2023届高考数学二轮复习2-2三角恒等变换与解三角形学案含答案

第二讲　三角恒等变换与解三角形——小题备考

微专题1　三角函数求值

常考常用结论

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

(2)cos (α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.

(3)tan (α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα.

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan2α＝.

3．常用公式

(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan (α±β)(1∓tanα·tanβ)．

(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin (x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.

保分题

1.[2022·河北张家口一模]已知cosα＝，0<α<，则sin (α＋)＝(　　)

A．B．

C．－D．－

2．[2022·湖北武汉二模]设sin32°＝k，则tan16°＋＝(　　)

A．B．

C．2kD．k

3．[2022·山东烟台一模]若sinα＝cos (α＋)，则tan2α的值为________．

提分题

例2

(1)[2022·山东淄博三模]已知α∈(－，0)，且cos2α＝sin (α＋)，则sin2α＝(　　)

A．－B．

C．－1D．1

(2)[2022·河北石家庄一模]已知角α∈(0，)，tan＝，则α＝________．

听课笔记：

技法领悟

1．解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．

2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入，从而达到解题的目的．

3．实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

巩固训练1

1.[2022·辽宁抚顺一模]已知sin (－α)＝，则cos (2α－)的值是(　　)

A．－B．

C．－D．

2．[2022·湖南师大附中三模]已知sin (α－)＝(0<α<π)，则sinα＋cosα＝________．

微专题2　解三角形

常考常用结论

1．正弦定理及其变形

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．

2．余弦定理及其变形

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；

变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.

3．三角形面积公式

S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB．

4．三角形中的有关结论

(1)sinA＝sin (B＋C)，cosA＝－cos (B＋C)；

(2)A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB．

保分题

1.[2022·广东广州一模]在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，则b＝(　　)

A．4B．2

C．D．

2．[2022·北京通州一模]在△ABC中，已知cosA＝，a＝2，b＝3，则c＝(　　)

A．1B．

C．2D．3

3．在△ABC中，sin2A＝sinBsinC，若∠A＝，则∠B的大小是(　　)

A．B．

C．D．

提分题

例2

(1)[2022·山东临沂二模]我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝.根据此公式，若acosB＋(b－c)cosA＝0，且b2＋c2－a2＝，则△ABC的面积为(　　)

A．B．

C．D．

(2)[2022·湖南衡阳二模]设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sinA－sinC)，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为1，则·()等于(　　)

A．2B．2

C．－2D．－2

听课笔记：

技法领悟

1．正、余弦定理的适用条件

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

2．三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．

(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

巩固训练2

1.(多选)已知锐角△ABC，下列说法正确的是(　　)

A．sinA＋sinB＋sinC<cosA＋cosB＋cosC

B．tanA＋tanB＋tanC>0

C．sinA＝，tanB＝3，则A<B

D．cosA＋cosB<

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝，b＋c＝3，向量m＝(2cos2A＋3，2)，n＝(2cosA，1)，且m∥n.则△ABC的面积是________.

第二讲　三角恒等变换与解三角形

微专题1　三角函数求值

保分题

1．解析：由cos α＝，0<α<，得sin α＝，

所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝＝，故选B.

答案：B

2．解析：tan 16°＋＝

＝

＝

＝.

故选A.

答案：A

3．解析：由sin α＝cos (α＋)，

可得sin α＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，

则tan α＝，tan 2α＝＝＝.

答案：

提分题

[例1]　解析：(1)∵cos2α＝sin (α＋)＝(sin α＋cos α)，

∴cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，

∴(cos α＋sin α)(cos α－sin α－)＝0，

∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，

由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，即sin 2α＝－1，

由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，即sin 2α＝，

因为α∈(－，0)，所以2α∈(－π，0)，sin 2α<0，

综上，sin 2α＝－1.

(2)∵tan ＝，

∴＝，

∴sin (cos α＋cos )＝cos (sin α－sin )，

∴sin cos α＋sin cos ＝cos sin α－cos sin ，

∴sin cos ＋cos sin ＝cos sin α－sin cos α，

∴sin ＝sin (α－)，∵α∈(0，)，∴α－∈(－)

∴＝α－，则α＝＝.

答案：(1)C　(2)

[巩固训练1]

1．解析：cos (2α－)＝cos (－2α)＝cos [2(－α)]＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝.

答案：B

2．解析：由题意得α－∈(－)，而sin(α－)＝<，

故α－∈(0，)，cos (α－)＝，

故sin α＋cos α＝sin (α＋)＝cos (α－)＝.

答案：

微专题2　解三角形

保分题

1．解析：在△ABC中，若A＝，B＝，a＝3，由正弦定理＝得：

b＝＝＝＝2，

所以b＝2.

答案：B

2．解析：因为在△ABC中，cos A＝，a＝2，b＝3，

所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

12＝9＋c2－6×c，得c2－2c－3＝0，

解得c＝3，或c＝－1(舍去)．

答案：D

3．解析：因为sin2A＝sinB sin C，所以a2＝bc，

由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，

即(b－c)2＝0，得b＝c，

所以△ABC是等边三角形，∠B＝.

答案：C

提分题

[例2]　解析：(1)由正弦定理边角互化可知a cos B＋(b－c)cos A＝0化简为

sin A cos B＋(sin B－sin C)cos A＝0，

sin A cos B＋sin B cos A＝sin C cos A

即sin (A＋B)＝sin C＝sin C cos A

∵sin C≠0，∴cos A＝，

cos A＝＝⇔＝，解得：bc＝1，

根据面积公式可知S＝＝＝.

(2)∵(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，

∴由正弦定理可得：(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得：b2＋c2－a2＝－bc，

∴由余弦定理可得：cos A＝－，∴由A∈(0，π)，可得：A＝，

又ABC的面积为1，即bc sin ＝1，∴bc＝4，

又·()＝()·()

＝2－2＝

＝＝－

＝－·＝－bc cos A＝2.

答案：(1)A　(2)B

[巩固训练2]

1．解析：对于A，取A＝B＝C＝，则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，可知A错误；

对于B，由于△ABC是锐角三角形，故tan A>0，tan B>0，tan C>0，故tan A＋tan B＋tan C>0，故B正确；

对于C，锐角△ABC中，由sin A＝知cos A＝，

故tan A＝，则tan A<tan B，即C正确；

对于D，△ABC是锐角三角形，故A＋B>，所以B>－A，故cos A＋cos B<cos A＋cos (－A)＝cos A＋sin A＝sin (A＋)≤，

即cos A＋cos B<，即D正确．

答案：BCD

2．解析：因为m＝(2cos 2A＋3，2)，n＝(2cos A，1)，m∥n；

所以4cos A＝2cos 2A＋3＝4cos2A＋1，解得cosA＝；

cos A＝＝＝，

即＝，解得bc＝2；

又cos A＝，所以sin A＝，

所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝.

答案：