2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期8月月考数学（文）试题含解析

2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期8月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.

【详解】由题意得，集合．所以，B错误；

由于空集是任何集合的子集，所以A正确；

因为，所以C、D中说法正确．

故选：B．

2．已知中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三边的比令，，，，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求．

【详解】解：依题意令，，，，

，所以为直角三角形且，

又，且，

，

，

故选：A．

3．的三内角的对边分别为且满足，且，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条件说明三角形是等腰三角形，两者结合起来判断.

【详解】根据条件：，利用正弦定理可得：，

整理得：，，则，

化简得：，故，

在中，由于，所以（不可能），

故.所以为等边三角形.

故选：B.

4．已知角的为第四象限角，它的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据在单位圆上可解出的值，再利用三角函数的定义和两角差的计算公式计算即可.

【详解】因为第四象限角与单位圆交于，所以解得

由第四象限角得，

所以

故选：D

5．已知函数，则下列区间中含零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.

【详解】由题意知：，，

，.

由零点存在定理可知在区间一定有零点.

故选：C.

6．记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先利用命题和命题各自推出的范围，接着利用小集合推出大集合得到答案

【详解】由可得，解得且，

所以的取值范围为且

由“函数无极值”可得

结合开口向上，可得抛物线与轴最多一个交点，

所以，解得

所以的取值范围为

因为且

所以是的充分不必要条件

故选：B

7．关于函数，下列命题中为假命题的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线是图象的一条对称轴

C．点是图象的一个对称中心

D．的最大值为

【答案】B

【分析】化简的解析式，结合三角函数的周期性、对称性最值求得正确答案.

【详解】，

的最小正周期为，A选项正确.

的最大值为，D选项正确.

，所以不是图象的一条的对称轴，B选项错误.

，所以是图象的一个对称中心，C选项正确.

故选：B

8．已知函数，若，则（    ）

A． B． C．0 D．3

【答案】A

【分析】注意到为奇函数，利用可得到，利用上式求即可.

【详解】因为函数为奇函数，，所以，所以．

故选：A

9．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据三角函数图象的变换得到的解析式，然后由为偶函数可得答案.

【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，

得到函数的图象，

再将所得图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，

因为，所以为偶函数，所以，

解得，又，所以的最小值为．

故选：D．

10．若且，且，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性比大小即可.

【详解】由，两边同时以为底取对数得，

同理可得，，

设，，则，，，

，令，解得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

则，且，

所以，

故，

故选：C.

11．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令有，即可求出答案.

【详解】，用代换，有恒成立，

所以函数是周期为4的周期函数.

所以.

令有，所以.

故选：A

12．已知函数（且）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围是（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣2，1） D．（﹣2，+∞）

【答案】B

【分析】由题意知，一个根在区间（1，2）内，得关于的等式，再利用线性规划的方法求出的取值范围．

【详解】解：设，由题意得，，

∴．且．

即或，（不合题意舍去）

视为变量，作出可行域如图．

令，

设

∴，得到一簇斜率为1，截距为的平行线

∴当直线过与轴的交点时截距最大，z最小

又，∴，

∴的最小值为：0﹣1＝﹣1

∴的取值范围为：（﹣1，+∞）

故选：B．

二、填空题

13．已知命题：，：，若非是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【分析】通过解不等式分别求出和对应的集合与，将是的充分不必要条件转化为,进而可得结果.

【详解】：，或，记或，

：，或，记或，

因为是的充分不必要条件，

所以，则，

解得，

故的取值范围是.

故答案为：.

14．若函数，则曲线在点处的切线方程为___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义,求出,即可得出切线方程.

【详解】,

所以所求切线的方程为.

故答案为：.

15．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.

【答案】942142.25

【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.

【详解】解：∵函数，，实数，满足，

∴，可得，，，又，

∴，则，，

所以当时，，即，时，取得最大值.

故答案为：

16．已知函数，若满足，则的取值范围为_______．

【答案】

【分析】数形结合，根据二次函数的对称性可得为常数，再分析的取值范围求解即可

【详解】画出的图象，易得，且当时，的最大值为，当时解得，故，故

故答案为：

三、解答题

17．已知集合，，.

(1)若，求集合；

(2)在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，，___________，求使p是q的必要不充分条件的的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）将代入集合，求得，利用集合的运算法则即可；

（2）若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。

若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。

【详解】（1）解（1）当时，可化为，

解得，，

又，

.

（2）（2）若选集合B：

由，得，

，∴

由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集.

，解得，m的取值范围为.

若选集合：

由，得，

由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，

，解得，m的取值范围为.

18．已知为的三内角，且其对边分别为，若.

(1)求；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求的值．

由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．

【详解】（1），

,

又,

,

且，

.

（2）由余弦定理，

可得：

即

解得，

.

19．已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．

(1)求的值；

(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．

【答案】(1)

(2)增区间为 ，减区间为，最大值为

【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可解；

（2）根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题，然后可得.

【详解】（1）因为有意义时的取值范围为，

所以的解集为，

所以和是方程的两根．

由韦达定理可得，解得．

（2）由（1）知，，

令，

因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时 ，取得最大值

20．已知函数是偶函数.当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；

(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)答案见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.

（2）根据（1）做出图像，数形结合.

（3）根据（1）做出图像，数形结合.

【详解】（1）设，则

∴

∵为偶函数

∴

综上，有

（2）由（1）作出的图像如图：

因为函数在区间上具有单调性，

由图可得或，解得或；

故实数的取值范围是或.

（3）由（1）作出的图像如图：

由图像可知：

当时，有两个零点；

当时，有四个零点；

当时，有六个零点；

当时，有三个零点；

当时，没有零点.

21．已知函数.

(1)若函数是偶函数，求的最小值；

(2)若，求的值；

(3)求函数在上的最大值．

【答案】(1)的最小值为

(2)的值为

(3)函数在上的最大值

【分析】（1）根据辅助角公式化简原函数，根据变换后奇偶性列出等式求解即可；

（2）根据题意对进行缩角，求出它的余弦后利用配角知识和两角和的余弦公式求解即可；

（3）先进行换元，然后对进行分类讨论即可.

【详解】（1）由题意得，，

所以，

又因为是偶函数，

所以，即，

当时，最小，最小值为.

（2），即，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以.

所以的值为.

（3）令，因为，所以，

所以即求在上的最大值，

当，即时，，

当，即时，.

所以函数在上的最大值.

22．设是实数，.

(1)若函数为奇函数，求的值；

(2)试证明：对于任意，在上为单调函数；

(3)若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)1；

(2)证明见解析；

(3)．

【分析】（1）根据奇函数的定义，求出a的值；

（2）利用单调性的定义即得；

（3）由题可得在上恒成立，然后利用参变分离，再利用基本不等式求函数的最值即得．

【详解】（1）由函数为R上的奇函数，

对任意的，都有，

即，

∴，

∴；

（2）因为，，

任取、，且，

则，

，，，

，即，

函数在R上单调递增；

（3）不等式对任意恒成立，

即在上恒成立，

为上的奇函数，

在上恒成立，

又在上单调递增，

在上恒成立，

即在上恒成立，

设，

当且仅当，即时取等号，

所以，即实数的取值范围是．