湖南省衡阳市2021-2022学年高一数学上学期期末考试试卷（Word版附解析）

2021—2022学年度衡阳市高中一年级质量检测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数的换底公式可求得的值，再利用指数的运算性质可求得结果.

【详解】因为，可得，故.

故选：A

2. “为奇数”是“函数为奇函数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇函数定义证明出充分性，举出反例得到必要性不成立.

【详解】当为奇数时，定义域关于原点对称，，故函数为奇函数，而为奇函数，但不是奇数，综上：“为奇数”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A

3. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由同角三角函数的商数、平方关系，将条件化为，再根据二倍角余弦公式求目标式的值.

【详解】由题设，，

又.

故选：B.

4. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求解一元二次不等式，然后利用补集的概念即可求解.

【详解】由题意，或，所以集合或，所以.

故选：A

5. 若，设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数、对数、幂函数的性质判断大小关系即可.

【详解】由题设，，

所以.

故选：B

6. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A. 2 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由题待定系数得，进而根据图像平移变换得，再计算函数值即可.

【详解】解：根据题意得，所以，故，

由时，得，解得.

所以，

所以，

所以

故选：B

7. 已知函数，若且，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的性质可得且，将目标式化为，应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.

【详解】由对数函数的性质，且且，可知：且，

所以，当且仅当时等号成立.

故选：C

8. 设函数，则满足的的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】研究出分段函数的单调性，利用单调性解不等式.

【详解】时，单调递增，故，当时，由对勾函数得：在单调递增，且，综上：单调递增，因，所以，即，设，可知单调递增，且，故，

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知角的终边在直线上，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线方程判断所在象限且，并求出角的大小，根据目标式，讨论的位置求函数值即可.

【详解】由题设，且在第一或三象限，则，，

又，，

当在第一象限时，；

当在第三象限时，.

故选：BC

10. 已知、、，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】A、C特殊值法，令即可排除；B由不等式性质判断；D应用基本不等式判断即可.

【详解】A：当时，，错误；

B：由，则，故，正确；

C：当时，，错误；

D：由，又，则，正确；

故选：BD

11. 若函数，则（    ）

A. 函数为偶函数 B. 函数在定义域上单调递增

C. 函数的值域为 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A，分别判断与时，函数与的单调性，从而得函数的单调性，分析与对应的取值范围，计算得，并判断与的关系.

【详解】因为函数定义域为，，所以函数为偶函数，A正确；当时，单调递减，单调递增，所以函数单调递减，当时，单调递增，单调递减，所以函数单调递增，B错误；当时，，所以，当时，，所以，所以函数的值域为，C正确；，D正确.

故选：ACD

12. 若函数的最小值为，则的值可为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论与区间的位置关系，求的值.

【详解】由题设，，

令，则，其开口向上且对称轴为，

当时，，则；

当时，，则或(舍)；

当时，，则不合前提；

综上，或.

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的最小正周期是_____.

【答案】

【解析】

分析】本题可根据三角函数周期计算公式得出结果.

【详解】函数的最小正周期，

故答案为：.

14. 若方程的解在区间上，则整数______．

【答案】2

【解析】

【分析】令判断单调性，应用零点存在定理判断零点所在区间，结合题设即可求k值.

【详解】令，显然在上递增，又，，

所以函数的零点在内，故.

故答案为：2.

15. ，使得关于不等式成立，则的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】将不等式右边应用辅助角公式得，由正弦函数的性质求上的值域，再由不等式能成立求的最小值.

【详解】令，

所以时，，故，

又使成立，故.

所以的最小值是.

故答案为：

16. 函数，若，则______，______．

【答案】    ①. ##0.5    ②.

【解析】

【分析】由题设可得即可求，根据已知解析式求的解析式，进而可得，即可求目标式的值.

【详解】由题设，，又，则，可得，

而，

所以，

故.

故答案为：，.

【点睛】关键点点睛：求各函数值之和时，首先需要证明，再结合目标式的特征求和即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，．

（1）当时，求A的非空真子集的个数；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）126    （2）

【解析】

【分析】（1）利用，求出，共有7个元素，进而求出非空真子集的个数；（2）根据并集结果得到，先得到，进而列出不等式组，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为；

【小问2详解】

因为，所以，

因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为.

18. 已知函数．

（1）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（2）是否存在常数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）在上递减，证明见解析；   

（2）存在使得为奇函数.

【解析】

【分析】（1）根据解析式及指数函数的性质判断单调性，再应用单调性的定义证明即可.

（2）假设存在使为奇函数，利用奇函数的性质求，即可知存在性．

【小问1详解】

在上递减，证明如下：

在内任取，，使，

则．

由于，知：，则，，，

所以，即，

故上递减.

【小问2详解】

函数的定义域为，若存在常数使为奇函数，

所以由，可得，解得，

因此存在，使得为奇函数．

19. 如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形，且其面积为．（注：靠墙的部分不用彩带）

（1）要使围成四个矩形的彩带总长不超过m，求的取值范围；

（2）当围成四个矩形的彩带总长最小时，求和的值，并求彩带总长的最小值．

【答案】（1）；   

（2）；；最小值为

【解析】

【分析】（1）设长为m，长为m，列关于的等式，表示出彩带总长，计算对应的时对应的值，从而得的范围，即的范围；（2）利用基本不等式求解彩带总长的最小值，计算出此时的值，即得和的值.

【小问1详解】

设长为m，长为m，由题意得，则四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，又，可解得或，所以得的范围为，即的取值范围为

【小问2详解】

四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，此时，则的长为，的长为，彩带总长的最小值为.

20. 已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求使成立的的取值集合．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，解不等式可得函数的单调递减区间；

（2）由可得出，解之即可得解.

【小问1详解】

解：

，

由，解得，

所以，函数的单调递减区间为.

【小问2详解】

解：由可得，可得，

解得，

所以，使成立的的取值集合为.

21. 如图所示，已知直线，，并交于点，交于点，是上一定点，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，设．

（1）若，试比较△与△面积的大小；

（2）若，，求△与△面积之和的最小值．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设易得△△且相似比为，讨论判断△与△面积的大小关系；

（2）由图知，结合（1）求相关线段的长度，进而得到面积关于的表达式，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件.

【小问1详解】

由，，则，又，

所以△、△中，即，，

所以△△，相似比为，

当，即时，△面积比△大；

当，即时，△、△面积相等；

当，即时，△面积比△小；

【小问2详解】

由题设，，由（1）知：，，

所以，又，

故，当且仅当时等号成立，

所以△与△面积之和的最小值为.

22. 已知函数是偶函数．

（1）求的值；

（2）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据为偶函数，有可求出的值.
(2)函数与的图象有且只有一个公共点,即有且只有一个解，且，然后换元转化为方程在有且只有一个实根，根据二次方程根的分布求解.

【小问1详解】

解：因为为偶函数.

所以，即.

所以，解得.

所以

【小问2详解】

解：由已知，方程有且只有一个解.

所以有且只有一个解，且.

整理得.

令，则方程在有且只有一个实根.

当时，，满足题意.

当时，设方程对应的二次函数为.

抛物线开口向上，对称轴，且，此时方程必有一个正实数根，满足.

当时，抛物线开口向下，对称轴，且，故，解得或.

综上，实数的取值范围是.