冲刺2022年中考数学最后一练（圆的综合计算与证明）

冲刺2022年中考数学高频考点最后一练（圆的综合计算与证明）

一、   与切线有关的证明与计算

题型一：利用切线性质求角度、长度

1. 如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.

(1)求证：∠ABG＝2∠C；

(2)若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．

2. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.

(1)求证：∠ADC＝∠AOF；

(2)若sin C＝，BD＝8，求EF的长．

题型二：利用切线性质证明平行、相似

1. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P.

(1)求证：DP∥BC；

(2)求证：△ABD∽△DCP；

(3)当AB＝5 cm，AC＝12 cm时，求线段PC的长．

二、   切线的判定

类型一：证明切线

1. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.

求证：AE与⊙O相切于点A；

2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)请按如下要求完成尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)

①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；

③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M.

(2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙O的切线；

(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

类型二：利用切线判定求长度

1. 如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.

若 AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．

2. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)求线段OF的长度．

三：求阴影部分面积

1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F.

(1)求证：直线DF是⊙O的切线；

(2)求证：BC2＝4CF·AC；

(3)若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE＋∠AFO＝180°.

(1)求证：EM是⊙O的切线；

(2)若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)