山东省济宁市济宁高新区洸河中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022—2023学年度第一学期期中质量检测

九年级数学试卷

第I卷（选择题共30分）

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ）

A．   B．   C．   D．

2．若点，都在反比例函数的图象上，则的大小比较是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（    ）

A．   B．   C．  D．

4．在中，，则AB的值为（    ）

A．8  B．9  C．10  D．12

5．函数中自变量x的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

6．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（    ）

A．图象的对称轴是直线   B．图象与y轴交于点

C．图象的顶点坐标为   D．当时，y的值随x值的增大而减小

7．二次函数的图象平移后，得到二次函数图象，平移方法是（    ）

A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位 

B．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 

C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 

D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位

8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是，若，则此斜坡的水平距离AC为（    ）

A．75cm   B．50cm   C．30cm   D．45cm

9．（3分）若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）

A．  B． C． D．

10．如图所示，是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（    ）

A．①②    B．②③    C．①②④   D．②③④

第Ⅱ卷（非选择题70分）

二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．已知函数是二次函数，则__________．

12．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为________海里（结果保留根号）．

13．抛物线交x轴于，则方程的根为________．

14．关于x的二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是_____．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象在第一象限的一点，连结OA并延长使，过点B作轴，交反比例函数图象于点D，连结AD，且，则k的值为_______．

三、解答题（共8小题，满分55分）

16.（4分）

17．（5分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点为．

（1）求反比例函数函数表达式；

（2）根据图象，直接写出当时，反比例函数的y取值范围．

18．（6分）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：）．

19．（6分）如图所示，某公园湖心岛上有一棵大树，大树底部无法到达，为了知道大树AB的高度，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在D处测得大树顶端A的仰角为23°，在C处测得大树顶端A的仰角为35°，测得米，图中D、C、B三点共线，且．根据测量数据，请求出大树AB的高度．（参考数据：）

20．（6分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．

（1）已知图象的顶点坐标为，且过点；

（2）已知图象经过点，且对称轴为直线．

21．（6分）某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）求该茶商每天的最大利润．

22．（7分）如图，点和是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式．

（2）观察图象，直接写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围．

（3）求的面积．

23．（7分）已知二次函数（其中a是常数）的图象经过点，

（1）求a的值；

（2）求该抛物线的对称轴；

（3）当时，求m的取值范围．

24．（8分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．

（1）求m的值及抛物线的对称轴．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．

2022—2023学年度第一学期期中质量检测

九年级数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．D 【解答】解：A．，是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不符合题意；

