23版新高考一轮分层练案(三)　等式与不等式的性质

一轮分层练案(三)　等式与不等式的性质

A级——基础达标

1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示(　　)

A．v≤120(km/h)或d≥10(m)

B．

C．v≤120(km/h)

D．d≥10(m)

【答案】B　最大限速与车距是同时的．故选B.

2．设0<α<，0≤β≤，则2α－的范围是(　　)

A．　　　　　　 B．

C．(0，π)    D．

【答案】D　由已知，得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.

3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

4．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是(　　)

A．a2<b2    B．ab<b2

C．a＋b<0    D．|a|＋|b|>|a＋b|

【答案】ABC　因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选A、B、C.

5．(多选)对于实数a，b，c，下列说法中正确的是(　　)

A．若a>b，则ac<bc

B．若a<b<0，则a2>ab>b2

C．若c>a>b>0，则>

D．若a>b，>，则a>0，b<0

【答案】BCD　当c＝0时，ac＝bc，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，且ab>b2，即a2>ab>b2，故B正确；若c>a>b>0，则<，则<，则>，故C正确；若a>b，>，即>，故ab<0，则a>0，b<0，故D正确．故选B、C、D.

6．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是(　　)

A．>    B．ac<bc

C．a(b－c)>b(a－c)    D．>

【答案】ABC　对于A，∵a>b>1，c<0，∴－＝>0，∴>，故A正确；对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确；对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，∵<0，a>b>1，∴<，故D错误．

7．若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为________．

解析：p－q＝－(a＋b)＝＋＝(b2－a2)＝，又a＜0，b＜0，所以b＋a＜0，ab＞0，(b－a)2≥0，所以≤0，所以p≤q.

【答案】p≤q

8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．

解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)

由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．

【答案】3

9．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.

(1)若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x＝________；

(2)在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

解析：(1)顾客一次购买松子和腰果各1 kg，需要支付120＋70－x＝180(元)，则x＝10.

(2)设顾客一次购买干果的总价为M元，当0<M<150时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折．当M≥150时，0.8(M－x)≥0.7M.即M ≥8x对M≥150恒成立，则8x≤150，x≤18.75，又2x∈Z，所以xmax＝18.5.

【答案】(1)10　(2)18.5

10．已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：＋>.

证明：∵在△ABC中，a＋b－c>0，

∴<＝.

又∵>，>，

∴＋>＋＝>.

B级——综合应用

11．若a，b均为实数，则“ab(a－b)>0”是“a>b>0”的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】B　若ab(a－b)>0，取a＝－1，b＝－2，则推不出a>b>0；

若a>b>0，则a－b>0，则可得出ab(a－b)>0；

故“ab(a－b)>0”是“a>b>0”的必要不充分条件．故选B.

12．已知a，b，c，d∈R＋，设S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是(　　)

A．0<S<1    B．1<S<2

C．2<S<3    D．3<S<4

【答案】B　∵a，b，c，d∈R＋，∴S＝＋＋＋>＋＋＋＝1，

S＝＋＋＋<＋＋＋＝2，

∴1<S<2.

13．(多选)已知a>b≥2，则(　　)

A．b2<3b－a    B．a3＋b3>a2b＋ab2

C．ab>a＋b    D．＋>＋

【答案】BC　a>b≥2，取a＝3，b＝2，则b2<3b－a不成立，故A不成立；

a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)2(a＋b)>0，故B成立；

ab－a－b＝a(b－1)－b＝(b－1)＝(b－1)·>0，故C成立；

＋－－＝≥0，故D不成立．故选B、C.

14．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最小值是________．

解析：设＝(xy2)m·，即xy－3＝xm＋2n·y2m－n，

所以解得

所以＝(xy2)－1·，

因为3≤xy2≤8，4≤≤9，所以≤(xy2)－1≤，

由不等式性质可知≤(xy2)－1·≤3，

即≤≤3，当且仅当时，不等式左边取等号，解得x＝2，y＝2.

综上可知，的最小值为.

【答案】

15．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.

证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，

所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.

将上面不等式中的右端减左端，得

[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1).

因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．

C级——迁移创新

16．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|.

(1)求证：b＋c>0；

(2)求证：<；

(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．

解：(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0.

(2)证明：因为c<d<0，

所以－c>－d>0.又a>b>0，

所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d>0，

所以(a－c)2>(b－d)2>0，

所以0<<，①

因为a>b，d>c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，由(1)知b＋c>0，所以0<b＋c<a＋d，②

①②相乘得<.

(3)由(2)知，0<<，

所以<<或<<.(只要写出其中一个即可)