四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学（理）上学期一诊模拟考试试题（Word版附解析）

成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届一诊模拟考试数学试题（理科）

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为（    ）

A. B. C. D.

2.已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

3.的展开式中的系数为（    ）

A.10 B.20 C.40 D.80

4.已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ）

A.相交 B.相离 C.内切 D.外切

5.若，则（    ）

A. B. C. D.

6.如图，在正方体中，点，分别是棱，的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为（    ）

A.等腰梯形 B.三角形 C.正方形 D.矩形

7.函数的图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

8.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（    ）（参考数据：）

A.3h B.4h C.5h D.6h

9.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）

A. B. C. D.

10.某校安排一至五班的同学去，，，四个劳动实践基地学习，每班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则一班被安排到基地的排法总数为（    ）

A.24 B.36 C.60 D.240

11.已知双曲线：，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

12.已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.若，则______.

14.若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.

15.已知抛物线：上有两动点，，线段的中点到轴距离的是2，则线段长度的最大值为______.

16.中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”。现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为______，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或滴算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（本小题满分12分）

某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动

（Ⅰ）请补全列联表，判断是否有95%的把握认为性别与课间经常进行体育活动有关联：

（Ⅱ）以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附表：

附：，其中

18.（本小题满分12分）

已知是数列的前项和，已知目，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为2

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为等腰三角形.

21.（本小题满分12分）

已知函数的极值为

（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，证明：

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.选修4-4：极坐标与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）

（Ⅰ）写出曲线的普通方程；

（Ⅱ）设为曲线上的一点，将绕原点逆时针旋转得到，当运动时，求的轨迹方程.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）若，求的定义域；

（Ⅱ）若，求证：