2022-2023学年江苏省前黄高级中学、溧阳中学高二上学期第一次联合调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省前黄高级中学、溧阳中学高二上学期第一次联合调研数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角大小（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简得到，根据计算得到答案.

【详解】直线，即，，，故.

故选：.

【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.

2．正项等比数列中，，则（    ）

A．4 B．8 C．32 D．64

【答案】D

【分析】利用等比数列的性质运算即可.

【详解】因为是等比数列，

所以.

故选：D.

3．若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．

【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为12，

可知M到准线的距离也为12，故到M到轴的距离是8.

故选：B．

4．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知点在圆外，要使截得弦长最长，则直线l必过圆心，由两点式即可求直线l方程.

【详解】解：由题意可知，

所以P是圆C外部一点，

可得截得弦长最长的直线l是由P、C两点确定的直线

圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心为C(1,−2)，

当l过P的圆心C时，弦长最长，

所以方程为：，化简得3x−y−5=0，

故选：A.

5．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出双曲线焦点，顶点坐标.后可得椭圆方程.

【详解】由题，双曲线的焦点坐标为：.顶点坐标为：.

设椭圆方程为：，.由题有：.

故椭圆方程为：.

故选：D

6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.

【详解】为单位圆上一点，而直线过点，

所以的最大值为，选C.

【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

7．已知函数，若等比数列满足，则（    ）

A． B． C．2 D．2021

【答案】D

【分析】根据题意，由等比数列的性质可得

,结合函数的解析式可得

= ,

进而分析可得答案.

【详解】解：根据题意，等比数列满足，则有，

若，则，则有，

同理：，

则（1）（1），则，

故；

故选：D．

8．如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，

以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.

【详解】设 ，则 ，

由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，

连接 ，则有 ，

由于 在以AD为直径的圆周上， ，

∵ABCD为平行四边形， ， ，

在直角三角形 中，， ，

解得： ， ；

在直角三角形 中， ， ，

得 ， ，

故选：D.

二、多选题

9．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ）

A．直线AB与直线互相垂直 B．直线AB的方程为

C． D．线段AB的中垂线方程为

【答案】ABD

【分析】利用圆的几何特征，易证直线AB的中垂线即直线，

根据过两个圆的公共点的圆系方程可求得公共弦AB所在直线方程，进而求出弦长.

【详解】因为A，B是两个圆的公共点，所以，在线段AB的中垂线上，同理，也在线段AB的中垂线上，故A正确；

所以直线即直线AB的中垂线，，，则直线的方程为，即，D正确；

圆和圆的公共弦所在直线方程为，

即，B正确；

点到直线AB的距离为，则，C错误.

故选：ABD.

10．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解.

【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支，

此时，，，，

所以双曲线方程是，，

“B型直线”是指直线与双曲线，有交点，

A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确；

B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确；

C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确；

D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确.

故选：ACD

11．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．取得最大值时，

【答案】AB

【分析】对于A BC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.

【详解】由，得即，

又，所以，选项A正确；

由； ，得，选项B正确；

由，得，又，所以，选项C错误；

，令，得，

解得，又，所以，

即数列满足：

当时， ，

当时， ，所以取得最大值时，，选项D错误．

故选：AB．

12．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，k是的“间隔数”，下列说法正确的是（    ）

A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”

B．若，则是“间隔递增数列”

C．若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r

D．已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则

【答案】BCD

【解析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数，使得，即可判断正误.

【详解】选项A中，设等比数列的公比是，则，其中，即，若，则，即，不符合定义，故A错误；

选项B中，，

当n是奇数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；当n是偶数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义.综上，存在时，对任意，均有，符合定义，故B正确；

选项C中，，令，开口向上，对称轴，故在时单调递增，令最小值，得，

又，，，故存在时，成立，即对任意，均有，符合定义，“间隔数”的最小值为r，故C正确；

选项D中，因为，是“间隔递增数列”，则，即，对任意成立，设，显然在上递增，故要使，只需成立，即.

又“间隔数”的最小值为3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，故，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数，使对于任意的恒成立，逐项突破难点即可.

三、填空题

13．设为实数，若两条平行直线和之间的距离为2，则______.

