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2018-2022年河北中考数学5年真题1年模拟汇编 专题06 圆（学生卷+教师卷）
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这是一份2018-2022年河北中考数学5年真题1年模拟汇编 专题06 圆（学生卷+教师卷），文件包含专题06圆-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用解析版docx、专题06圆-5年2018-2022中考1年模拟数学真题分项汇编河北专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共100页， 欢迎下载使用。
专题06 圆
5年中考真题
一、单选题
1．【2022年】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】
解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
2．【2021年】如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．
∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图，
当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
3．【2020年】有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
4．【2018年】如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
5．【2019年】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
二、解答题
6．【2022年】如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】(1)，
(2)见详解，约米
【解析】
【分析】
（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
(1)解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
(2)过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
7．【2021年】如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长的值．
【答案】（1）劣弧更长；
（2）和互相垂直，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】
（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；
（2）连接，，求出，即可得出垂直的位置关系；
（3）根据圆的知识求出，又是的切线，利用三角函数求解即可．
【详解】
（1）劣弧，
直径，
因为，故劣弧更长．
（2）如下图所示连接，，由图可知是直径，
∴对应的圆周角
∴和互相垂直．
（3）如上图所示，
∵是的切线
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、特殊角的三角函数的基本知识．半圆（或直径）所对的圆周角是直角．在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．
8．【2019年】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．
【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
9．【2018年】如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.
10．【2020年】如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．
【解析】
【分析】
（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；
②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；
（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．
【详解】
（1）①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当最大时，可知此时与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S扇EOD==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．
11．【2019年】如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．
（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧长度；（3）x≥18．
【解析】
【分析】
（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；
（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时，BP有最小值，即x≥18．
【详解】
（1）如图1，AP经过圆心O．
∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上；
∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．
在Rt△CPG中，13．
∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度．
∵2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧长度．
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于点A时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．
∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．
∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
12．【2018年】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
(1)若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
1
【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【解析】
【分析】
（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小；
（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．
(1)
解：如图1中，
由=13π，
解得n=90°，
∴∠POQ=90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO=∠BOQ，
∴tan∠PQO=tan∠QOB=，
∴OQ=，
∴x=；
(2)
解：如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小，
在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，
此时x的值为﹣32.5；
(3)
解：分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5，
此时x的值为31.5；
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，
整理得：k2+3k﹣20.79=0，
解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，
∴OQ=5k=16.5，
此时x的值为﹣16.5，
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃，
此时x的值为﹣31.5；
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【点睛】
本题考查了弧长公式、平行线的性质、解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】
解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知：如图，半径为5，切于点，交于点，，那么的长等于（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC，根据切线性质可得，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵PC为的切线，
∴，
，，
∴，
在Rt△POC中，根据勾股定理可得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握切线性质，是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断．
【详解】
解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键．
4．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·河北承德·二模）仅用无刻度的直尺完成下列画图（虚线是画图痕迹）：
①如图1，，AD＝BC，E为AD的中点，找到BD的三等分点F；
②如图2，，AD＝2BC，E为AD的中点，画出△ADC的中线DF；
③如图3，AB是半圆的直径，点C在半圆内，画出△ABC的高CF．
其中画图正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质判断即可．
【详解】
①∵AD=BC，E为AD中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即①正确；
②∵E为AD中点，
∴AE=ED，即AD=2ED，
∵AD=2BC，
∴ED=BC=AE，
