高中数学1.2 集合间的基本关系优秀同步测试题

1.2  集合间的基本关系

【知识点梳理】

知识点一．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.

记作：

读作：A包含于B(或B包含A).

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.

记作：

读作：A等于B.

图示：

知识点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

知识点二．真子集

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。

记作：AB（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

知识点三．空集

不含有任何元素的集合称为空集，记作：.

规定：空集是任何集合的子集。

结论：（1）（类比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（3）若则（类比，则）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

【题型归纳目录】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

题型二：韦恩图及其应用

题型三：由集合间的关系求参数的范围

题型四：集合间的基本关系

题型五：判断两集合是否相等

题型六：根据两集合相等求参数

题型七：空集的性质

【典型例题】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

例1．（2022·广东·金山中学高一期中）已知集合， 则的真子集有________个；若，则________．

例2．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________

例3．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知集合．

（1）若有两个子集，求的取值范围；

（2）若中至多有两个子集，求的取值范围．

例4．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.

例5．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且．

(1)求实数的值；

(2)写出集合A的所有子集．

例6．（2022·全国·高一课前预习）写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?

例7．（2022·全国·高一课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合．

【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）

1.分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.

2.若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.

题型二：韦恩图及其应用

例8．（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　）

A． B．

C． D．

例9．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ）

A． B． C． D．

例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是(　　)

①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.

A．①③ B．②③

C．③④ D．③⑥

【技巧总结】(Venn图应用)

Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.

题型三：由集合间的关系求参数的范围

例11．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知，，若，则的值为(       )

A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．

例12．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例13．（2022·江苏镇江·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.

例14．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.

例15．（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）已知

(1)若求实数a的取值范围

(2)若，求实数的取值范围

例16．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知.

(1)若是的子集，求实数的值；

(2)若是的子集，求实数的取值范围.

例17．（2022·重庆·高一阶段练习）已知集合．

(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；

(2)若，且，求实数的取值集合．

例18．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，求实数p的取值范围．

例19．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，若，求实数的取值范围．

【技巧总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）

1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示.

2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视.

题型四：集合间的基本关系

例20．（2022·湖南·高一课时练习）已知集合，，，，求集合，，，之间的关系．

例21．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：

(1)，；

(2)，{是的约数}；

(3)，.

例22．（2022·全国·高一课时练习）集合与之间的关系为（       ）

A． B． C． D．不确定

例23．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

例24．（2022·河南南阳·高一阶段练习）若集合，，则、、的关系是（       ）

A． B． C． D．

【技巧总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.

题型五：判断两集合是否相等

例25．（2022·江西新余·高一期末）下列集合与集合相等的是(　　)

A．(1,2022) B．

C． D．{(2022,1)}

例26．（2022·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）例27．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（       ）

A．，

B．，

C．，

D．，

题型六：根据两集合相等求参数

例28．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）集合，则的值为（       ）

A．0 B．1 C．－1 D．±1

例29．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值为（       ）

A．0 B．1 C． D．

例30．（2022·全国·高一课时练习）集合，，若，则______．

例31．（2022·江苏省海头高级中学高一阶段练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则=___________．

例32．（2022·全国·高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．

题型七：空集的性质

例33．（2022·全国·高一课时练习）在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是______．

例34．（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

（多选题）例35．（2022·四川巴中·高一期中）下列关系中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

（多选题）例36．（2022·全国·高一课时练习）下列关系式正确的为(       )

A． B． C． D．

例37．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：

(1)；

(2)恰有一个元素.

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·海南·三亚市崖州区崖城中学高一期中）若，则（       ）

A．  B． C．  D．

2．（2022·安徽·蚌埠二中高一阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（       ）

A．或 B． C．         D．

3．（2022·江西·南城县第二中学高一阶段练习）设A={(x，y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1， 2}，则必有（  ）

A．         B．         C．A=B        D．A∩B=

4．（2022·河南·高一阶段练习）已知集合，，，则（       ）

A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9

5．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）已知集合，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值集合是（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（       ）

A． B．AB=C C．ABC D．BCA

二、多选题

9．（2022·广西·高一阶段练习）已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

10．（2022·福建福州·高一期中）已知集合，集合，则集合可以是（       ）

A． B．

C． D．

11．（2022·河北·石家庄一中高一阶段练习）已知集合，，下列说法正确的是（       ）

A．不存在实数使得

B．当时，

C．当时，

D．存在实数使得

12．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有

A． B． C． D．

三、填空题

13．（2022·全国·高一单元测试）若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是______．

①；       ②；       ③；       ④．

14．（2022·江苏·高一）下列三个命题中

①若A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，则A＝B；

②若M﹣{x|x＝2n﹣1，n∈N}，B＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M＝N；

③若C＝{x|x2﹣x＝0}，D＝{x|x，n∈Z}，则C＝D；

④若P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k，k∈Z}，则P⊆Q．

其中真命题的是_____．

15．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是_______.

16．（2022·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知集合，集合是集合M的含有两个元素的子集，且满足对任意的，都有，这里表示两个数x，y中的较大者，则k的最大值为___________.

四、解答题

17．（2022·四川凉山·高一期末）已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.

18．（2022·全国·高一课时练习）已知集合.

(1)若，，求实数的取值范围；

(2)若，，求实数的取值范围.

19．（2022·上海浦东新·高一期中），.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的取值范围.

20．（2022·河北·石家庄市第三十八中学高一阶段练习）已知集合，，

（1）若A为空集，求实数a的取值范围；

（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.

21．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．

（1）若是的真子集，求的范围；

（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．

22．（2022·全国·高一专题练习）设且，有限集合，其中，若对任意（），都有，则称集合为“含差集合”.

（1）分别判断集合和集合是否是“含差集合”，并说明理由；

（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明.