表示为　 　；
②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．


参考答案：
1．C
【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状．
【详解】解：从上面观察可得到：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，解题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．
2．D
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【详解】(−2a)2=4a2，故选项A不合题意；
(a+b)2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；
(a5)2=a10，故选项C不合题意；
(−a+2)(−a−2)=a2−4，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
3．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000007=7×10−9；
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
4．D
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在RtΔACD中即可求出sin∠BAC的值．
【详解】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，

∴AC＝AC=AD2+CD2=32+42＝5．
∴ sin∠BAC=CDAC=45．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
5．C
【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．
【详解】解：设∠BAD=x，则∠BOD=2x，
∵∠BCD=∠BOD=2x，∠BAD＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
【详解】5x+2>3(x−1)①12x−1≤7−32x②，
解不等式①得：x>−2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：−2.5 ∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4=10，
故选A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．
7．C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用对称轴在y轴的右侧得到b＜0，利用抛物线与x轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A进行判断；利用当x=1时，y＜0可对B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，则可对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a和b异号，
∴b＜0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴bc＞0，所以A选项错误；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线经过点(-1，0)和点(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
即-b2a=1，
∴2a+b=0，所以C选项正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，
即4ac＜b2，所以D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点个数：抛物线与y轴交于(0，c)．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．C
【分析】首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于12，解方程即可.
【详解】解：设点A的坐标为a,0，点C的坐标为(c,kc)，
则a⋅kc=12，点D的坐标为a+c2,k2c，
∴a⋅kc=12k2c=k2，
解得，k=4，
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直.
9．B
【分析】函数的图象如下图所示，当x≥0时，当y＝﹣14时，x＝12，当y＝2时，x＝2或﹣1，故：顶点A的坐标为（12，﹣14），点B（2，2），同理当x<0时可求出C点坐标，可确定a,b的值，即可求解．
【详解】函数的图象如下图所示，

当x≥0时，当y＝﹣14时，x＝12，当y＝2时，x＝2或﹣1，
故：顶点A的坐标为（12，﹣14），点B（2，2），
同理点C（−1−22，﹣14）
则b﹣a的最大值为2﹣−1−22＝5+22.
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解.
10．C
【分析】①正确．证明ΔADF≅ΔDCE(ASA)，即可判断．
②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．
③正确．作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，通过计算证明MH=CH即可解决问题．
④错误．设ΔANF的面积为m，由AF//CD，推出AFCD=FNDN=13，ΔAFN∼ΔCDN，推出ΔADN的面积为3m，ΔDCN的面积为9m，推出ΔADC的面积=ΔABC的面积=12m，由此即可判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在ΔADF与ΔDCE中，
∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE，
∴ΔADF≅ΔDCE(ASA)，
∴DE=AF；故①正确；
∵AB//CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF:FB=1:2，
∴AF:AB=AF:CD=1:3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC=2AB，
∴AN2AB=14，
∴AN=24AB；故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，

由ΔCMD∼ΔCDE，可得CM=91010a，
由ΔGHC∼ΔCDE，可得CH=91020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM，
∴GM=GC，
∴∠GMH=∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FEG=∠DCE，
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF；故③正确，
设ΔANF的面积为m，
∵AF//CD，
∴AFCD=FNDN=13，ΔAFN~ΔCDN，
∴ΔADN的面积为3m，ΔDCN的面积为9m，
∴ΔADC的面积=ΔABC的面积=12m，
∴SΔANF:S四边形CNFB=1:11，故④错误，
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．−b2a−b2
【分析】先提取公因式−b，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：4ab2−4a2b−b3
=−b−4ab+4a2+b2
=−b2a−b2．
故答案为：−b2a−b2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．145．
【分析】先根据平均数的定义确定出a的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【详解】解：根据题意，得：4+a+5+3+85=a，
解得：a=5，
则这组数据为4、5、5、3、8，其平均数是5，
所以这组数据的方差为15×(4−5)2+(5−5)2+(5−5)2+(3−5)2+(8−5)2=145，
故答案为145．
【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
13．m＜6且m≠3
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，x-2x+6=m，
解得，x=6-m，
∵分母x-3≠0即x≠3，
∴6-m≠3即m≠3，
又∵x＞0，
∴6-m＞0，
即m＜6，
则m的取值是m＜6且m≠3．
故答案为：m＜6且m≠3．
【点睛】本题考查了了分式方程，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．
14．13
【分析】画树状图展示所有12种等可能的情况，根据一次函数的性质，找出满足a<0，b>0的情况，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有12种等可能的情况，满足a<0，b>0的有4种情况，
∴该一次函数图象经过第一、二、四图象限的概率为412=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，一次函数图象的性质，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的情况数目m，然后利用概率公式计算概率，熟练掌握一次函数图象的性质．
15．10
【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出m2＋2m＝6，m＋n＝−2，mn＝−6，代入到原式＝m2＋2m−mn＋m＋n可得答案．
【详解】解：∵m，n是方程x2＋2x−6＝0的根，
∴m2＋2m＝6，m＋n＝−2，mn＝−6，
则m2﹣mn+3m+n＝m2＋2m−mn＋m＋n＝6−（−6）−2＝10，
故答案为10．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握方程的解的定义及韦达定理是解题的关键．
16．8或5.6##5.6或8
【分析】根据勾股定理可得AC=10，然后分两种情况讨论∶ 当FG⊥BC时，当GF⊥AC时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=6,BC=8，
∴AC=10，
①当FG⊥BC时，此时FG∥AB，
∵△CEF沿EF折叠得△C′EF，点E分别是BC的中点，
∴∠C′=∠C,C′E=CE=4，
∴sin∠C=sin∠C′，
∴ABAC=EGC′E，即610=EG4
∴EG=2.4，
∵FG∥AB，
∴CGBC=CFAC，即6.48=CF10，
∴CF=8；
②当GF⊥AC时，如图，

