安徽省六安中学2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第一学期高一期末考试数学试卷

时间：120分钟    分值：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，

集合，

所以，

故选：A

2. 已知角α的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】推导出，，，再由，求出结果．

【详解】∵角的终边经过点，

∴，，，

∴．

故选：D．

3. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指数函数、对数函数、三角函数的知识判断出a、b、c的范围即可.

【详解】因为，，

所以

故选：A

4. 若均大于零，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得，利用基本不等式可求得.

【详解】均大于零，且，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

5. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】因为，则，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且时，，据此可知选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据抽象函数的定义域以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可．

【详解】因为函数的定义域为且分式的分母不等于零，

所以，

解得，

故函数的定义域为，，

故选：．

7. 已知函数，则下列对该函数性质的描述中不正确的是（    ）

A. 的图像关于点成中心对称

B. 的最小正周期为2

C. 的单调增区间为

D. 没有对称轴

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．

【详解】对于A：令,令，可得函数的一个对称中心为，故正确；

对于B：函数f（x）的最小正周期为T＝，故正确；

对于C：令，解不等式可得函数的单调递增区间为，故错误；

对于D：正切函数不是轴对称图形，故正确．

故选：C．

【点睛】本题考查与正切函数有关的性质，涉及周期性，单调性和对称性，利用整体代换的思想进行判断是解决本题的关键．

8. 已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是

A.  B. [，] C. [，]{} D. [，）{}

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.

【考点】函数性质综合应用

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 函数y=f(x)是R上的奇函数，当x时，则下列说法正确的是（    ）

A. x时 B. f(0)=-3

C. x时 D. f(-2)=3

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用奇函数性质，先代入计算得判断选项B错误；再设时得，求得解析式并计算，判断A错误，CD正确.

【详解】函数y=f(x)是R上的奇函数，故.

当时，，故，选项B错误；

当时，，则，故，故C正确，A错误；又，故，故D正确.

故选：CD.

10. 设函数，下列说法正确的是（    ）

A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数

C. 函数有最大值 D. 函数在上单调递减

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用奇偶性定义可判断AB，求函数的值域可判断C，求出的解析式可判断D.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，所以是偶函数，A正确，B错误；

令，则，所以，所以，C正确；

当时，，是单调递增函数，所以D错误.

故选：AC.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. “"是“|”的充分不必要条件

B. 命题“”的否定是“

C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件

D. “"是“关于的方程有实根”的充要条件

【答案】BD

【解析】

【分析】根据充分条件、要条件的定义，命题的否定的定义判断各选项．

详解】对于，例如满足，但，所以错误；

对于，特称命题的否定为全称命题，命题“”的否定是“，所以正确；

对于，例如满足，但，所以不正确；

对于，方程有实根，所以正确．

故选：BD．

12. 已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A. 函数的图象关于直线对称；

B. 函数在区间上是单调增函数；

C. 若函数的定义域为，则值域为

D. 函数的图象与的图象重合

【答案】AD

【解析】

【分析】依次判断各项，其中B中，函数应为单调减函数；C中，函数的值域为，可知此两项错误；A和D经验证，是正确的，由此可得结果.

【详解】对于A，，函数的图象关于直线对称，故A正确；

对于B，时，，函数在区间上是单调减函数，故B错误；

对于C，若函数的定义域为，，则值域为，故C错误；

对于D，，故D正确．

本题正确结果：AD

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2．

【答案】1

【解析】

【详解】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.

14. 若“”为假命题，则实数m最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出的取值范围即可．

【详解】解：命题“，有”是假命题，

它否定命题是“，有”，是真命题，

即，恒成立，所以，

因为，在上单调递减，上单调递增，又，，所以

所以，

的最小值为，

故答案为：．

15. 已知，则________．

【答案】

【解析】

【分析】将所求式子两项中的角度变形后，利用诱导公式化简，再由已知等式利用同角三角函数间的基本关系求出的值，将各自的值代入计算，即可求出值．

【详解】解：∵，
，
∴．

故答案为：

16. 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.

【答案】①②③

【解析】

【分析】由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案．

【详解】①，即，故正确；

②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；

③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；

④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误．

综上正确结论的序号是①②③

【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 计算：

（1）；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；

（2）根据换底公式的性质得到，再根据指数对数恒等式得到，即可得解；

【小问1详解】

解：

【小问2详解】

解：，，

，．

18. 已知

（1）化简；

（2）若=2，求的值.

【答案】（1）=（2）2

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式即可化简.

（2）利用同角三角函数的基本关系化简并将（1）中的数据代入即可.

【详解】解：（1）

.

（2）由（1）知，

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系“齐次式”的运算，需熟记公式，属于基础题.

19. 已知，函数．

（1）求的定义域；

（2）当时，求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数函数的真数大于零得到不等式组，解得即可求出函数的定义域；

（2）当时得到、即可得到与，则原不等式即为，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域；

【小问1详解】

解：由题意得：，解得，

因为，所以，故定义域为

【小问2详解】

解：因为，所以，所以，

，

因为，所以，

即

从而，解得.   故不等式的解集为．

20. 已知．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，函数的值域为，求实数的范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；

（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；

【小问1详解】

解：对于函数，   

令，，

求得，．

故函数的单调递增区间为，．

【小问2详解】

解：令，，解得，．即时取得最大值

因为当时，取到最大值，所以．

又函数在上是减函数，且，

故的最大值为内使函数值为的值，

令，即，因为，所以，所以，解得，

所以的取值范围是．

21. 已知函数是定义在1，1上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；

（2）判断在1，1上的单调性，并用定义证明；

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的值.

【答案】（1），   

（2）在上递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由为1，1上奇函数可得，再结合可求出m，n的值；

（2）直接利用单调性的定义判断即可，

（3）由题意可得，而，然后分，和三种情况求解的最大值，使其最大值大于等于，解不等式可得结果

【小问1详解】

依题意函数是定义在上的奇函数，

所以，∴

，

所以，经检验，该函数为奇函数.

【小问2详解】

在上递增，证明如下：

任取，

其中，，所以，

故在上递增.

【小问3详解】

由于对任意的，总存在，使得成立，

所以.

当，恒成立

当时，在上递增，，

所以.

当时，在上递减，，

所以.

综上所述，

22. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足19万件时，（万元），在年产量大于或等于19万件时，（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，分、两种情况可写出答案；

（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出、时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则万件商品销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

此时，当时，取得最大值万元，

当时，万元，

此时，当且仅当，即时，取得最大值180万元，

因为，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，

最大利润为180万元．