山东省烟台市莱州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022-2023学年度第一学期期中学业水平检测

九年级数学试题

一、选择题（本题共10个小题，每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上）

1．在中，，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．下列说法中，正确的有（    ）个．

①为锐角，则；②；③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形；④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤；⑥当的三边长扩大为2倍时，则的值也相应扩大2倍．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，中，，，，若用科学计算器求的度牧，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（    ）．

A．tan  2  ÷  3  =  B．tan  2  ÷  3  DMS  =

C．2ndF  tan  (  2  ÷  3  )  = D．2ndF  tan  (  2  ÷  3  )  =  DMS

4．关于函数的图象，下列叙述正确的是（    ）．

A．的值越大，开口越大  B．的绝对值越大，开口越大

C．的绝对值越大，开口越小 D．的值越小，开口越小

5．若点，在同一个函数图象上，这个函数可能为（    ）．

A．  B．

C．  D．

6．如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为（    ）．

A．200米 B．米 C．米 D．米

7．已知二次函数（、、为常数，且）的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（    ）．

A． B． C． D．

8．下列选项中，阴影部分面积最小的是（    ）

A． B． C． D．

9．将函数的图象向左平移1个单位，平移后的图象过点，，，则、、的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

10．如图是抛物线（、、为常数，且）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点．下列结论：

①；②；③；④抛物线与x轴的另一个交点是；⑤当时，有；⑥（实数）其中正确的是（    ）．

A．①②③⑥ B．①③④ C．①③⑤⑥ D．②④⑤

二、填空题（共6个小题）

11．函数的自变量的取值范围是______．

12．如图，在中，，是AB的中点，过点作AB的垂线交AC于点，，，则______．

13．如图，在边长为1的正方形网格中，点B、C、D在格点上，连接BD并延长，交网格线于点，则______．

14．抛物线开口向______，有最______点，顶点坐标是______．

15．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是______．

16．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为______（不用写x的取值范围）．

三、计算

17．

18．如图，AD是的中线，，，．求：

（1）BC的长；

（2）∠ADC的正弦值．

19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于B，C两点，与轴交于点．点的坐标是．

（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时，的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

20．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与轴相交于点．已知，．

（1）求，对应的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x<0时，不等式的解集．

21．海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A处海里的D处拦截到该可疑船只．

（1）求点A到直线CB的距离；

（2）若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：）

22．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示，前20天，y与x是正比例函数关系；从第20天开始，y与x是反比例函数关系．

（1）求y与x的关系式；

（2）研究表明，体内抗体浓度不低于70微克/ml且持续时间超过72天效果最佳．此次注射能否达到最佳效果？

23．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点C（0，5）（长度单位：m）

（1）直接写出c的值；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？

（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．

24．已知抛物线（）过点P（3，0），Q（1，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角△ABC．

①如图，若点A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②点C能否落在抛物线上，若能求点C的坐标，若不能说明理由．

2022－2023学年度第一学期期中学业水平检测

九年级数学试题参考答案及评分建议

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．x≥-1且x≠2    12．     13．   14．下，高，（1,-4）   15．　-1     

16．y＝x2－x＋

三、解答题（本题共8个小题,共72分）

17．（满分4分）

解：原式＝2×−××＋（）…………………………………2分

＝−＋…………………………………………………………………………3分

＝。  ………………………………………………………………………………4分

18.（满分6分）

解：（1）如图，过点A作AH⊥BC,垂足为H。

在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC=，

∴CH=1，  ………………………………………………………………………………1分

∴AH=＝1  ……………………………………………………………… 2分

在Rt△ABH中，

∵tanB＝＝， 

∴BH＝5，

∴BC＝BH+CH＝6．……………………………………………………………………3分

  （2）∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD= BC，

∴CD=3，

∴DH＝CD－CH＝2，……………………………………………………………………4分

∴AD= ＝ …… …………………………………………………………5分  

在Rt△ADH中，sin∠ADH==。

∴∠ADC的正弦值为。 ………………………………………………………………6分

19.（满分7分）

解：（1）把B（1，0）代入y=ax2+4x-3，

得0=a+4-3，解得a=-1，  ……………………………1分

∴y= -x+4x-3=-（x-2）+1，…………………………2分

∴A（2，1），……………………………………………3分

∵对称轴为直线x=2，B，C关于x=2对称，

∴C（3，0）， …………………………………………………………………………4分

∴当y＞0时，1＜x＜3．  ……………………………………………………………5分

（2）∵D（0，-3），A（2，1）

∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y= -（x-4）2＋5＝-x+8x-11。………………………………………7分