∵△CEF沿EF折叠得△C′EF，
∴∠1=∠2=45°，
∴HF=HE，
∵sin∠C=sin∠C′=EHC′E=ABAC，
∴EH=4×610=125，
∴C′H=C′E2−EH2=3.2，
∴CF=C′F=C′H+HF=3.2+2.4=5.6．
综上所述，当△CFG与△ABC相似时，CF的长为8或5.6．
故答案为：8或5.6．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．n(n+1)2+2n+1
【分析】首先观察分母的变化规律，在观察分子的规律，写成比例式化简即可.
【详解】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，
观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为n(n+1)2，
∴an=n(n+1)22n+1=n(n+1)2+2n+1；
故答案为n(n+1)2+2n+1；
【点睛】本题主要考查数的规律，这列题目是热点考题，应当熟练掌握.
18．26
【分析】连接BM，BN，BP，作BG⊥MN于点G，根据点P关于AB、BC的对称点是M、N，可得BM=BP=BN,∠MBA=∠PBA，∠NBC=∠PBC，得△BMN是顶角是120度的等腰三角形，设BG=x，则BM=2x,MG=3x，可得MN=2MG=23x，在△ABC中，∠A=45°.AB=4，可得22≤BP≤4，根据△PEF周长=EP+EF+PF=EM+EF+FN=MN，进而可得△PEF周长的最小值．
【详解】解：如图，连接BM，BN，BP，作BG⊥MN于点G，

∵点P关于AB、BC的对称点是M、N，
∴BM=BP=BN,∠MBA=∠PBA,∠NBC=∠PBC，
∵∠ABP+∠PBC=∠ABC=60°，
∴∠MBN=120°，
∴∠BMG=30°，
设BG=x，则BM=2x,MG=3x，
∴MN=2MG=23x，
在△ABC中，∠A=45°.AB=4，
∴22≤BP≤4，
∵BM=BP，
∴22≤BM≤4，
∴22≤2x≤4，
∴26≤23x≤43，
∴26≤MN≤43，
∵点P关于AB、BC的对称点是M、N，
∴EM=EP,FPF=FN，
∴△PEF周长=EP+EF+PF=EM+EF+FN=MN，
∴△PEF周长的最小值为26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．2023
【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，零次幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式=6× 32−23+1+ 2022-3，
=2023．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，零次幂，化简绝对值是解题的关键．
20．（1）2，10；补全图表见解析；（2）120人；（3）12
【分析】（1）由已知数据计数即可得；
（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；
（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
【详解】（1）2，10；补全图表如下：

（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×1030＝120（人）；
（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结数为6，所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法表示出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．
21．（1）详见解析；（2）AE＝5．
【分析】（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【详解】证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE

∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运用.
22．（1）见解析；（2）DF=2215
【分析】（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，则∠BDE+∠FDE=90°，结论得证；
（2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段DFBD=DEBE可求出DF长．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AC=AB2−BC2=82−42=43，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=12AC=23，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴DE=12AD=12×23=3，
在Rt△BCD中， BD=BC2+CD2=42+(23)2=27，
在Rt△BED中，BE=BD2−DE2=(27)2−(3)2=5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴DFBD=DEBE，即DF27=35，
∴DF=2215．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．
23．(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；(2)至少应安排乙工程队绿化32天．
【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，根据题意列出方程：600x−6002x=6，解方程即可；
(2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b=3600，则a=72−b2=−12b+36，根据题意得出不等式求解即可．
【详解】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2，
根据题意得：600x−6002x=6，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100m2，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
(2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a+50b=3600，则a=72−b2=−12b+36，
根据题意得：1.2×72−b2+0.5b≤40，
解得：b≥32，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
24．（1）反比例函数解析式为y=-12x；一次函数解析式为：y=−23x+2；（2）6；（3）x＜-3或0＜x＜6．
【分析】（1）作AD⊥x轴于D，在Rt△AOD中，利用正弦的定义可计算出AD=4，再利用勾股定理计算出OD=3，则A点坐标为（-3，4），然后把A点坐标代入可计算出m=-12，从而得到反比例函数解析式为y=-12x；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先确定C点坐标为（3，0），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积；
（3）观察函数图象得到当x＜-3或0＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有kx+b＞mx．
【详解】（1）作AD⊥x轴于D，如图，

