人教版八年级数学上册 专项素养综合全练(二)（含答案解析）

这是一份人教版八年级数学上册 专项素养综合全练(二)（含答案解析），共10页。
专项素养综合全练(二)等腰三角形中辅助线的七种常用方法方法一　等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线1.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC边的中点,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:ED⊥FD.     方法二　等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高2.如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.     方法三　等腰三角形中证与腰有关的线段时,常作腰的平行线(或垂线)3.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)求证:PD=QD;(2)过点P作直线BC的垂线,垂足为E,P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.     
方法四　等腰三角形中证与底有关的线段时,常作底的平行线4.如图,D是等边△ABC的边AB上一点,E是BC延长线上一点,连接DE交AC于F,过D点作DG⊥AC于G点.(1)求证:AG=AD;(2)若DF=EF,求证:CE=AD.    方法五　补形法5.如图所示,已知△ABC中,过点C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,作DE∥AB交AC于点E,求证:AE=CE.      方法六　倍长中线法6.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AC上的一点,BE交AD于点F,已知AE=EF.求证:AC=BF.     方法七　截长补短法7.如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB交AB于D,求证:AC+AD=BC.       8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BE平分∠ABC交AC于点E.(1)求证:BC=BE+AE;(2)探究:若∠A=108°,则BC等于哪两条线段长的和呢?说明理由.          
答案全解全析1.证明　连接AD,如图所示,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°,∵D为BC的中点,∴BD=CD,AD⊥BC,∵∠B=∠C=45°,∴△ABD与△ACD均为等腰直角三角形,∴AD=BD=CD,∠DAC=∠B=45°,∵BE=AF,∴△BED≌△AFD,∴∠BDE=∠ADF,又∵∠BDE+∠EDA=90°,∴∠EDF=∠ADF+∠EDA=90°,即ED⊥DF.2.证明　作EF⊥AC于F,∵EA=EC,∴AF=FC=AC,∵AC=2AB,∴AF=AB,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△BAE和△FAE中,∴△BAE≌△FAE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°.∴EB⊥AB.3.解析　(1)如图,过P点作PF∥AC交BC于F,∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ,∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ,在△PFD与△QCD中,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=DQ.(2)存在,ED是长度保持不变的线段.理由:由(1)得△PFD≌△QCD,∴DF=CD,∴FD=FC,由(1)知BP=PF,∵PE⊥BF,∴EF=BF,∴ED=FD+EF=FC+BF=BC,∴ED为定值.4.证明　(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,∵DG⊥AC,∴∠AGD=90°,∴∠ADG=30°,∴AG=AD.(2)过点D作DH∥BC交AC于点H,∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=∠A=60°,∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,∴△ADH是等边三角形,∴DH=AD,在△DHF和△ECF中,∴△DHF≌△ECF(ASA),∴DH=CE,∴CE=AD.5.证明　延长CD交AB的延长线于点P,如图所示.由题意知∠1=∠2,∠ADP=∠ADC=90°.在△ADP和△ADC中,∴△ADP≌△ADC(ASA),∴∠P=∠ACD.∵DE∥AP,∴∠4=∠P,∠1=∠3,∴∠4=∠ACD,∠2=∠3,∴DE=CE,AE=DE.∴AE=CE.6.证明　如图,延长AD到G,使得DG=AD,连接BG.∵AD为BC边上的中线,∴CD=BD.在△ADC和△GDB中,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG 且∠CAD=∠G,∵AE=EF,∴∠EFA=∠EAF,∴∠G=∠EFA,∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∵AC=BG,∴BF=AC.7.证明　在BC上截取CE,使CE=AC,连接DE.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE,在△ACD与△ECD中,∴△ACD≌△ECD(SAS),∴AD=DE,∠A=∠CED,∵∠A=2∠B,∴∠CED=2∠B,∵∠CED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴DE=BE,∴AD=EB,∴AC+AD=CE+BE=BC.8.解析　(1)证明:如图1,延长BE到F,使BF=BC,连接FC,∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=20°,∵BF=BC,∴∠F=∠BCF=80°,∴∠FCE=40°=∠ACB,在BC上截取CF',使CF'=CF,连接EF',在△FCE与△F'CE中,∴△FCE≌△F'CE,∴EF=EF',∠EF'C=∠F=80°,∴∠BF'E=180°-80°=100°,∴∠A=∠BF'E,在△ABE与△F'BE中,∴△ABE≌△F'BE,∴AE=EF',∴AE=EF,∴BC=BF=BE+EF=BE+AE.   图1            图2(2)结论:BC=AB+CE=AC+CE.理由:如图2,在BC上截取BA',使BA'=BA,连接EA',∵∠A=108°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=36°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=18°,在△ABE与△A'BE中,∴△ABE≌△A'BE,∴∠BA'E=∠A=108°,∴∠EA'C=72°,∴∠A'EC=72°,∴∠A'EC=∠CA'E,∴CE=CA',∴BC=BA'+A'C=AB+EC=AC+EC.