专题26.11 “设参求值”解决反比例函数问题（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.11 “设参求值”解决反比例函数问题

（知识讲解）

函数中设参求值问题是中考重要考点，多以填空和选择题形式出现在考卷中，学生刚学习时往往无从下手，为了让学生能掌握其解题方法，粗略理出其基本思路：

①设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼找相等关系➼➼➼➼建立方程➼➼➼➼求值；

②设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼消参数求值；

在解题过程中，有时还要根据题的实情情况设置多个参数进行解决问题。

本专题汇编了一些典型设参求值，学生通过训练，必将克服学生畏难情绪，提升学生解此类题的自信心。

【典型例题】

类型一、设参数求面积消参数解决问题

1． 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（    ）

A．3 B．4 C． D．5

【答案】C

【分析】设P的坐标是 ，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．

解： ∵点P在上，

∴设P的坐标是．

∵PA⊥x轴，

∴A的横坐标是p．

∵A在上，

∴A的坐标是．

∵PB⊥y轴，

∴B的纵坐标是．

∵B在上，

∴，解得：x=﹣2p．

∴B的坐标是（﹣2p，）．

∴．

∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，

∴PA⊥PB．

∴△PAB的面积是：．

故选C．

举一反三：

【变式1】如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】A

解：设P（0，b），

∵直线AB∥x轴，

∴A，B两点的纵坐标都为b，

而点A在反比例函数y=﹣的图象上，

∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），

又∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），

∴AB=﹣（﹣）=，

∴S△ABC=•AB•OP=•b=3．

故选A．

【变式2】如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图像交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC，则△ABC的面积为_____．

【答案】

【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案．

解：设点P坐标为（a，0）

则点A坐标为（a，），B点坐标为（a，﹣）

=

=，

故答案为：

【点拨】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．

类型二、设参数建立关于参数的方程解决问题

2． 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】B

【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.

解：把x=1代入得：y=1,

∴A(1,1),把x=2代入得：y=,

∴B(2, ),

∵AC//BD// y轴,

∴C(1,k),D(2,)

∴AC=k-1,BD=-，

∴S△OAC=（k-1）×1,

S△ABD= (-)×1,

又∵△OAC与△ABD的面积之和为，

∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3;

故答案为B.

【点拨】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.

举一反三：

【变式1】如图，的顶点在轴正半轴上，反比例函数在第一象限经过点，与交于点，且，若的面积为9，则的值是______．

【答案】12

【分析】作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N．设AM＝2m，只要证明S梯形AMND＝S△AOD＝9，由此构建方程即可解决问题．

解：作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N，设AM＝2m，

∴OM＝

∵四边形OACB是平行四边形，BD＝BC，

∴，

∵

∴，

∴，

∴k＝12，

故答案为：12．

【点拨】本题考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

【变式2】如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点．

(1)  若，则________．

(2)  当时，若点的横坐标是1，则线段________．

(3)  若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．

【答案】(1)－6；    (2)；      (3)存在，

【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得，，由于，则，即可得出k的值；

（2）由可得出，再由可得出，即可得出的长度；

（3）如图，作轴于点，于点，证，得出D点的坐标即可得出的值．

解：（1）如图：AB交y轴于M，

∵点是函数，点是函数，

∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：

，,

∵,

∴,

∴；

故答案为：；

（2）由题意得：

当时，，

∴，

当时，，

当时，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：；

（3）存在，点在点上方，

如图，作轴于点，于点，

设，则，则，，

∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

解得．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．

类型三、设多个参数解决问题

3．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）

【答案】a

【分析】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．

  解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），

∵点P为曲线C1上的任意一点，

∴mn＝a，

＝mnbb（m）（n）

＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）

＝mn﹣bmn+b

      a．

故答案为：a．

【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．

举一反三：

【变式1】如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________.

【答案】.

【分析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可.

解:设，

∵，

∴，，

∴，

∵双曲线经过矩形的顶点，

∴，

∴，

∵双曲线经过点，

∴

∴双曲线，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为.

【点拨】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．

【变式2】如图，A、B是反比例函数的图像上关于原点O对称的两点，点C是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若点C的坐标是（0，﹣2），且△ABD的面积为5，求k的值和B点坐标．

【答案】，，

【分析】设，由题意可知，再由，则有，即可求的值；再由点是线段的中点，可得，所以，求出，即可求点坐标．

  解：设，

   、关于原点对称，

，

，，

点在反比例函数的图像上，

，

，

   ；

点是线段的中点，

，

，

，

，

，

   ，

   ，

，．

【点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义，灵活运用三角形中点与三角形面积的关系是解题的关键．