在Rt△AOD中，OA=5，
∴sin∠AOD=ADOA=45，
∴AD=4，
∴OD=OA2−AD2=3
∴A点坐标为（-3，4），
把A（-3，4）代入y=mx得m=-3×4=-12，
∴反比例函数解析式为y=-12x；
把B（6，n）代入y=-12x得6n=-12，解得n=-2，
∴B点坐标为（6，-2），
把A（-3，4）、B（6，-2）代入y=kx+b得
{−3k+b=46k+b=−2，
解得{k=−23b=2，
∴一次函数解析式为：y=−23x+2；
（2）把y=0代入y=−23x+2，得−23x+2=0
解得x=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴△AOC的面积=12×3×4=6；
（3）观察函数图像可知，当x＜-3或0＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，故答案为x＜-3或0＜x＜6．
【点睛】本题考查求反比例函数与一次函数的解析式．正确构造直角三角形是解题的关键.
25．(1)E的坐标为(2,43)
(2)①S=−32t2+83，0
【分析】（1）先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标；
（2）①根据平移的性质和30°角所对的直角边等于斜边的一半得出MF=2ME′=2t，再根据勾股定理得出FE′=3t，再根据S=S矩形C′O′D′E′−SΔMFE′得出S与t的函数关系式；
②分2≤t<4和4≤t≤6两种情况，根据平移的性质和30°角所对的直角边等于斜边的一半得出S与t的函数关系式，分别求出s=3和s=43时t的值即可．
【详解】（1）解：由点A(6,0)，得OA=6，
又OD=2，得AD=OA−OD=4，
在矩形CODE中，有ED//CO，得∠AED=∠ABO=30°，
∴在RtΔAED中，AE=2AD=8，
∴由勾股定理，得ED=AE2−AD2=43，有CO=43，
∴点E的坐标为(2,43)．
（2）解：①由平移知，O′D′=2，E′D′=43，ME′=OO′=t，
由E′D′//BO，得∠E′FM=∠ABO=30°，
∴在RtΔMFE′中，MF=2ME′=2t，
∴由勾股定理，得FE′=MF2−ME′2=3t，
∴SΔMFE′=12ME′⋅FE′=12⋅t⋅3t=32t2，
∵S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=83，
∴S=S矩形C′O′D′E′−SΔMFE′=83−32t2．
∴S=−32t2+83，其中t的取值范围是0 ②当0 当S=3时，−32t2+83=3，解得t=14>2，
当S=53时，−32t2+83=53，解得t=6>2，
当2≤t<4时，如左下图，OF=36−t，D′G=3（4−t），
∴S=1236−t+3（4−t）×2=−23t+103，
当S=3时，−23t+103=3，解得t=4.5>4，
当S=53时，−23t+103=53，解得t=52；
当4≤t≤6时，如右下图，D′F=36−t，D′A=6−t，
∴S=32（6-t）（6-t）=32（6−t）2，
当S=3时，32（6−t）2 =3，解得t=6+2>6 或t=6−2，
当S=53时，32（6−t）2 =53，解得t=6+10>6 或t=6−10<4，
∴当3⩽S⩽53时，52≤t≤6−2．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26．(1)C(6，2)；抛物线解析式为y＝﹣12x2+3x+2；(2)①﹣13m+4；②四边形ABCF是正方形，理由见解析；③点N坐标为(425，265)或(385，45)或(10，4)．
【分析】（1）由线段AB旋转90°得BC与CD⊥x轴可证得△BDC≌△AOB，故有BD=OA=4，CD=OB=2，求得点C坐标，进而由点E、C坐标用待定系数法即可求抛物线解析式．
（2）①由点A、C坐标用待定系数法求直线AC解析式，把点G横坐标m代入即得到用m表示点G纵坐标．
②由AB=BC与BG⊥AC可得AG=CG，即点G为AC中点，根据中点坐标公式可求点G坐标，进而求直线BG解析式．联立直线BG与抛物线解析式解方程组即求得点F坐标．过点F作PF⊥y轴于点P，延长DC交PF于点Q，根据勾股定理求得AB=BC=CF=AF=25，判断四边形ABCF是菱形．再由∠ABC=90°即证得菱形ABCF为正方形．
③由直线AC解析式求其与x轴交点H的坐标，用两点间距离公式求CF、CH的长．设点N坐标为（s，t），用s、t的式子表示FN2、NH2．分类讨论：若△FHC≌△FHN，则FN=FC，NH=CH，列得关于s、t的方程组，求解即得到点N坐标；若△FHC≌△HFN，则FN=CH，NH=FC，同理可求得点N坐标．
【详解】解：(1)∵OA＝4，OB＝2，
∴A(0，4)，B(2，0)，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠DBC＝∠OAB，
∵CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝∠AOB＝90°，
在△BDC与△AOB中，
∠BDC=∠AOB∠DBC=∠OABBC=AB，
∴△BDC≌△AOB(AAS)，
∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，
∴OD＝OB+BD＝6，
∴C(6，2)，
∵抛物线y＝ax2+3x+c经过点C、点E(0，2)，
∴  0+0+c=236a+18+c=2 解得：a=−12c=2，
∴抛物线解析式为y＝﹣12x2+3x+2.
(2)①∵A(0，4)，
∴设直线AC解析式为y＝kx+4，
把点C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣13，
∴直线AC：y＝﹣13x+4，
∵点G在直线AC上，横坐标为m，
∴yG＝﹣13m+4，
故答案为﹣13m+4．
②∵AB＝BC，BG⊥AC，
∴AG＝CG，即G为AC中点，
∴G(3，3)，
设直线BG解析式为y＝gx+b，
∴ 2g+b=03g+b=3，解得：g=3b=−6，
∴直线BG：y＝3x﹣6，
∵直线BG与抛物线交点为F，且点F在第一象限，
∴ y=−12x2+3x+2y=3x−6 解得： x1=4y1=6,x2=−4y2=−18 (舍去)，
∴F(4，6)；
判断四边形ABCF是正方形，理由如下：
如图1，过点F作FP⊥y轴于点P，PF延长线与DC延长线交于点Q，
，
∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6，
∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4，
∴AF＝AP2+PF2=25，FC＝FQ2+CQ2=25，
∵BC＝AB＝OA2+OB2=25，
∴AB＝BC＝CF＝AF，
∴四边形ABCF是菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCF是正方形.
③∵直线AC：y＝﹣13x+4与x轴交于点H，
∴﹣13x+4＝0，解得：x＝12，
∴H(12，0)，
∴FC2＝(6﹣4)2+(2﹣6)2＝20，CH2＝(12﹣6)2+(0﹣2)2＝40，
设点N坐标为(s，t)，
∴FN2＝(s﹣4)2+(t﹣6)2，NH2＝(s﹣12)2+(t﹣0)2，
如图2，若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，
，
∴(s−4)2+(t−6)2=20(s−12)2+t2=40 解得：s1=425t1=265，s2=6t2=2(即点C)，
∴N(425,265)，
如图3，4，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，

∴(s−4)2+(t−6)2=40(s−12)2+t2=20，解得：s1=385t1=45,s2=10t2=4，
∴N(385,45)或（10,4），
综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为(425，265)或(385,45)或（10,4）．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组和一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，两点间距离公式，菱形、正方形的判定．其中对全等三角形存在性的分类讨论，要先确定对应边，再对另外两边进行分类讨论对应关系．