2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题 一、单选题1．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】从四个选项中，找到能整除524的选项即可.【详解】因为，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．【点睛】本题考查了系统抽样时，抽取间隔不需要剔除个体问题，考查了运算能力.2．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】B【分析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选：B3．直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（    ）A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤【答案】D【解析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】解：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴，，在的左侧位于左侧，故经过⑤，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴，在的右侧位于上方的下方，故经过①.故选：D.4．甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得到根为，；乙写错了常数，得到根为，．那么原方程的根正确的是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】换元变形为一元二次方程，然后由一元二次方程根与系数的关系求得参数，然后再求解．【详解】设，则方程变为，即，由题意．方程的解是，则，方程的解是，∴，，∴方程为，解得或，由得或．故选：C．5．已知函数的图象关于直线对称，若且，，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象关于直线对称，求得a，进而求得 ，利用数形结合法求解.【详解】因为，所以函数关于直线对称，因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，所以，其图象如下图所示：因为，，所以，，，所以，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（    ）A．5 B．4 C．-4 D．-7【答案】A【分析】根据给定条件作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影(含边界)，其中点，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，使其过点A时，直线的纵截距最小，z最大，，所以的最大值为5.故选：A7．设集合，，其中，下列说法正确的是A．对任意，是的子集 B．对任意，不是的子集C．存在，使得不是的子集 D．存在，使得是的真子集【答案】A【分析】根据不等式的性质，由，，从而得出集合、的包含关系.【详解】由，可得，另一方面，若，假设，得，则.综上所述，.故选A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于中等题.8．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使平面平面.若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由题意，可得两两互相垂直，且，，从而可求得，，，然后利用余弦定理建立关于的方程即可求解.【详解】解：由题意，，所以，，因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以，，因为，所以由余弦定理有，即，所以，即，所以或，又离心率，所以，故选：D.9．在一定条件下，将质量为（单位：）的某种固体化学物质投入水中，该物质会逐渐溶于水，未溶解物质的质量M（单位：）与时间t（单位：）满足关系：.某同学在一次化学实验中，把200 的该固体物质投入600 水中，t后溶液中该物质的质量分数为20%，则t约为（取）（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用题里面的已知条件求出t min后未溶解物质的质量，与联立即可求得t.【详解】设t min后该物质溶解的质量为x g，由得x＝150，即t min后未溶解的质量为50 g，∴，整理可得，∴，∴.故选：C.10．函数的值域为A． B． C． D．【答案】C【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.【详解】解：令，，令，则，原函数化为，该函数在上为减函数，在上为增函数，又当时，，当时，，当时，.∴函数的值域为，则函数的值域为.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.11．圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求得符合题意条件的R的取值范围，即可做出判断.【详解】圆C：的圆心，半径R点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则故选：B12．已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（    ）A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个【答案】D【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想根据的取值范围求出零点个数.【详解】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以，当时，，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D 二、填空题13．复数(为虚数单位)的共轭复数为，则_________．【答案】2【分析】根据直接求解即可.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复数模的求解，属于基础题.14．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为_________；【答案】【解析】根据题意得，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到，由此得到直线的方程，求出点，从而可求的面积.【详解】由题意得， ，因为点 和 在双曲线的右分支上，是等边三角形，根据对称性得， ，所以直线的方程是 ， 代入双曲线方程，得 ，解得 或 （舍去），所以 ，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.15．直线与圆交于两点，则____．【答案】【分析】根据题意，求得圆心到直线点距离为，再由圆的弦长公式，即可求解.