1.4不等式的性质及一元二次不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.4  不等式的性质及一元二次不等式

【题型解读】

【知识储备】

1．不等式的基本性质

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 (a，b∈R)

(2)作商法 (a∈R，b>0)

3．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．

4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

5.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

【题型精讲】

【题型一　不等式性质的应用】

必备技巧  判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

(2)利用特殊值法排除错误答案．

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

例1　（2022·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（       ）

A．< B．a2>b2

C．> D．a|c|>b|c|

例2　（2022·浙江模拟）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1. （2022·北京海淀·二模）已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（多选题）（2022·福建三明·模拟预测）设，且，则（       ）

A． B． C． D．

【题型二　比较数（式）的大小】

必备技巧  比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

例3　（2022·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.

例4　（2022·湖南·高三课时练习）比较与的大小．

例5　（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【题型精练】

1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（       ）

A． B．

C． D．

2. （2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

3. （2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则(       )

A． B． C． D．

【题型三　不等式性质的应用】

必备技巧  不等式性质的应用

求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．

例6　（多选）（2022·山东·模拟预测）已知实数x，y满足则（       ）

A．的取值范围为 B．的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

例7　（2022·江西·二模）已知，，则6x＋5y的取值范围为______．

【题型精练】

1．（2021·东北三省四市联考）已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围．

2. （2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（       ）

A．(1，3)        B．         C．       D．

【题型四  一元二次不等式的解法】

必备技巧  含参的不等式解法

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

例8　（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

例9　（2022·河北唐山·高三月考）已知关于x的不等式：．

(1)当时，解此不等式；

(2)当时，解此不等式．

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于的不等式：.

【题型五  一元二次不等式成立求参】

必备技巧  一元二次不等式求参

(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．

(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．

对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；

对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．

例10　（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（       ）

A． B． C． D．

例11　（2022·宁夏·隆德县中学高三阶段练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（       ）

A． B．   C．）D．

例12  （2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例13  （2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　

A．，， B．，，

C．，， D．

【题型精练】

1．（2022·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2. （2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． 

C．                     D．

3. （2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C．                     D．

4. （2022·天津·耀华中学高三期中）若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是（       ）

A． B．

C． D．

【题型六  一元二次方程根的分布】

必备技巧  一元二次方程根的分布情况

表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)

表二：(两根与k的大小比较)

表三：(根在区间上的分布)

　　根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是

(1)a>0时，

(2)a<0时，

对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：

(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得<m<2即为所求；

(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．

例14　（2022·全国·专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例15　（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例16  （2022·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【题型精练】

1．（2021·江苏模拟）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（       ）.

A． B．

C． D．

2. （2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

3.（2022·全国·单元测试）为何值时，关于的方程 的两根：

（1）为正数根；

（2）为异号根且负根绝对值大于正根；

（3）都大于1；

（4）一根大于2，一根小于2；

（5）两根在0，2之间.