2023届湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届湖南省岳阳市岳阳县第一中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合A，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】解：，

所以.

故选：C.

2．若复数，则（    ）

A．2 B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】先化简复数z，再利用复数的模求解.

【详解】因为复数，

所以，

所以，

故选：B

3．已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式求出，再用平方关系求出即可计算作答.

【详解】因，则，而，于是得，

所以.

故选：A

4．某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例，对随机抽出的2000名学生进行了调查.因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（    ）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件,先求出回答问题一,问题二的人数,再求出阳历生日日期为偶数的概率,再结合频率与频数的关系,即可求解.

【详解】由题意可知,抽到红球、白球的概率均为,

则回答问题一、二的概率均为, 即人回答问题一,人回答问题二,

假设一年为天,其中日期为偶数的天数为天,

阳历生日日期为偶数的概率为,

针对问题一有人回答是,针对问题二有人回答是,

,

故本地区义务数有阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近.

故选: B

5．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.

【详解】∵

∴，所以，

又当时，，

所以在点处的切线方程为：，即.

故选：A.

6．的展开式中，的系数为（    ）

A．80 B．40 C． D．

【答案】D

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】的展开式中含的项为，

的展开式中含的项为，

所以的展开式中，的系数为，

故选：D

7．设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.

【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，

设直线AB为， ，，，不妨设，则，

所以，解得：，则，解得：，则，

所以，解得：，则直线AB为，

所以当时，即，解得：，则，

联立与得：，则，

所以，其中.

故选：C

8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)

【答案】B

【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

二、多选题

9．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ）

A．事件A与事件B互为对立事件

B．事件A与事件B相互独立

C．

D．

【答案】BCD

【分析】利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.

【详解】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，

即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；

显然有，

抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：

，共36个，它们等可能，

事件AB所含的结果有：，共8个，

则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；

显然，，C，D都正确.

故选：BCD

10．已知直线与圆，则（    ）

A．直线与圆C相离

B．直线与圆C相交

C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个

D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个

【答案】BD

【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.

【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.

故选：BD

11．已知，函数，则下列选项正确的是（    ）

A．函数的值域为

B．将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像

C．函数是奇函数

D．函数在区间内所有零点之和为

【答案】ABD

【分析】根据向量数量积得坐标表示结合三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数得值域即可判断A；根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可判断B；根据三角函数的奇偶性即可判断C；令，求出所有的值，即可判断D.

【详解】解：

，

对于A，因为，

所以，故A正确；

对于B，将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），

得，

再将所得图像向左平移个单位长度，

得，故B正确；

对于C，因为，

所以函数不是奇函数，故C错误；

对于D，令，

则，

则或，

所以或，

因为，

所以或或或，

所以函数在区间内所有零点之和为，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（    ）

A． B． C．0 D．2

【答案】BC

【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.

【详解】因为的两根为，

所以，

从而．

令，

则，．

因为，

所以，

所以在上恒成立，

从而在上单调递增．

又，

所以，

即的取值范围是，

故选：BC．

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.

三、填空题

13．已知是两个单位向量，，且，则__________．

【答案】0.5

【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律计算作答.

【详解】是两个单位向量，，且，则，解得，

所以.

故答案为：

14．抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为___________.

【答案】

【分析】写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答.

【详解】抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，

抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，

所以M到坐标原点的距离为.

故答案为：

15．函数的所有零点之和为__________．

【答案】9

【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.

【详解】由，令，，

显然与的图象都关于直线对称，

在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，

这6个点两两关于直线对称，有，则，

所以函数的所有零点之和为9.

故答案为：9

16．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．

【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则,，设,于是，

因为，所以，故的取值范围是.

故答案为：．

四、解答题

17．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若边上的中线，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；

（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.

【详解】(1)解；因为，

所以，

所以，

即 ，

因为 ，

所以 ，

所以；

(2)在中，由余弦定理得，

即①，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，

两式相加得②，

由①②得，

所以.

18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题设条件，当时，得到，两式相减得到，结合为等差数列，为等比数列，即可求得与的通项公式；

（2）由（1）分别利用等差数列和等比数列的求和公式，求得与的前项和，得到，结合裂项法求得的前n项和，即可求解.

【详解】(1)解：因为，

当时，，

由，解得，

又由，

当时，可得，

两式相减得，

当时，适合上式，所以，

因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为，

所以，所以．

(2)解：由，可得数列的前n项和为，

又由，可得数列的前n项和，

则，

所以数列的前n项和为，

所以数列的前n项和．

19．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

(2)依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

期望.

20．已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为的中点，，．

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，由平面平面，证得平面，得到，再由，得到，结合线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；

（2）设，点到平面的距离为，结合，列出方程，即可求解.

【详解】(1)证明：如图所示，连接，

因为平面平面，且，为AB的中点，

所以，所以平面，

因为平面，所以，

因为四边形为矩形，，

所以，，

且，

所以，所以，

又因为且平面，所以平面，

因为平面，所以.

(2)解：设，点到平面的距离为，

由（1）知平面，所以，

所以 ，

因为，即，所以，

解得，即点到平面的距离为.

21．已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)x21

(2)存在，m＝﹣1，定值为0

【分析】（1）由离心率得，从而得，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得的关系式，从而求得得双曲线方程；

（2）直线斜率为0时，直接求出坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得，代入，由它为定值求得值，得结论．

【详解】(1)由题意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，

所以ba，

又因为·0，|PF1||PF2|＝6．所以,

由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，

而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，

所以4c2﹣12＝4a2，

可得b2＝3，a2＝1，

所以双曲线的方程为：x21；

(2)由(1)可得F2(2，0)，

当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，

由M(m，0)，则·m2﹣1，

当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，

因为t2，y1+y2，y1y2，

因为·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2

＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2

(2﹣m)2，

要使•为定值，则，解得m＝﹣1，则，

所以Q(﹣1，0)．定值为0．

22．已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若，证明：．

【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间；

(2)证明见解析．

【分析】(1)求f(x)的导数，令，求，根据正负判断单调性，根据单调性判断正负，从而判断f(x)单调性；

(2)将化为，令＞1，则，根据(1)中f(x)单调性即可证明．

【详解】(1)的定义域为，

由于，则，，

令，则，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

则．

∴函数的单调递减区间为，无单调递增区间﹒

(2)方法一：欲证，

只要证，

即证．

令，由于，则．

故只要证，即证．

由(1)可知，在区间上单调递减，

故时，，即．

由于，，则．

∴成立．

∴．

方法二：由(1)得在上单调递增，

当时，，，

，

则，使，即，则．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

则

，

∴，

令，由于，则，

则，

整理得．

【点睛】本题第一问关键是二次求导，依次通过导数的正负判断原函数的单调性；第二问的关键是注意到要证的不等式可以化为，令＞1，则化为，即，结合(1)中函数单调性即可证明得到结论．