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【寒假自学】2023年人教A版高一数学必修第二册-第12讲《基本立体图形》寒假精品讲学案（含解析）
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第12讲 基本立体图形
【学习目标】
1、认识基本立体图形的结构并能够结合生活．
2、认识由几个基本立体图形组合的简单组合体．
【考点目录】
考点一：简单几何体的结构特征
考点二：几何体中的基本计算
考点三：简单几何体的组合体
考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
【基础知识】
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行．
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴．
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成．
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合．
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
（1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
（2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
（3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
（5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
（6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【考点剖析】
考点一：简单几何体的结构特征
例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【答案】C
【解析】
有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.
故选：C.
例2．（2022·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱
【答案】D
【解析】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
考点二：几何体中的基本计算
例3．（2022·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故选：A
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
【解析】设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为.
因为轴截面的面积等于，所以.
因为母线与轴的夹角是，所以，.
解得，.
考点三：简单几何体的组合体
例5．（2022·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】
作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面，它是半圆O及其内接矩形ACC1A1，如图所示，
其中，矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面，点O是半球底面圆圆心，
正方体的棱长，面对角线，
显然点O是AC中点，则该半球的半径，
所以球的半径为3.
故选：B
例6．（2022·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
【答案】
【解析】
设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，
则，解得.
设所求的小正方体的棱长为a，
则，
所以，
所以小正方体体积的最大值为.
故答案为:
考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
例7．（2022·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
【答案】
【解析】
由正方体的对称性知从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点的最短距离有6条，距离相等．
把其中一条所在的两个面摊平，如图，
，
故答案为：．
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
【真题演练】
1．（2007·北京·高考真题（文））如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，依题意可得，即，
所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的顶角为．
故选：C．
2．（2008·重庆·高考真题（文））如图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
【答案】A
【解析】先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果用①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块．
故选：A.
3．（2018·全国·高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
4．（2007·北京·高考真题（文））两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为或或，所以最长对角线的长为，
故选：C.
5．（2007·全国·高考真题（文））若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】D
【解析】
正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等．因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选D
6．（2007·江西·高考真题（文））已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，
其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，
因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.
故答案为：.
7．（2007·江西·高考真题（理））在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________
【答案】
【解析】
由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．
②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG中，由勾股定理得．
③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得
．
综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．
答案：
8．（2007·江西·高考真题（理））如图所示，在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意得，在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，作,所以．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到棱柱的结构特征及两点间的距离公式，棱柱的侧面展开图等知识点的综合考查，本题的解答中将在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，将一个空间问题转化为平面内的两点之间的距离问题是解答的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与云散能力，属于中档试题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形 B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形 D．相邻两个侧面是矩形
【答案】D
【解析】如图所示是一个斜四棱柱：
因为底面是矩形，故A错误；
因为侧面与底面垂直，故B错误；
侧面是矩形，故C错误；
当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，则该棱柱一定是直棱柱，故D正确.
故选：A.
2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，
∵，即，又的周长为,
∴要使的周长的最小，则共线，即，又正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，
∴.
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【答案】C
【解析】对于A，若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，故A错误；
对于B，当这两点是直径的两个端点时，可作无数个大圆，故B错误；
对于C，根据圆锥的定义可知圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于D，用一个平面去截球，该平面需过球心的时候，所得的圆才是大圆，故D错误；
故选：C
4．（2022·四川泸州·高一期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为底面半径，
所以母线长，
所以圆锥的高.
故选：C
5．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（ ）
A．新 B．冠 C．病 D．毒
【答案】C
【解析】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，
故选：C.
6．（2022·全国·高一课时练习）下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体．
圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体，
圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体.
故选：A.
7．（2022·全国·高一课时练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开
正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，
因此A图形不可能是截面；
对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，
如图：
此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；
对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，
如图中截面PDGH位置：
截面就会如C图形，故C可能是该几何体的截面；
对于D，如图示，按图中截面 的位置去剖开正方体，截面就会如D图形，
故D可能是该几何体的截面；
故答案为：A
8．（2022·河北张家口·高一阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
在中，，所以，
所以扇形弧长为，
所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
二、多选题
9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
【答案】AC
【解析】A.如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；
故选：AC
10．（2022·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上､下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
【答案】ABCD
【解析】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A错误；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；
对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；
对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；
故选：ABCD
11．（2022·辽宁大连·高一期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.
