第五讲 分式方程及其应用-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

第五讲  分式方程及其应用

命题点1 分式方程的解法

类型一 分式方程的解法

1．（2021•德州）分式方程﹣1＝的解为（　　）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．无解

【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，

解得：x＝1，

经检验x＝1是增根，分式方程无解．

故选：D．

2．（2021•哈尔滨）方程＝的解为（　　）

A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2

【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），

去括号得：3x﹣1＝4+2x，

移项合并得：x＝5，

检验：当x＝5时，（2+x）•（3x﹣1）≠0，

∴分式方程的解为x＝5．

故选：A．

3．（2021•陕西）解方程：﹣＝1．

【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），

解得x＝﹣，

检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，

所以x＝﹣是原方程的解．

类型二 分式方程解的应用

4．（2021•张家界）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：∵关于x的分式方程＝1的解为x＝2，

∴x＝m﹣2＝2，

解得：m＝4．

故选：B．

5．（2021•黑龙江）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣4 B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4   D．m＞﹣4且m≠﹣3

【解答】解：根据题意解分式方程，得x＝，

∵2x﹣1≠0，

∴x≠，即≠，解得m≠﹣3，

∵x≥0，

∴≥0，解得m≥﹣4，

综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3，

故选：B．

6．（2021•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+2的解为正数，则m的取值范围是 　．

【解答】解：去分母，得：

3x＝﹣m+2（x﹣1），

去括号，移项，合并同类项，得：

x＝﹣m﹣2．

∵关于x的分式方程+2的解为正数，

∴﹣m﹣2＞0．

又∵x﹣1≠0，

∴x≠1．

∴﹣m﹣2≠1．

∴，

解得：m＜﹣2且m≠﹣3．

故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．

命题点二 分式方程的实际应用

类型一 工程问题

7．（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 　　棵．

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，

依题意得：﹣＝3，

解得：x＝400，

经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，

∴（1+25%）x＝500．

故答案为：500．

8．（2021•丹东）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？

【解答】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，

列方程得：，

解得：x＝80．

经检验x＝80是所列方程的根，

所以80﹣20＝60．

答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．

类型二 生产问题

9．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：

，

解得：x＝30，

经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，

∴当前参加生产的工人有30人；

（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），

设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：

4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，

解得：y＝35，

35+4＝39（天），

∴该厂共需要39天才能完成任务．

类型三 行程问题

10．（2021•山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．

根据题意，得．

解得x＝25．

经检验，x＝25是原方程的解且符合实际．

答：走路线一到达太原机场需要25分钟．

类型四 购买、销售问题

11．（2021•济南）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

【解答】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，

依题意得：﹣＝50，

解得：x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解，

则2x＝8，

答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．

（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，

依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，

解得：m≤87.5，

答：最多购进87个甲种粽子．

12．（2021•朝阳）为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？

【解答】解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，

依题意得：＝2×，

解得：x＝75，

经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，

∴x+25＝75+25＝100．

答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．

13．（2021•云南）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．

【解答】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为（x+40）元，根据题意可得：

，

解得：x＝160，

经检验：x＝160是原分式方程的解，且符合实际，

160+40＝200元，

∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．