2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷（二）数学（理）试题含解析

2023届贵州省贵阳第一中学高三上学期高考适应性月考卷（二）数学（理）试题

一、单选题

1．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而得其共轭，即可根据复数的几何意义得对应点的象限.

【详解】由，得，，故在复平面内所对应的点为，在第四象限，

故选:D．

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.

【详解】，

，

所以，

故选：C．

3．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．

【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；

对于B：若，，，则或，故B错误；

对于C：若，，，则或或与相交（不垂直），故C错误；

对于D：由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故D正确；

故选：D．

4．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（    ）

A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺

【答案】A

【分析】利用等差数列的定义即可求解.

【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，

则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，

则，解得，

故选:A．

5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.

【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线，可知z要取最小值，即直线经过点A，解方程组得，所以，

故选：C．

6．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．5 C． D．7

【答案】D

【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案.

【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

设，，因为，，

所以，，，所以，，

，所以，

所以，

所以当，即时，的最小值为7，

故选：D．

7．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦的和差角公式可得，平方可得，进而化切为弦即可求解.

【详解】由，得，∴，所以，∴，所以，

故选：A．

8．开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（    ）种．

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】C

【分析】甲乙丙是三个特殊元素，分类讨论甲与丙之间为乙与甲与丙之间不是乙的两种情况，利用捆绑法即可求得所求排法总数.

【详解】若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；

若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，

所以总共有种情况符合题意.

故选：C．

9．已知随机变量，且，则的最小值为（    ）

A．9 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性即可求解，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.

【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以．

当时，,所以有

，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，

故选:C．

10．设函数，有4个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.

【详解】当时，单调递增，且，，故有一个零点，

所以当时，函数有3个零点，

令，即，，解得，

由题可得区间内的3个零点分别是，1，2取得，

所以即在和之间，即，

解得.

故选：A．

11．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.

【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，

作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，

在中，，则即．

设，则，在，

即，

解得，同理，

又，所以，即，

所以.

故选：A．

12．在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】构造函数，根据导数判断单调性，可判断①；由，根据函数的单调性，可得，进而判断②；由函数的单调性可得，进而，即，再构造，根据函数的单调性可得，进而判断③.

【详解】令，则，所以时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减；可得，即，故①正确；

因为，所以，即，所以，即，故②错误；

再令，则，所以当时，，即在上单调递增，所以，则，即．又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③错误；

故选：B．

二、填空题

13．已知数列的前n项和为，若，，则___________．

【答案】94

【分析】由，可得当时，，两式相减可证得数列是以为首项，公比为2的等比数列，可求出的通项公式，即可求出.

【详解】由已知，，①，

当时，，

当时，②，

①－②得：，整理得：，即，

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，

所以，

所以，，

所以．

故答案为：94.

14．已知向量，，若与的夹角为60°，则___________．

【答案】

【分析】根据向量数量积的坐标运算，根据夹角公式即可求解.

【详解】由题意得，故，解得，由于或，故不合题意，舍去，故．

故答案为：

15．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最大值为___________．

【答案】45

【分析】根据圆中的弦长公式可得,，结合以及二次函数的性质即可求解最值.

【详解】由题设，则圆心，半径，,

若圆心到直线AC，BD的距离则，且，则,，

而，所以，

令，则

，当，即时，

四边形ABCD面积的最大值．

故答案为：

16．如图,在棱长为4的正方体中,已知点P为棱上靠近于点的四等分点,点Q为棱CD上一动点．若M为平面与平面的公共点,N为平面与平面ABCD的公共点,且点M,N都在正方体的表面上,则由所有满足条件的点M,N构成的区域的面积之和为___________．

【答案】

【分析】把平面与平面和平面ABCD的交线画出，从运动的观点观察即可获解.

【详解】

过点作交AB于点

则平面平面,平面平面

所以构成的区域为运动到点时的

构成的区域为运动到点时的梯形AKQD

此时

所以M,N构成的区域的面积之和为

故答案为：

三、解答题

17．已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且．

(1)求角B的大小；

(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由正弦定理边角关系得，根据三角形内角的性质求得，即可确定B的大小；

（2）由，根据已知及向量数量积的运算律，列方程求的模长即可.

【详解】（1）

由已知，得：，

则．

由正弦定理，，

∵A，，故，

∴，

∴，即．

∵，则，

∴，即．

（2）由题意，得．

∵，

∴，

∴．

∵，，，

∴，

∴，，则，

∴．

18．如图，在直三棱柱中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的中点．

(1)求证：AD//平面；

(2)若二面角的大小为，求实数t的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，根据线面平行的判定定理即可求证，

（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据几何法可得二面角的平面角，进而根据直角三角形的边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，根据空间向求解二面角.

