23版新高考一轮分层练案(十三)　函数与方程

一轮分层练案(十三)　函数与方程

A级——基础达标

1．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(　　)

A．(0，1)    B．(2，3)

C．(3，4)    D．(4，＋∞)

【答案】C　易知f(x)是单调减函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零点所在的区间是(3，4).

2．函数f(x)＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为(　　)

A．2    B．3

C．4    D．5

【答案】D　f(x)＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0，2π]上有，，，共4个根，故原函数有5个零点．

3．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过________次检测．(　　)

A．3    B．4

C．6    D．7

【答案】B　先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

4．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0    B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0    D．f(x1)>0，f(x2)>0

【答案】B　设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x)<0，在(x0，＋∞)上f(x)>0，又∵x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.

5．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)

A．2.52    B．2.56

C．2.66    D．2.75

【答案】AB　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.

6．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　)

A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点

B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

【答案】ABD　由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点．

7．(多选)已知函数f(x)＝－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)

A．d＜a    B．d＞b

C．d＞c    D．d＜c

【答案】ABD　由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．

8．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

【答案】－

9．已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．

解析：解方程f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，如图，作出y＝f(x)与y＝k的图象，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点．即k∈(0，1).

【答案】－1　(0，1)

10．设函数f(x)＝(x>0).

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．

解：

(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)因为f(x)＝

＝

故f(x)在(0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为(0，1).

B级——综合应用

11．定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，方程g(f(x))＝0解的个数不可能是(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

【答案】D　因为x∈[－a，a]时，g(x)＝0有唯一解，

不妨设唯一解为k，由g(x)图象可知k∈(0，a)，

则由g(f(x))＝0可得f(x)＝k，

因为k∈(0，a)，由f(x)图象可知，f(x)＝k可能有1根，2根，3个根，不可能有4个根，故选D.

12．(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　)

A．x1＋x2＝－1    B．x3x4＝1

C．1＜x4＜2    D．0＜x1x2x3x4＜1

【答案】BCD　由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示：

由图可知，x1＋x2＝－2，－2＜x1＜－1；

当y＝1时，|log2x|＝1，有 x＝或x＝2，

所以＜x3＜1＜x4＜2；

由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，

即log2x3＋log2x4＝0，

所以x3x4＝1，

则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，故选B、C、D.

13．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程x ln x＝1的解，则x1x2＝________．

解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x分别与函数y＝的图象的公共点A，B的横坐标，而A，B两点关于直线y＝x对称，因此x1x2＝1.

【答案】1

14．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________．

解析：根据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的大致图象如图所示，函数y＝1－kx为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间以及恰好在PA处，所以－≤－k<－，即k∈.

【答案】

15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b.

(1)求证：a>0且－3<<－；

(2)求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．

证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，

∴c＝－a－b.∵3a>2c＝－3a－2b，

∴3a>－b.∵2c>2b，∴－3a>4b.

若a>0，则－3<<－；

若a＝0，则0>－b，0>b，不成立；

若a<0，则<－3，>－，不成立．

(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，

f(1)＝－，

当c>0时，f(0)>0，f(1)<0，

∴f(x)在(0，1)内至少有一个零点；

当c＝0时，f(0)＝0，f(1)<0，f(2)＝4a＋2b＝a>0，

∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点；

当c<0时，f(0)<0，f(1)<0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0，

∴f(x)在(0，2)内至少有一个零点．

综上，f(x)在(0，2)内至少有一个零点．

C级——迁移创新

16．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则有t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤1，而原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图所示，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.