2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题（含答案）

这是一份2023届江苏省南通市高三上学期期中数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了本试卷共4页，包含［单选题，答题时请用0，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年度第一学期期中学情检测高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，，若，则A.   B.   C.   D.2.已知复数，且是纯虚数，则A.   B.0   C.2   D.3.已知角满足，则A.   B.   C.   D.4.随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是A.64m   B.80m   C.100m   D.40m5.已知等差数列的公差不为0，且，则集合的子集个数是A.   B.9   C.1024   D.5126.在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是A.   B.   C.   D.7.已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是A.   B.C.    D.8.已知，，，则A.   B.   C.   D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数的最小正周期满足，且，是的一个对称中心，则A.        B.的值域是C.是的一条对称轴   D.是偶函数10.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则A.驽马第七日行九十四里   B.第七日良马先至齐C.第八日二马相逢     D.二马相逢时良马行一千三百九十五里11.已知实数x，y满足，则A.   B.C.   D.12.设定义在上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则A.    B.的图象关于直线对称C.   D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.在中，三边长是公差为2的等差数列，若是钝角三角形，则其最短边长可以为______________.（写出一个满足条件的值即可）14.已知，则______________.15.如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且，，则该双曲线的离心率是______________.16.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球O上，则当球O的体积取得最小值时，______________，此时球心O到平面PBD的距离是______________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.（1）求；（2）若边AB上的高为1，求的面积.18.（12分）已知为正项数列的前n项和，且，当时，.（1）证明为等差数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.（12分）如图所示，在四棱锥中，是等边三角形，，，，.（1）记平面与平面ABE的交线为，证明：；（2）求二面角的余弦值.20.（12分）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.（1）若点，求AB的长；（2）从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.21.（12分）已知，其极小值为-4.（1）求的值；（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：.22.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线过定点.          2022~2023学年度第一学期高三期中学情检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.AC10.AD11.BCD  12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.内的任意值均可14.15.216.3，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）解：（1）因为，所以，在中，由正弦定理，所以，所以，所以，因为，所以.在中，，所以，所以，所以，所以，所以.（2）因为，，所以.因为边上的高，所以.在中，，所以.在中，由正弦定理，所以.所以的面积.另解：过点C向AB作垂线，垂足为H.在中，，，所以，.在中，，，所以，所以，所以的面积.18.（12分）解：（1）因为，所以，所以为等差数列.因为，所以，所以，所以当时，，当时，，所以.（2）因为，所以.因为，所以.所以.19.（12分）解：（1）在四棱锥中，，又因为平面ABE，平面ABE，所以平面ABE.又因为平面ACD与平面ABE的交线为，平面ACD，所以.（2）因为，，所以.在直角中，因为，，所以.在直角中，因为，，所以.取BC的中点O，连接OA，OD，在等边中，，.在等腰直角中，，.在中，因为，，，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，所以，，所以.设为平面ABE的法向量，则，，得，，取，所以为平面ABE的一个法向量.因为为平面DBE的法向量，所以，所以二面角的余弦值为.20.（12分）解：（1）设，.因为：，所以，所以，所以抛物线C在A处的切线方程是，即.同理可得抛物线在处的切线方程是.由解得因为，所以所以.（2）①→②：因为，，所以，.因为直线AB过抛物线C的焦点，所以，所以，所以，所以点P在抛物线C的准线上.②→①：因为点P在抛物线C的准线上，所以，所以.所以，所以，又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，所以直线AB过抛物线C的焦点.21.（12分）【解】（1）因为，所以.当时，，所以单调递增，没有极值，舍去.当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为，舍去当时，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当时，的极小值为.所以.（2）由（1）知，在区间上，，单调递增，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不妨设.下面先证.即证，因为，所以，又因为区间上，单调递减，只要证，又因为，只要证，只要证.设，则，所以单调递增，所以，所以.下面先证.设，因为，在区间上，；在区间上，.设，，因为，所以，所以.设，，因为，所以，所以.因为，所以，所以.22.（12分）【解】（1）方法一：设椭圆的焦距为，则.不妨设，，所以，，所以，解得.因为，所以椭圆的标准方程.方法二：设椭圆的焦距为，则.由解得，，所以椭圆的标准方程.不妨设，.则直线AP的方程为，直线AQ的方程为.令，得，，所以.所以的面积.（2）显然直线AP，AQ斜率都存在.设直线AP的方程为.令，得.设直线的方程为，同理可得.因为，所以，所以.设直线的方程为.由得，所以，，所以，所以，所以解得.所以直线过点.