【详解】（1）点D，E分别为BC，的中点，在直三棱柱中，，，所以四边形为平行四边形，连接DE，则，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）方法一：

在平面ABC内，过点C作AD的垂线，

由ABC为等腰直角三角形知垂足为D，

由于平面平面,且交线为,由于平面,

所以平面,平面,故,

又,则为二面角的平面角，即，

在等腰直角三角形ABC中，不妨设，，则，

在中，，

∴，

∴．

方法二：

平面ABC，又，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设，，则，

则，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

由，取，得，

又平面ADC的一个法向量为，

因为二面角的大小为，

所以．

即，

，∴，

∴．

19．某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．

(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；

(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，设抽到的学生成绩在的人数为X，将样本频率视为概率，求X的概率分布列及期望．

【答案】(1)，，

(2)分布列见解析；

【分析】（1）结合频率分布直方图与茎叶图分数在同区间中的频率与频数，可求得所求；

（2）利用频率分布直方图分别求出分数在与的学生人数，从而求得在两区间抽取出的学生人数，再利用古典概型与组合数求得的分布列与期望.

【详解】（1）由直方图可知，分数在中的频率为，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为3，所以样本容量，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为1，所以分数在中的频率为，

所以由得，

再由，得，

所以，，．

（2）由题意，本次竞赛成绩样本中分别在中的学生有名，分数在中的学生有名，

抽取分数在中的学生有名，抽取分数在中的学生有名，

由题可知，的所有取值有0，1，2，

，，，

所以，X的分布列为：

∴．

20．已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的右焦点，M为椭圆上的点，若|MF|的最小值为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若圆E：的切线l与椭圆C交于A，B两点，求△FAB面积的最大值．

【答案】(1);

(2)4.

【分析】（1）根据椭圆离心率及|MF|的最小值列方程求解即可；

（2）分直线斜率存在不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆联立，由韦达定理结合弦长公式、点到直线距离求出三角形面积，再换元求最值即可，当斜率不存在时直接求解.

【详解】（1）椭圆的离心率，

又|MF|的最小值为，即：，

得，，∴，

故椭圆C的方程为．

（2）由（1）点，若直线l的斜率不存在，l不能过点，

则l的方程只能为，

∴，．

若直线l的斜率存在，设l的方程为：，，，

由直线l与圆E相切得，

化简得，则，．

由，得，

，

则，．

．

又到直线l的距离．

．

设，则，

．

综上，△FAB面积的最大值为4．

21．已知函数，．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可求解单调性，

（2）将不等式等价变形为，构造函数，利用导数求解的最小值即可.

【详解】（1），

当时，由，得出，．

当，由，得或，

由，得，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

当时，，由，得或，

由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减；

当时，，由，得，由，得，

此时在上单调递减，在上单调递增；

当时，，则在上单调递增．

（2）由可转化为，

令，，

令，，

当 时，，故在上单调递减，

又

所以时，在内存在唯一零点，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递境，

故．

因为，所以，

所以，

所以，

即．

【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数的单调性，当含参数时，需要根据参数的大小进行分类讨论.利用导数求解恒成立问题时，常采用两种方式：

①对含参函数的参数进行讨论，确定函数的最值，

②进行参数分离，构造无参数的函数，利用导数求解最值.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若点A的坐标为（1，0），直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）移项再平方相加即得曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l的直角坐标方程；

（2）由直线参数方程中的几何意义，结合韦达定理即可求得.

【详解】（1）由，可得，

将上式分别平方，然后相加可得，

由，可得，

即，即．

（2）由（1）可知直线l的斜率为，则其倾斜角为，

且点在直线l上，

所以直线l的参数方程为： （t为参数），

即（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得．

设点P，Q对应的参数分别为，，则，，

则．

23．已知函数的最小值为．

(1)求；

(2)已知为正数，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）方法一：由题知，进而分类讨论求解即可；

方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；

（2）结合（1）得，进根据基本不等式求解即可.

【详解】（1）解：方法一：

依题意得：，

当时，，

当时，，

当时，，

综上，当时，取得最小值1，即的最小值．

方法二：

根据绝对值三角不等式可得：，

当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值．

（2）解：由（1）知，，

（当且仅当时等号成立），

∴，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值为12．