2023届贵州省黔东南州凯里市第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析

2023届贵州省黔东南州凯里市第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题

一、单选题

1．复数满足（是虚数单位），则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值即可.

【详解】∵，∴，∴．故选：A．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.

【详解】因为，

因此，.

故选：C.

3．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到正多边形的边长，通过二者周长相等近似估计圆周率.

【详解】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为，边长为，所以，即，

故选：D.

4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为10秒，绿灯的时间为50秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出总时间长度为100秒，不需要等待的时间为50秒，即可得答案.

【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为40+10+50=100秒，绿灯的时间为50秒，

所以当到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为.

故选:B．

5．各项为正数且公比为q的等比数列中，，，成等差数列，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据等差中项的性质，建立方程，利用等比数列的通项公式，整理方程，解得公比，可得答案.

【详解】因为成等差数列，所以，即，

因为数列为各项为正数且公比为q的等比数列，

所以，解得或（舍去），则，

故选：B．

6．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则图像的一条对称轴是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图像的平移变换得到的解析式，从而根据正弦函数的对称轴找到的取值.

【详解】将函数图像向右平移个单位长度，得到，

注意到，故对称轴为，

故选：C.

7．曲线在点处的切线方程是，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】，，切点为，切线方程为，∴.

故选：A.

8．如图是一几何体的三视图，则该几何体最长棱的棱长为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】由三视图还原出几何图形，再计算各棱长即可得答案.

【详解】解：由三视图还原出几何图形如图，其中正视图由面看入，

其中，平面与平行，

所以，，，，

所以最长棱长，

故选：D．

9．已知函数，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数可求得在和上的单调性，由此可排除错误选项.

【详解】当时，，则，

在上单调递增，BD错误；

当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，C错误，A正确.

故选：A.

10．已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出到轴距离就是到焦点的距离减去，接着利用两点之间直线最短而得到答案.

【详解】由于为抛物线上一个动点，焦点坐标为，准线为，为圆上一个动点，，圆心为，半径，那么点到点的距离与点到轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，到轴距离为到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为=.

故选：B.

11．三棱锥的外接球为球，球的直径，且、都是等边三角形，则三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取外接圆圆心，连接的中点即球心与，由球的性质可知与平面垂直，求出、，由勾股定理求出，即可得到到平面的距离，再根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】解：取外接圆圆心，连接的中点即球心，

由球的性质可知与平面垂直，因为，且为等腰直角三角形，所以，

在中，，，

故，又，故到平面的距离，因此；

故选：C.

12．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案.

【详解】因为的定义域为R，

，

所以函数是奇函数，

由，

可知在上单调递增，

所以函数为R上单调递增的奇函数，

所以不等式对任意均成立等价于

，

即，即对任意均成立，

又，当且仅当时取等号，

所以的取值范围为.

故选：A.

二、填空题

13．设,向量,,且∥,则______.

【答案】

【分析】根据两个向量平行的坐标表示,列方程求解即可.

【详解】,,且∥,

,

解得.

故答案为:.

14．已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则______.

【答案】

【分析】由等比中项定义和等差数列通项公式可直接构造方程求得.

【详解】由题意得：，

，解得：.

故答案为：.

15．已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【分析】将双曲线的方程化为标准方程可得，由双曲线定义可得，再根据椭圆的定义求得a，即可求得离心率．

【详解】解：由题意，不妨设P在第一象限，为左焦点 ，

双曲线可化为，

由双曲线的定义知：，，

则，，

由椭圆的定义知：，

∴ ，

∵ 椭圆与双曲线有相同的右焦点，

∴ 椭圆的离心率．

故答案为：

16．如图甲，已知正方体的棱长为分别是线段上的动点，当三棱锥的俯视图如图乙所示时，挖去三棱锥，得到一个几何体模型（该模型为正方体挖去三棱锥后所得的几何体），若利用打印技术制作该模型，且打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________.

