2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第二中学高二上学期12月阶段性测试（二）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第二中学高二上学期12月阶段性测试（二）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省咸阳市乾县第二中学高二上学期12月阶段性测试（二）数学试题 一、单选题1．已知直线与直线互相垂直，则实数（    ）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】若，垂直，则【详解】解析由两直线垂直，可知，解得．故选：C2．在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】如图所示，故选:D.3．设等差数列的前项和为，已知，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解．【详解】设的公差为，则解得当时，，当时，的最小值为．故选:A.4．已知抛物线的焦点为为抛物线上在第一象限内的一点，且，则点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】设，根据抛物线定义可知：，所以，所以，又为第一象限内的一点，所以，故．故选：B5．已知直线与圆交于两点，则（    ）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根据直线与圆相交弦长公式求解即可.【详解】解：圆的圆心为，半径为又圆心到直线的距离为，则直线与圆相交弦长．故选：C.6．已知点在直线上，则点到原点的距离的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】点在直线上，转化为求原点到直线的最小值，利用点到直线的距离公式计算可得答案．【详解】点在直线上，，点在直线上，其到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，为．故选：B.7．已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解【详解】由题意知．设，则，为椭圆上一点，，即，即．故选：A8．如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标运算即可求解,【详解】由于直三棱柱，且，所以以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则．由，可得．设，则，，即，解得．所以故选：B9．已知椭圆的离心率为为的一个焦点，为上一动点，则的最大值为（    ）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】由题知椭圆的焦点在轴上且，进而得，.【详解】解：设椭圆的半焦距为，故焦点在轴上．，离心率为，，解得．∴根据椭圆的性质可知．故选：D10．已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函数和的图象，结合图象分析求解.【详解】因为是递增数列，所以，即．如图所示，作出函数和的图象，由图可知，当时，，且．故当时，，且，依此类推可得，满足是递增数列，即的取值范围是．故选:A.11．已知斜率为正数的直线过抛物线的焦点，且与的其中一个交点为，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线的倾斜角为，结合抛物线的定义求得，进而求得直线的斜率.【详解】依题意，直线的斜率为正数，倾斜角为锐角，如图，过点作垂直于的准线，垂足为，则根据抛物线定义可知，而，．设直线的倾斜角为，则，所以，于是直线的斜率为．故选：C12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（    ）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】设，根据双曲线性质得到，计算得到，再根据得到答案.【详解】如图所示：设，，即，解得，，即，故．，，，，，即．故选：C 二、填空题13．双曲线的焦点坐标为__________．【答案】【分析】把双曲线的方程化为标准方程，由此可确定焦点位置与，进而即可求解【详解】由双曲线可得，故其焦点在轴上，半焦距为，所以焦点坐标为．故答案为：14．设等差数列的前项和为，已知，则__________．【答案】80【分析】由等差数列的性质与前n项和公式求解，【详解】由可得，则．故答案为：8015．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数__________．【答案】或【分析】根据直线与圆相交，圆心到直线的距离与半径的关系，即可求解.【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为，又圆心为，故圆的方程为圆心到直线的距离为即，解得或．故答案为：-1或-1116．如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律，经过__________秒后，该质点首次落在直线上．【答案】1300【分析】根据质点运动规律进行计算，结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】由解得，根据题意可知，当该质点到达点处时，首次落在直线上．质点到达处，走过的路程长度为2；质点到达处，走过的路程长度为；质点到达处，走过的路程长度为；……依此类推，可知质点到达处，走过的路程长度为，故该质点到达处时，走过的路程长度为个单位长度，即经过1300秒．故答案为： 三、解答题17．已知直线过点．(1)若过直线所经过的定点，求的方程；(2)若点到的距离为，求的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据直线经过的定点以及斜率公式即可求解斜率，进而可求直线方程，（2）根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）（1）由直线可得，直线过定点，的斜率为，的方程为，即．（2）若的斜率不存在，则其方程为，不符合条件，故的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，即．又点到的距离为，，解得或，直线的方程为或，即或．．18．设数列的前项和为，已知．(1)证明：；(2)求．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据条件，用递推公式做差即可证明；(2)由（1）的结论，求出通项公式，再求和即可.【详解】（1）由题意知，作差可得，．（2）知，又由条件可得，得，的奇数项构成首项为1，公差为6的等差数列，的偶数项构成首项为4，公差为6的等差数列，又，是首项为1，公差为3的等差数列， ， .19．已知椭圆的右焦点为，离心率．(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由题知，，进而得，再根据求解即可得答案；（2）设，进而根据向量关系得，进而得，再解方程即可得答案.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，∵右焦点为，∴，又∵离心率，∴，解得，∴的方程为．（2）解：设．，∴，即．∴，即，解得，设直线的斜率为，则，∴直线的方程为，即或．∴直线的方程为或．20．如图，在四棱锥中，底面，且底面为矩形，为的中点．(1)求证：；(2)求平面和平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）求出平面平面与的法向量，利用向量法求解即可【详解】（1）底面，故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，于是，，，即．（2），设平面的法向量为，则令，得设平面的一个法向量为，，，则，即，令，则设平面和平面的夹角为，则．21．已知在数列中，和为方程的两根，且．(1)求的通项公式；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用等差数列通项公式直接求解；(2)利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.【详解】（1）由可知数列为等差数列，设其公差为，解方程得或13，又．，，．（2）由得，．设，则．由于对恒成立，所以只用考虑的符号，设，令解得，令解得，当，当时，即，当时，，即，，即，的取值范围是．22．已知抛物线上一点到其准线的距离为3，直线与在第二象限和第一象限分别交于两点，为坐标原点．(1)求的方程；(2)若，求与轴的交点坐标；(3)设的焦点为，若，且与轴的交点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据抛物线上的点到准线的距离即可求解，（2）根据向量垂直的坐标运算即可联立方程，代入韦达定理求解.（3）联立直线与抛物线方程，可得，进而可由两点坐标求直线的方程，结合向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】（1）由已知可知抛物线的准线为，点到准线的距离为，解得，的方程为．（2）易知的斜率存在，设．联立整理得，由，得，解得或（舍去），与轴的交点坐标为．（3）易知，设所在直线的方程为在第二象限，．联立整理得，解得或，则，直线的斜率，于是直线的方程为．联立,整理得，解得或，则，解得或（舍去）．故直线的方程为．