【答案】或

【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可．

【详解】因为两条平行直线和之间的距离等于2，

所以有或，

故答案为：或．

14．等差数列的前项之和为，若，，则______．

【答案】90

【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.

【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，

而，即，于是得，

所以.

故答案为：90

15．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________.

【答案】1033

【分析】根据题意，结合图乙中第行有个数，且第行最后一个数为，再根据等差数列求和公式，即可求解.

【详解】根据题意，可知图乙中第行有个数，且第行最后一个数为.

由，，知出现在第45行倒数第3位，

因此.

故答案为：1033.

16．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点. ，依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为____.

【答案】

【分析】首先设，，根据等差数列的性质，将等差数列的四个量分别用表示，再分别在和中分别用余弦定理表示，再求离心率.

【详解】如图，设，，则,

根据，成等差数列，所以，即，

所以，，，，

根据椭圆定义可知，，得，

中，，

中，，得，

椭圆的离心率.

故答案为：

四、解答题

17．已知直线和的交点为P．

(1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；

(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）．

【答案】(1)4x－3y－3＝0

(2)30

【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；

（2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案.

【详解】（1）由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）．

由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，

即4x－3y－3＝0．

（2）由题知：设直线m的斜率为kk≠0，则直线m的方程为，

故，，且，且，求得，

故、．

故△OAB的面积为．

18．已知等比数列{an}中，an > 0，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

【答案】（1）an＝．（2）Sn＝．

【分析】（1）利用等比数列通项公式、等比中项得到a3a5＝4，a3+a5＝5，从而a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，且a3＞a5，由此能求出数列{an}的通项公式．

（2）推导出bn＝log2an5﹣n，由此能求出数列{bn}的前n项和．

【详解】解：（1）∵在等比数列{an}中，，公比q∈（0，1），

且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2，

∴(a3+a5)2＝25，，

∴a3a5＝4，a3+a5＝5，

即a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，且a3＞a5，

解方程x2﹣5x+4＝0，得a3＝4，a5＝1，

,,,

∴数列{an}的通项公式an＝16×＝．

（2）∵bn＝log2an5﹣n，

∴数列{bn}的前n项和：

Sn＝5n﹣（1+2+3+…+n）

＝5n．

19．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.

(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析，

(2)或

【分析】（1）结合化简已知条件，求得，结合证得数列为等差数列，然后求得，进而求得.

（2）先求得，然后求得的最大值，进而通过解一元二次不等式求得的取值范围.

【详解】（1）∵，∴，

∵∴，∴，

∴，又由，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列；

所以，∴，

当时，，

当时，，

当时，上式也符合，所以.

（2），时，，，，，，

∴或5时，，∴或.

20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积．

【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为.

【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程；

（2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案．

【详解】解：（1）由圆，即，

圆的圆心坐标为，半径．

设，则，．

由题意可得，即．

整理得．

的轨迹方程是．

（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

由于，

故在线段的垂直平分线上，

又在圆上，

从而．

，

直线的斜率为．

直线的方程为，即．

则到直线的距离为．

又到的距离为，

．

．

21．已知抛物线的焦点为．点在上， ．

（1）求;

（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．

【答案】(1) ；（2）是定值，.

【分析】（1）由题知 ①，由焦半径公式得 ②，两式联立即可求得答案；

（2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可.

【详解】解：（1）因为点在上，所以 ①，

因为，所以由焦半径公式得 ②，

由①②解得

所以.

（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，

当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.

当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.

要证明，只需证明，

只需证，即，

设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，

联立方程得，设，

则，所以，，

联立方程得，

所以，

所以，

所以，即，

所以.

综上，为定值，.

22．如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q．

(1)当时，求点B的横坐标；

(2)若的面积为，试求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出点A，B的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.

（2）延长交椭圆C于D，可得，再结合图形将用的面积及表示，设出直线AD方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理求出即可求解作答.

【详解】（1）设，依题意，，由，得，

即，由得，两式相减得，

即有，则，即，

由得，

所以点B的横坐标为．

（2）因，则，即有，记，，，

则，即．同理，而，

连并延长交椭圆C于D，连接，如图，则四边形为平行四边形，，有点D在直线上，

因此，，，

因此，即，

设直线，点，有，

即，则，

由消去x并整理得：，有，

，，则，

于是得，解得，

所以．

【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；

过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.