B．，是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不符合题意；

C．，y是的反比例函数，故该选项不符合题意；

D．是反比例函数，故该选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．

2．B 【解答】解：∵反比例函数，k=8＞0，

∴函数图象的两个分支分别位于一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

∵-1＜0＜2＜4，

∴位于第三象限，

∴，

∴位于第一象限，

∴，

∵1＜4，

∴，

∴．

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

3．C 【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，

∴，

∴，

故选：C．

【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

4．C 【解答】解：∵，

设，

∴，∴，解得，∴．

故选：C．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

5．C 【解答】解：由题意得：x-1＞0，∴x＞1，

故选：C．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握函数关系式的意义是解题的关键．

6．D 【解答】解：∵，

∴函数的对称轴为直线，故选项A错误，不符合题意；

顶点坐标为，故选项C错误，不符合题意；

当时，，

故图象与y轴交于点，选项B错误，不符合题意；

当时，y的值随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数顶点式得到函数的性质是解题的关键．

7．B 【解答】解：抛物线的顶点坐标是．

抛物线的顶点坐标是．

则由二次函数的图象向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．

8．A 【解答】解：在中， ，

则，

解得：，

则斜坡的水平距离AC为75cm，

故选：A．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．

9．D 【解答】解：∵，

∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，

∵，

∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．

10．C 【解答】解：∵抛物线开口向上，∴，

∵抛物线对称轴为直线，

∴，②正确．

∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，

∴，①正确．

∵抛物线经过，对称轴为直线，

∴抛物线经过，

∴时，，③错误．

∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，

∴x＜-1时，y随x增大而减小，

∵-5＜-4＜-1，

∴，④正确．

故选：C．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．-2 【解答】解：∵函数是二次函数，

∴，

解得．

故答案为：-2．

【点评】本题考查的是二次函数的定义，在解答此题时要注意二次项系数不为0这一关键条件．

12．  【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：

由题意得：∠APC=30°，∠BPC=45°，PA=50海里，

在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°，

∴海里，海里，

在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，

∴海里，海里，

故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

13． 【解答】解：∵抛物线交x轴于，

∴，

∴方程的根为，

故答案为：．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

14．且 【解答】解：∵关于x的二次函数与x轴有两个不同的交点，

∴关于x的一元二次方程有两个不同的解，

∴，且m-2≠0，

解得：m＜3且m≠2．

故答案为：m＜3且m≠2．

【点评】本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与x轴的交点横坐标就是y=0时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为0，这是同学们解题时容易忽略的点．

15．4  【分析】连接OD，过点A作AE⊥x轴于点E，根据AB=OA，可得S△AOD=S△ABD=3，再根据反比例函数k的几何意义可得，易证，根据相似三角形的性质可得，列方程求解即可．

【解答】解：连接OD，过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：

∵AB=OA，∴S△AOD=S△ABD=3，

∵点A，D在反比例函数图象上，且BC⊥x轴，

∴，∴，

∵∠AEO=∠BCO=90°，∵∠AOE=∠BOC，

∴△AOE∽△BOC，∴OA：OB=1：2，

∴，∴，

解得k=4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，涉及相似三角形的性质和判定，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

三、解答题（共8小题，满分55分）

16.

17．【解答】解：（1）将点代入y=2x，∴m=4，

∴点P坐标为，

将点代入，

∴k=2×4=8，

∴反比例函数为；

（2）当-4＜x＜-1时，反比例函数图象在第三象限，

∵x=-4时，，当x=-1时，，

∴当-4＜x＜-1时，y的取值范围是-8＜y＜-2．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答问题．

18．【解答】解：由题意得：

∠CAD=45°，∠CBD=30°，

在Rt△ACD中，CD=1000m，

∴，

在Rt△BCD中，，

∴，

∴这条江的宽度AB约为732m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

19．【解答】解：设BC=x米，则米，

在Rt△ABC中，，

解得AB=0.70x，

在Rt△ABD中，，

解得x=13.5，

∴AB=9.45米，

∴大树AB的高度约为9.45米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．

20．【解答】解：（1）∵图象的顶点坐标为，且过点，

∴设二次函数的解析式为：，

把代入得：，

解得：a=2，

故二次函数的解析式为：；

（2）设二次函数的解析式为，把，对称轴为直线x=1代入得：

，解得：，

故二次函数解析式为：．

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式，正确掌握二次函数解析式求法是解题关键．

21．【解答】解：（1）根据题意得，y=60-2x；

（2）设茶商每天的利润为w元，根据题意得， ，

∵a=-2＜0，

∴当x=5时， 元，

答：该茶商每天的最大利润为1250元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．

22．【解答】解：（1）将代入得m=-8，

∴反比例函数为，

将代入得n=2，

将和代入y=kx+b得，

解得，

∴一次函数为y=-x-2；

（2）反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围是x＞2，-4＜x＜0

（3）把y=0代入y=-x-2，解得x=-2．

∴点C（-2，0）．

∴OC=2．

∴．

【点评】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

23．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点，

∴，∴a=-3；

（2）∵a=-3，

∴，

∴该抛物线的对称轴为；

（3）由（2）知关于对称轴的对称点为，

∴当n＜5时，m的取值范围为-2＜m＜4．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

24．【解答】解：（1）把代入得，

解得m=4，

∴抛物线解析式为，

∵，

∴抛物线的对称轴为直线x=2；

（3）当y=0时，，解得，∴，

当y=0时， ，则，

连接BC交直线x=2于点P，如图，

∵PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC=BC，

∴此时PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把分别代入得，

∴直线BC的解析式为y=-x+5，

当x=2时，y=-x+5=3，

∴P点坐标为．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．