故选：ABC
12．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
14．（2022·江西·南城县第二中学高一阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
【答案】路
【解析】由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”.
故答案为：路.
15．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的高是______________.
【答案】
【解析】如图正三棱锥中，为的中点，则，
设为三角形的重心，则底面，
又，
所以，即这个正三棱锥的高是；
故答案为：
16．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为m，则圆锥底面圆的半径等于______m．
【答案】
【解析】根据圆锥的侧面展开图:
得知：, .所以,故.
设圆锥的底面半径为r,利用,解得：.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角．
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r．
由侧面展开图恰好是一个半圆知，
所以轴截面是等边三角形，
故母线与底面直径所成角的大小是．
18．（2022·全国·高一课时练习）将一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面的半径之比为1∶3，母线长是，高是，求这个圆锥的高和母线长．
【解析】设圆锥的母线长为，圆台上、下底面的半径分别是．
根据相似三角形的比例关系得，即，
所以．同理高．
答：圆锥的母线长为，高为．
19．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
【解析】沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：
且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，
且.
第12讲 基本立体图形
【学习目标】
1、认识基本立体图形的结构并能够结合生活．
2、认识由几个基本立体图形组合的简单组合体．
【考点目录】
考点一：简单几何体的结构特征
考点二：几何体中的基本计算
考点三：简单几何体的组合体
考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
【基础知识】
知识点一：棱柱的结构特征
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．
2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；
②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行．
知识点诠释：
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．
判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．
知识点二：棱锥的结构特征
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥．
知识点诠释：
棱锥有两个本质特征：
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可．
知识点三：圆柱的结构特征
1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．
2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．
（2）经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．
（3）圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
知识点四：圆锥的结构特征
1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．
2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．
知识点诠释：
（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．
（2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．
（3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．
知识点五：棱台和圆台的结构特征
１、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴．
2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；
3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；
知识点诠释：
（1）棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的几何体．所以，棱台可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点．
（2）棱台的上、下底面是相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方．
（3）圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成．
（4）圆台的上、下底面的面积比等于截去的小圆锥的高与原圆锥的高之比的平方．
知识点六：球的结构特征
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知识点诠释：
（1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径．
（2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有．
知识点七：特殊的棱柱、棱锥、棱台
特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；
特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；
特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；
知识点八：简单组合体的结构特征
1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；
2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合．
①多面体与多面体的组合体
由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．
②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．
③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．
知识点九：几何体中的计算问题
几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：
（1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关．
（2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来．
（3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系．
（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一．
（5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决．
（6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．
【考点剖析】
考点一：简单几何体的结构特征
例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【答案】C
【解析】
有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；
有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
由棱柱的定义，C正确.
故选：C.
例2．（2022·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱
【答案】D
【解析】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
考点二：几何体中的基本计算
例3．（2022·福建福州·高三期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.
故选：A
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
【解析】设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为.
因为轴截面的面积等于，所以.
因为母线与轴的夹角是，所以，.
解得，.
考点三：简单几何体的组合体
例5．（2022·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的半径为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】
作出过半球内接正方体对角面的半球的轴截面，它是半圆O及其内接矩形ACC1A1，如图所示，
其中，矩形ACC1A1是该半球内接正方体的对角面，点O是半球底面圆圆心，
正方体的棱长，面对角线，
显然点O是AC中点，则该半球的半径，
所以球的半径为3.
故选：B
例6．（2022·全国全国·模拟预测）已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.
【答案】
【解析】
设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，
则，解得.
设所求的小正方体的棱长为a，
则，
所以，
所以小正方体体积的最大值为.
故答案为:
考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
例7．（2022·全国·高一课时练习）已知正方体棱长为1.一只蚂蚁从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点.则蚂蚁经过的最短路程为______.
【答案】
【解析】
由正方体的对称性知从顶点出发沿正方体的表面爬到顶点的最短距离有6条，距离相等．
把其中一条所在的两个面摊平，如图，
，
故答案为：．
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】
连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选B.
【真题演练】
1．（2007·北京·高考真题（文））如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，依题意可得，即，
所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的顶角为．
故选：C．
2．（2008·重庆·高考真题（文））如图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（ ）
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
【答案】A
【解析】先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果用①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块．
故选：A.
