陕西省宝鸡市2023届高三上学期一模理科数学试题及答案

这是一份陕西省宝鸡市2023届高三上学期一模理科数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省宝鸡市2023届高三上学期一模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，那么等于（    ）A． B．C． D．2．已知复数，则（    ）A．1 B． C．2 D．43．双曲线的渐近线方程是（    ）A． B．C． D．4．最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（    ）A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差5．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线与所成角的正切值为（    ）A． B． C．3 D．6．已知向量满足，且，则夹角为（    ）A． B． C． D．7．已知，则（    ）A． B． C． D．8．椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（    ）A． B．C． D．9．已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（    ）A．①② B．①③C．①④ D．①②③10．已知直线与圆相切，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．11．的整数部分是（    ）A．3 B．4 C．5 D．612．已知函数满足，若函数与的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标之和为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题13．展开式中的常数项为__________．14．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.15．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.16．在棱长为1的正方体中，是侧面内一点（含边界）则下列命题中正确的是（把所有正确命题的序号填写在横线上）______.①使的点有且只有2个；②满足的点的轨迹是一条线段；③满足平面的点有无穷多个；④不存在点使四面体是鳖臑（四个面都是直角三角形的四面体）.  三、解答题17．已知向量，定义函数.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.18．如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.(1)求的方程；(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.20．甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立.(1)求甲队仅比赛3场获胜的概率；(2)已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和的分布列及期望.21．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)求曲线的任意一点到曲线距离的最小值.23．已知，求证：(1)；(2).
参考答案：1．D【分析】根据对数函数的定义域，结合交集的定义求解即可.【详解】由题意，，故.故选：D2．A【分析】由复数的运算结合模长公式求解即可.【详解】，故选：A3．A【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.【详解】即，故渐近线方程.故选：A4．C【分析】根据题意分别求甲乙监测点的平均人数,极差,中位数及方差判断即可.【详解】对于:甲检测点的平均检测人数为乙检测点的平均检测人数为故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故正确;对于:甲检测点的数据极差乙检测点的数据极差，故正确;对于:甲检测点数据为,中位数为,乙检测点数据为,中位数为，故错误;对于:通过观察平均数附近数据个数,极差等或计算甲乙数据的方差, 都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强, 故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差,故正确.故选: .5．C【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正四棱柱的几何性质求解即可.【详解】解：如下图，连接在正四棱柱中，有，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成角或其补角，又在中，，，所以，因为，则，所以，故异面直线与所成角的正切值为3.故选：C.6．A【分析】由数量积运算得出夹角.【详解】设夹角为，，即，.故选：A7．C【分析】利用同角三角函数的基本关系和正切二倍角公式求解.【详解】由得，解得，因为，所以，所以，又因为，所以，由解得，所以，所以.故选:C.8．B【分析】设，再根据表达推导可得，进而根据直线斜率取值范围求解即可.【详解】设，则，，，于是，故.∵ ∴.故选：B.9．D【分析】设出公差为，列出方程组，求出首项和公差，根据判断①正确，写出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正确；根据与，得到当时，取得最大值，③正确；利用通项公式求出的值，得到④错误.【详解】设等差数列的公差为，故，解得：，由于，故是递减数列，①正确；，令，解得：，且，故使成立的的最大值是9，②正确；，当时，，当时，，故当时，取得最大值，③正确；，④错误.故选：D10．C【分析】根据直线与圆相切，整理等式，根据运算性质，可得答案.【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，由直线方程，整理可得，则，整理可得，由配方法可得，，，由，则，即，解得.故选：C.11．B【分析】注意到，，据此可得答案.【详解】因，则.又，则.故，即整数部分为4.故选：B12．