20．（满分9分）

解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于D，

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝

∴OD＝2，即点D（0，2），…………………………………………………………1分

把点D（0，2），C（3，0）代入直线y＝ax+b得，

解得

∴直线的关系式为； …………………………………………………3分

把A（m,4），B（6，n）代入得， 

m＝-3，n＝-2，

∴A（-3，4），B（6，-2）， ………………………………………………………5分

把A（-3，4）代入y2＝

∴k＝-3×4＝-12，

∴反比例函数的关系式为y2＝-；  ……………………………………………6分

（2）由S△AOB=S△AOC+S△BOC＝×3×4＋×3×2＝9。……………………………8分

（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜-3。 …………9分

21.（满分12分）

解：（1）过点A作AH⊥CB的延长线于点H，如图．

由题意得∠CAB=90°-60°=30°，

∠ABC=90°+30°=120°，

∴∠C=180°-30°-120°=30°，………………………2分

∴AH=AC=×120=60（海里）。……………………3分

答：点A到直线CB的距离是60海里；………………4分

（2）海警船能在1小时内拦截到可疑船只，……………………………………5分

理由：在Rt△ADH中，AD=60海里，AH=60海里，

∴DH==60（海里）， …………………………………………………6分

∵∠ABH=180°―90°―30°=60°，

在Rt△ABH中，∠BAH=90°－∠ABH=30°，

∴BH＝AB，

∴AB＝2BH，……………………………………………………………………………8分

∵BH＋AH＝AB，

∴BH＋602＝（2BH），

∴BH＝20，

∴BD＝DH－BH＝（60-20）海里， …………………………………………10分

∵海警船的速度是30海里/小时，

∴（60-20）÷30≈（60－20×1.73）÷30≈0.9（小时）＜1小时。……11分

答：海警船能在1小时内拦截到可疑船只。 …………………………………12分

22. （满分10分）

解：（1）设当0≤x≤20时，y与x之间的函数关系式是y＝kx（k≠0）,

图象过（20，280），则20k=280，

解得k=14，……………………………………………………2分

y与x之间的函数关系式是：y=14x, ………………………3分

设当x＞20时，y与x之间的函数关系式是y＝（m≠0），

图象过（20，280），解得：m＝5600，

y与x之间的函数关系式是

y＝；…………………………………………………………………………5分

∴y=…………………………………………………………6分

（2）当y=70时，70=14x,

解得x=5，…………………………………………………………………………7分

70=，

解得x＝80，………………………………………………………………………8分

80-5＝75(天)＞72天 ……………………………………………………………9分

所以，此次注射能达到最佳效果。…………………………………………………10分

 23．（满分12分）

解：（1）抛物线的解析式为过顶点C（0，5），

∴c=5；……………………………………………………………………………………1分

（2）由（1）知，OC=5，

令y=0，即，解得x＝10，x＝-10；……………………………2分

∴A（-10，0），B（10，0）；

∴AB=10－（－10）＝20；

∴地毯的总长度为：AB+2OC＝20+2×5＝30（m），……………………………3分

∴30×1.5×20＝900(元) 。………………………………………………………………4分

答：购买地毯需要900元。 ……………………………………………………………5分

（3）可设G的坐标为（m, −m2＋5），……………………………………6分

则EF=2m,GF=，

由已知得2（EF＋GF）＝27.5，

即，

解得m＝5，m＝35（不合题意，舍去），……………………………………8分

把m＝5代入，，

∴点G的坐标是（5，3.75），E（-5，0）。 ………………………………9分

设直线EG的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）,

解得  ………………………………………………………………11分

∴斜面EG在这个坐标系中的解析式为：y=0.375x＋1.875（0≤x≤5）。…12分

24．（满分12分）

解： （1）将P（3，0），Q（1，4）代入y=ax2+c,

∴

解得

∴；……………………………………2分

（2）①∵点A与点Q重合，

∴A（1，4），

∵AB⊥x轴，

∴AB=4，……………………………………………………………………3分

∵△ABC是AB为斜边的等腰直角三角形，

∴C点到AB的距离为2，…………………………………………………4分

∵抛物线的对称轴为y轴，又A点的横坐标为1，

∴C点到抛物线对称轴的距离为1；………………………………………5分

②点C能落在抛物线上，理由如下；

设直线PQ的解析式为y=kx+b, 将P（3，0），Q（1，4）代入y=kx+b,

解得

∴y＝-2x＋6，………………………………………………………………7分

设A（t,-2t＋6）（0＜t＜3），

∴AB=-2t＋6，

∴C点到AB的距离为（-2t＋6）＝-t＋3，

∴C（2t－3，-t＋3），……………………………………………………10分

将点C代入，

可得-（-2t-3）2＋＝-t＋3，

解得t＝3（舍去）或t＝，………………………………………………11分

∴C（-2，）。……………………………………………………………12分