3．（2018·全国·高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
4．（2007·北京·高考真题（文））两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为或或，所以最长对角线的长为，
故选：C.
5．（2007·全国·高考真题（文））若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】D
【解析】
正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等．因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选D
6．（2007·江西·高考真题（文））已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达的最短路线的长为___________.
【答案】10
【解析】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，
其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，
因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，
所以.
故答案为：.
7．（2007·江西·高考真题（理））在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________
【答案】
【解析】
由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．
①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．
②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG中，由勾股定理得．
③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得
．
综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．
答案：
8．（2007·江西·高考真题（理））如图所示，在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意得，在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，作,所以．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到棱柱的结构特征及两点间的距离公式，棱柱的侧面展开图等知识点的综合考查，本题的解答中将在同一个平面内，沿展开是等腰直角三角形，将一个空间问题转化为平面内的两点之间的距离问题是解答的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与云散能力，属于中档试题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形 B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形 D．相邻两个侧面是矩形
【答案】D
【解析】如图所示是一个斜四棱柱：
因为底面是矩形，故A错误；
因为侧面与底面垂直，故B错误；
侧面是矩形，故C错误；
当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，则该棱柱一定是直棱柱，故D正确.
故选：A.
2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，
∵，即，又的周长为,
∴要使的周长的最小，则共线，即，又正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，
∴.
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【答案】C
【解析】对于A，若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，故A错误；
对于B，当这两点是直径的两个端点时，可作无数个大圆，故B错误；
对于C，根据圆锥的定义可知圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于D，用一个平面去截球，该平面需过球心的时候，所得的圆才是大圆，故D错误；
故选：C
4．（2022·四川泸州·高一期末）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为底面半径，
所以母线长，
所以圆锥的高.
故选：C
5．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（ ）
A．新 B．冠 C．病 D．毒
【答案】C
【解析】将展开图折叠成正方体可得“击”字与“冠”字相对，“抗”字与“病”字相对，“新”字与“毒”字相对，
故选：C.
6．（2022·全国·高一课时练习）下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体．
圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体，
圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体.
故选：A.
7．（2022·全国·高一课时练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开
正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，
因此A图形不可能是截面；
对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，
如图：
此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；
对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，
如图中截面PDGH位置：
截面就会如C图形，故C可能是该几何体的截面；
对于D，如图示，按图中截面 的位置去剖开正方体，截面就会如D图形，
故D可能是该几何体的截面；
故答案为：A
8．（2022·河北张家口·高一阶段练习）如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
在中，，所以，
所以扇形弧长为，
所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
二、多选题
9．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
【答案】AC
【解析】A.如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；
故选：AC
10．（2022·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上､下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
【答案】ABCD
【解析】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A错误；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；
对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；
对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；
故选：ABCD
11．（2022·辽宁大连·高一期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.
故选：ABC
12．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）长方体的棱长，则从点沿长方体表面到达点的距离可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】则从点沿长方体表面到达有三种展开方式，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则，
若以为轴展开，则.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【解析】
将正三棱锥沿棱展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿爬行时，路程最短；
因为，，
所以，
因此.
故答案为：.
14．（2022·江西·南城县第二中学高一阶段练习）如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
【答案】路
【解析】由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”.
故答案为：路.
15．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的高是______________.
【答案】
【解析】如图正三棱锥中，为的中点，则，
设为三角形的重心，则底面，
又，
所以，即这个正三棱锥的高是；
故答案为：
16．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为m，则圆锥底面圆的半径等于______m．
【答案】
【解析】根据圆锥的侧面展开图:
得知：, .所以,故.
设圆锥的底面半径为r,利用,解得：.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角．
【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r．
由侧面展开图恰好是一个半圆知，
所以轴截面是等边三角形，
故母线与底面直径所成角的大小是．
18．（2022·全国·高一课时练习）将一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面的半径之比为1∶3，母线长是，高是，求这个圆锥的高和母线长．
【解析】设圆锥的母线长为，圆台上、下底面的半径分别是．
根据相似三角形的比例关系得，即，
所以．同理高．
答：圆锥的母线长为，高为．
19．（2022·全国·高一课时练习）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
【解析】沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：
且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，
且.
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