B【分析】由题知函数，图像关于点对称，再根据对称性求解即可.【详解】解：因为函数满足，所以，函数图像关于点对称，因为，其图像由图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，所以，函数图像关于点对称，不妨设数与的图像的四个交点的横坐标为，且，所以，根据对称性，，所以，这四个交点的横坐标之和为.故选：B13．.【分析】利用通项公式即可得出．【详解】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项15．故答案为15．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.【详解】命题“”的否定为：“，”.因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.15．【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可.【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.又板块颜色可排列，故共种.故答案为：16．②③【分析】根据正方体的线面关系可得，则，即可得满足的点的轨迹，判断①即可；由正方体可证得平面，则满足的点的轨迹可求得，判断②即可；由正方体可证得平面平面，则满足平面的点的轨迹可求得，判断③即可；由正方体可求得四面体是鳖臑，由是侧面内一点（含边界），判断④即可.【详解】解：对于①，由正方体可得平面，又平面，所以，则，又，所以，又是侧面内一点，所以在以为圆心，1为半径的圆上，如下图：有无数个这样的点，故①错误；对于②，如下图，连接由正方体可得平面，又平面，所以，又由正方形，得，且平面，所以平面，则满足的点在平面，又在平面，且平面平面，则点的轨迹是线段，故②正确；对于③，如下图，连接在正方体中，有，所以四边形为平行四边形，则，同理可得，又平面，平面，所以平面，平面，且平面，所以平面平面，则满足平面可得点在平面，又在平面，且平面平面，则点的轨迹是线段，故③正确；对于④，如下图，连接在正方体中，有平面，且平面，所以，则均为直角三角形，又平面，且平面，所以，则均为直角三角形，所以四面体是鳖臑，由于是侧面内一点（含边界），故与重合时，四面体是鳖臑，故④错误.故答案为：②③.17．(1)(2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期；（2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值.【详解】（1）解：=的最小正周期为（2）解：，，.又AB，.由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，=.18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明出平面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，利用向量法求解.【详解】（1）面，且，.∵是中点,所以.同理可证：.又面，面，, 平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，如图：则.设平面的法向量则，得，不妨取，则.由（1）得是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，再表示出的坐标，依题意得到方程，解得即可；（2）依题意可得抛物线方程与点坐标，设：，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据直线、的斜率之积为，得到、的关系，即可求出直线过定点，即可得到点在以为直径的圆上，求出圆心坐标与半径，即可得到定点的坐标，即可得证.【详解】（1）解：抛物线的焦点为，准线为，又点在抛物线上，即，所以，即，依题意可得，解得或，或.（2）解：，，.设：，，，联立，消去整理得，①，且，，，，即，适合①，将m代入得，令，解得，直线恒过定点.又，点在以为直径的圆上，因为、的中点为，，所以以为直径的圆方程为，所以存在使得.20．(1)0.125；(2)分布列见解析，期望为465. 【分析】(1)根据独立事件的概率乘法公式求解；(2)由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得的分布列，再由期望公式求期望.【详解】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为，，甲队比赛3场获胜的概率为=；（2）X所以可能取得值为；，，，，.即X0200400600800P0.1250.0750.26250.4250.1125 所以.21．(1)(2) 【分析】（1）求，根据导数的几何意义求解斜率，求得切点坐标后，再根据直线方程求解方法即可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性，得函数的最值，根据函数的图像与的图像最多有一个公共点，列不等式求解实数的取值范围即可.【详解】（1）解：依题，，又则在点处的切线方程为：，即.（2）解：令，则设，则，又，所以恒成立，即函数在上单调递增，又时，；时，；则存在唯一的正实数使得，则，则，故当）时，，）时，，所以==.又，则，所以=，若函数的图像与的图像最多有一个公共点，则，即，于是有，且，所以，当且仅当的时，等号成立，故，所以解得.【点睛】本题考查了函数切线方程、函数方程的根与导数的综合应用，属于难题.解决本题函数方程的根的问题的关键是构造差函数确定函数单调性，但是由于导函数的零点无法直接求解，故涉及“隐零点”问题的应用，从而设隐零点使得，从而确定函数的单调性得最值=，于是可得参数不等式，求得结果.22．(1)，(2)2 【分析】(1)利用消去参数的办法求曲线的普通方程，根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式和基本不等式求解.【详解】（1）由，消去得，又曲线是经过原点且倾斜角为的直线其直角坐标方程为.（2）设，，则到直线的距离,当且仅当,即时等号成立.23．(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）构造基本不等式即可证明；（2）利用作商法证明.【详解】（1）又因为c>0，所以，=，（当且仅当时，“=”成立）.即证.（2）因为.因为0，，（>1.同理>1，>1，故.