江苏省南通市如东县2022-2023学年高三数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期期中学情检测

高三数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含[选择题（1~12））填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。

2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。

3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数（i为虚数单位），则

A.2   B.3   C.4   D.5

2.满足的集合的个数为（    ）个.

A.16   B.15   C.8   D.7

3.下列选项正确的是

A.   B.

C.   D.

4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（    ）立方米

A.   B.   C.   D.

5.过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（    ）

A.   B.2   C.   D.4

6.已知，则不等式的解集为

A.   B.   C.   D.

7.已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，.若，，，则a，b，c的大小关系为

A.   B.   C.   D.

8.对于集合A，B，我们把集合记作.例如，，，，则，.现已知，集合A，B是M的子集，若，，则内元素最多有（    ）个

A.20个   B.25个   C.50个   D.75个

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若函数，则下列命题正确的是

A.函数的图象与的图象重合

B.

C.

D.存在唯一的，使得

10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形

A.五边形   B.直角三角形   C.直角梯形   D.钝角三角形

11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是

A.函数的单调减区间为

B.函数的极小值是-15

C.当时，对于任意的，都有

D.函数的图象有条切线方程为

12.已知圆：直线：，下列说法正确的是

A.直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得

B.直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得

C.与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________.

14.若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________.

15.已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为_______________.

16.已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为_______________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中，，且.

（1）求A的大小；

（2）求的面积.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，O是AD的中点，且，，.

（1）求证：平面POB；

（2）求点B到面PAC的距离.

19.（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，且，.

（1）求；

（2）求数列的前项的和.

20.（本小题满分12分）

已知直三棱柱，，，.

（1）证明：面；

（2）当最短时，求二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知直线：，：，线段AB的两个端点分别在直线与上滑动，且.

（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；

（2）直线：，：与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.

22.（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若直线与函数的图象相切于点，，且，求直线的方程.

2022~2023学年度第一学期期中学情检测

高三数学

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】，∴，∴，选A.

2.【答案】C

【解析】A可取，，，，，，，，共8个结果，选C.

3.8

【答案】C.

【解析】在，∴，A错.

，，，在

∴，即，B错.

，C对.

4.【答案】B

【解析】，.

5.【答案】B

【解析】，，，为正三角形

∴，即，即，∴，选B.

6.【答案】D

【解析】当时，，，解得

当时，因为，所以，解得.

综上，不等式的解集为.

7.【答案】D

【解析】当时，，

所以为上的增函数.

令，因为，所以为上的增函数.

因为，所以.

8.【答案】B

【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若，，则.

所以.当且仅当时取等号

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AC.

【解析】，A对.

，

∴，B错.

，

，C对.

，，

则有两解，D错.

10.【答案】BCD

【解析】如图所示，截面为如图

设，，，

∴，，，，，，

∴为锐角三角形，

B，D都不可能，BD都要选

如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选

如图（红色）截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选.

11.【答案】AB

【解析】方法一：，，

∴的单调减区间为，A对.

在，，，

∴，B对.

，

可得到，

矛盾，C错.

，或，时切点不在上

时切点不在上，D错，选AB.

12.【答案】ABCD

【解析】，A对.

有解，B对.

动圆圆心设为，半径设为，对于C，，作的平行线与的距离为1，

这样的平行线有两条，与同侧的设为，与异侧的设为

则A到O的距离等于A到的距离，A点轨迹为抛物线，C对.

对于D，，则A到O的距离等于A到的距离

∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.【答案】-4

【解析】取MN中点E，∴，

∴，∴.

14.【答案】

【解析】，，∴

∴∴

∴.

15.【答案】

【解析】令，，消可得

，，

，

，

，∴.

16.【答案】

【解析】，∴，，

令，，

当时，，矛盾

当时，在

∴，∴

∴的取值集合.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】

（1）因为，根据正弦定理得，

即，所以.

因为，所以，

所以，所以.

（2）在中，，，，

根据余弦定理，，解得，

所以.

18.【解析】

（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.

因为，，所以，，

所以四边形ABCO为平行四边形，

因为，所以平行四边形ABCO为菱形，

所以，且

在中，，，所以

因为，，，面POB，面POB，

所以面POB.

（2）因为平行四边形ABCO为菱形，，

所以，.

在中，，为AD的中点，所以，

所以.

同理，.

在中，，为AD的中点，所以.

因为面POB，面POB，所以.

因为，，，面ABCD，面ABCD，

所以面ABCD，

所以.

所以点B到面PAC的距离.

19.【解析】

（1）因为，

所以，整理得，，

因为数列为正项数列，所以，

所以，即.

因为，，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以，即.

（2）由（1）得

当时，.

当时，.

，①

，②

①-②，得

，

即.

当时，，适合上式

综上，.

20.【解析】

（1）直三棱柱中，，

以为正交基底如图建立空间直角坐标系

设，则，，，

所以，.

因为，，所以，，

所以.

因为面，所以面的一个法向量为.

因为，面，所以面ABC.

（2）由（1）得，.

当时，最短，所以，.

所以，.

设平面的一个法向量为，则，

令，则，，

所以平面的一个法向量为.

同理，平面的一个法向量为

设二面角的平面角为，则

.

所以二面角的余弦值为.

21.【解析】（1）设，，则，

所以，

所以，

所以P的轨迹C的方程为

（2）设直线与直线相交于点，

①当点在椭圆内部时

设直线与椭圆相交于，

由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，

所以，即，

因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆内部，

所以，且

所以

所以，

当时，取最大值为.

②当点在椭圆外部时

设直线与椭圆相交于，

由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，

所以，即，

因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆外部，

所以，且

所以

所以，.

令，，则在区间上单调递减

于是

综上得：当时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为.

22.【解析】（1）因为所以

当时，，

因为在上单调递减，且，

令，解得，

当时，，

令，解得.

综上，的增区间为，；减区间为，.

（2）直线与函数图像的两个切点坐标分别为，，，

则当时，；当时，.

所以的方程为.

所以①

②

将①代入②得，即.

令，，

则，

，所以在上单调递减，所以，

则直线的方程为，即.