【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，则圆心到直线点距离为，则.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及弦长的计算，其中解答中熟记点到直线的距离公式和圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___．【答案】【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可.【详解】因为，所以是边长为的等边三角形，所以边长为的等边三角形的高为：，所以，设到平面的距离为，，所以，所以，解得，则，所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为，所以交线总长度为：.故答案为：. 三、解答题17．某汽车租赁公司有200辆小汽车．若每辆车一天的租金为300元，可全部租出；若将出租收费标准每天提高10x元(1≤x≤50，)，则租出的车辆会相应减少4x辆．(1)求该汽车租赁公司每天的收入y(元)关于x的函数关系式；(2)若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元．则每辆汽车的出租价格可定为多少元?【答案】(1)；(2)390元或400元或410元﹒ 【分析】(1)根据条件得，整理即可；(2)令，解得取整即可．【详解】(1)由题意可得每辆车一天的租金为元，租出的车辆为辆，故该汽车租赁公司每天的收入：；(2)由题意可得，即，解得，∵，∴或或，则或400或410，故每辆汽车的出租价格可定在为390元或400元或410元．18．已知函数f(x)=3sin()+3，x∈R.（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(过程可以不写，只需画出图即可)（2）求函数的单调区间；（3）写出如何由函数y=sinx的图象得到函数f(x)=3sin()+3的图象.【答案】（1）答案见解析.（2）增区间为，减区间为.（3）答案见解析【分析】（1）由0，，π，，2π得到相应的x的值，列表描点，利用五点作图法作图即可；（2）利用正弦函数的单调性即可求解.（3）由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求解.【详解】（1）f(x)=3sin()+3，x∈R，令，π，，2π，得到相应的x的值，列表如下： x    0 π  2π y 3 6 3 0 3 描点，用光滑的曲线把各点连接，作图如下：，（2）由，k∈Z，得：，k∈Z，可得其增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z，同理，由，k∈Z，得：，k∈Z，可得其减区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z.（3）y=sinx向左平移个单位，得到y=sin(x)，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin()，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y=3sin()，最后向上平移3个单位得到y=3sin()+3的图象.【点睛】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题.19．已知数列的前n项和为．(1)求的通项公式，并判断是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当时，．【答案】(1)，不是等差数列；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系，当时，得，当时，得，从而得到的通项公式，从而求的值，得，来判断是否是等差数列；（2）由（1）确定的表达式，从而按照裂项相消来求和，即可证明不等式.【详解】(1)解：数列的前n项和为当时，所以即当时，不符合上式.所以 则所以，则不是等差数列.(2)证明：由（1）可得：所以则当时，所以，故当时，．20．已知点，到直线的距离相等.（1）求实数的值；（2）已知，试求上点的坐标，使得，，构成以为直角顶点的直角三角形.【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.【解析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解的值；（2）可求出以为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得点的坐标.【详解】（1）由点到直线的距离公式知：，即，或，或.（2），的中点为，以为直径的圆的方程为，直角三角形的直角顶点是以为直径的圆与直线的交点.设，故满足由知，，直线，又在上联立方程消去得：，或.或点的坐标为或.【点睛】①，，构成以为直角顶点的直角三角形，等价于以为直径的圆过点，且，，三点不共线.②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.21．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)极小值，无极大值(2) 【分析】（1）当时，，求出，然后可得答案；（2）分、两种情况讨论，当时，可判断出在上有唯一零点，且，然后可得，然后可得的范围，然后可得的范围.【详解】(1)当时，，．当时，；当时，．所以有极小值，无极大值．(2)由题得，．①当时，，，故，在上单调递增．所以，解得（舍去）．②当时，，，令，则所以在上单调递增，故在上有唯一零点，且．当，，单调递减；当，，单调递增．所以，即，解得．又因为在上单调递增，所以．综上，的取值范围为．22．在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1），（为参数）；（2）和．【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）[方法一]：直角坐标系方法①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去．②当切线斜率存在时，设其方程为，即．故，即，解得．所以切线方程为或．两条切线的极坐标方程分别为和．即和．[方法二]【最优解】：定义求斜率法 如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和．故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和．即和．【整体点评】（2）方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.[方法二]【最优解】：零点分段求解法  当时，．当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法 当时，则，此时，无解．当时，则，此时，由得，．综上，a的取值范围为．[方法四]：函数图象法解不等式   由方法一求得后，构造两个函数和，即和，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，由图易知，则．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.