【答案】

【分析】由俯视图知，与重合，与重合，在中点处，所以，由正方体性质证明C到面的距离为DM，则，即有模型体积为正方体体积减去，即可计算质量

【详解】由俯视图知，与重合，与重合，在中点处，所以，

由正方体性质易知，，，平面，∴平面，

又，平面，∴平面，∴C到面的距离为DM，

∴，

∴制作该模型所需原料的质量为克.

故答案为：

三、解答题

17．在中，角所对的边分别是，已知.

(1)求；

(2)若，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用诱导公式及平方关系化解已知条件，解出，进而求出角.

（2）通过三角形内角和变换角、两角和与差的正弦公式和倍角公式化解已知条件，再利用正、余弦定理解三角形，进而求出三角形面积.

【详解】（1）因为，所以，即，

解得，又因为，

所以.

（2）由，得，

整理，得.

若，则，则，

若，则，.

由余弦定理，得，解得

综上，的面积为或.

18．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产的产品数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

(1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是们相关；

(2)求y关于x的回归方程，并预测生产该产品13千件时，每件产品的非原料成本为多少元?

附：参考公式：相关系数，，．

参考数据：．

【答案】(1)可以用线性回归方程模型拟合与的关系，负相关；

(2)，元.

【分析】（1）由相关系数公式计算后判断，

（2）由公式得后求解，

【详解】（1）由题意得

，，

，，

因而相关系数

由于很接近1，说明，线性相关性很强，

因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系．

由于，故其关系为负相关．

（2）由（1）知，，

，

则所求的回归方程是．

当为13时，可预测．

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，．

(1)证明：平面平面；

(2)求到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，连接，先用线面垂直的判定定理证明 平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论，

（2）由等积法结合求解即可

【详解】（1）如图，取的中点为，连接．

因为，，则，

而，故．

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，

故为直角三角形且，

因为，，，平面，

故平面，

因为平面，

故平面平面．

（2）由（1）知平面，底面是正方形，

则，，

在中，，，

所以，

由知，

所以，

所以

所以到平面的距离为．

20．已知函数，（a为常数）．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论求解.

（2）利用分离参数法，再通过构造函数，利用导数求函数的单调性、最值进行求解.

【详解】（1）函数的定义域为，，

①若，有，函数在上单调递增；

②若，有，

∴当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增．

综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）∵对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

令，得，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

∴，即，

故得，设，

∵，

当时，，，

∴，故函数在上单调递增；

∴，故．

21．已知椭圆经过点，左焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线与椭圆交于两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值.

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）根据椭圆经过的点和焦点，由待定系数法即可求解.

（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得根与系数的关系，进而根据面积公式表达出面积函数，利用换元法以及不等式即可求解最值.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，

又因为椭圆经过点，所以，

又

，，，

所以椭圆的方程为.

（2）因为，所以四边形为平行四边形，

当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

与椭圆交于，两点，

由.

由

，

，

，

令，则（由上式知），

，当且仅当，即时取等号.

∴当时，平行四边形的面积最大值为2.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，，在以原点O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程和的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线交于两点，若为弦的中点，求弦长.

【答案】(1)或，.

(2)

【分析】（1）直线的参数方程消去参数，能求出直线的普通方程；椭圆的极坐标方程化为，由此能求出椭圆的直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程代入，得由此能求出．

【详解】（1）当时，的普通方程为；

当时，的普通方程为，即.

由得，

即的直角坐标方程：.

（2）将代入整理得

依题意得，即，即

再由

.

23．设函数的最小值为.

(1)求的值；

(2)若正实数满足，证明：.

【答案】(1)3

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值三角不等关系即可求解，

（2）根据柯西不等式即可求解.

【详解】（1）由，当，即时，等号成立.

所以 ，

（2）证明：因为均为正实数，，由柯西不等式，

，

即

当且仅当时，取等号.