∵，
∴，
∴，
∴F点为AC中点，
∴DF为△ADC的中线，，
即②正确；
③根据作图痕迹可知作图方法：延长BC、AC交圆于点D、E，连接AD、BE，并延长AD、BE交于点P，连接PC交AB于F，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴BD⊥AP，AE⊥BP，
∴可知BD、AE是△APB的高线，
∴则C点为△APB的垂心，
∴PF也是△APB的高线，
∴PF⊥AB，
∴CF是△ABC的高，即③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了复杂作图，还考查了平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质，根据作图痕迹明确作图方法是解答本题的关键．
6．（2022·河北唐山·三模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
【答案】D
【解析】
【分析】
过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明Rt△DON≌Rt△EOM（HL），得∠DON=∠EOM，因为∠B=60°，所以∠DOE=120°，即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°；根据Rt△DON≌Rt△EOM，可得四边形OMBN的面积=2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON=OM，∠MON=120°，可得∠ONM=30°，MN=2NF=2ONcos30°=ON，所以△MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可做出判断．
【详解】
解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，
∴∠ODN=∠OEM=90°，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴OD=OE，
在Rt△DON和Rt△EOM中，
，
∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），
∴∠DON=∠EOM，
∵∠B=60°，
∴∠DOE=120°，
∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°
所以甲的判断正确；
∵Rt△DON≌Rt△EOM，
∴四边形OMBN的面积=2S△BOD，
∵点D的位置固定，
∴四边形OMBN的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点O作OF⊥MN于点F，
∵ON=OM，∠MON=120°，
∴∠ONM=30°，
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON，
∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，
∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，
∴丙的判断错误．
综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
7．（2022·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，延长EO交CD于点G，作，由旋转性质知，，从而得出四边形和四边形都是矩形，且OE=OD=OC=5，继而求得，根据垂径定理可得CF的长．
【详解】
解： 矩形ABCD，AB＝10，AD＝8，
连接OE，延长EO交CD1于点G，作于点H，
是的切线，
则，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，OE=OD=OC=5，
∴，
∴，
由垂径定理可得：
∴CF=2CH=6，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
8．（2022·河北保定·一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（ ）
A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形和圆的性质，可得出△AOD为等腰直角三角形及AC的长度，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AD的长度．
【详解】
解：画出图形，如图所示．
∵AC=BD=mm，
∴AO=OD=mm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴ mm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形和圆以及等腰直角三角形的性质，根据正方形和圆的性质，确认△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，点A，B是半径为1的圆上的任意两点，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B两点间的距离可以是
B．以AB为边向内构造等边三角形，则三角形的最大面积为
C．以AB为边向内构造正方形，则正方形的面积可以为3
D．以AB为边向内构造正六边形，则正六边形的最大面积为
【答案】D
【解析】
【分析】
逐一画出相应图形，根据等边三角形性质、正方形性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识解答即可．
【详解】
解：A.的直径为2， A，B两点间的距离不可以是，故A错误；
B.如图，以AB为边向内构造等边三角形，过点O作于点C，
则
即三角形的最大面积为，故B错误；
C.如图， 以AB为边向内构造正方形，过点O作于点C，
则
即正方形的面积可以为2，故C错误；
D. 如图，以AB为边向内构造正六边形，过点O作于点C，
则是等边三角形
即正六边形的最大面积为，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆与内接正多边形，涉及勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）老师在黑板上出了这样的练习题：
如图1所示，四边形是内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．
下面是王林解答该问题的思路片段，下列选项错误的是（ ）
如图2，过点A作交BD于点M ∵★，∴，……
∴（@），∴，，
∴是等腰直角三角形，……可得．
A．★表示和都是对的圆周角
B．直接依据@表示AAS
C．是
D．图中辅助线做法也可以是在BD上取
【答案】B
【解析】
【分析】
按照题意补充完整解答过程即可求解．
【详解】
详解：完整证明如下：
∵和都是对的圆周角，故A选项正确；
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故B选项错误；
∴，，是等腰直角三角形，故C选项正确
∴，
∴，
即；
在上取，可以依据“”证明，其他不变．故D正确，
故选B
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，直角三角的性质，等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
二、填空题
11．（2022·河北承德·二模）如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．
（1）CE的最小值为______；
（2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°．
【答案】 2﹣2； 60°
【解析】
【分析】
（1）先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边的关系得到CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而得到CE的最小值；
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，先证明△ABD≌△ACE得到∠ADB＝∠AEC，再证明∠AEC＝120°，从而得到∠DEC＝60°．
【详解】
解：（1）∵△ADE为边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），
∴CE的最小值为 AC﹣2＝2﹣2；
故答案为：2﹣2．
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
而∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．
即∠DEC＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、圆的基本性质．
12．（2022·河北唐山·一模）如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则______，图中阴影部分的面积为______结果保留．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：由题意得，，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
13．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．
【答案】 3 12
【解析】
【分析】
过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】
解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
14．（2022·河北保定·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么，
（1）的长为____________．
（2）图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的边长为2，可知利用勾股定理可求出CD的长，再根据弧长计算公式即可得出结果．
（2）过点A作于M，于N，根据等边三角形的性质得到从而求 得根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵等边三角形的边长为2，
在中，
的长
故的长为：
（2）如图所示：过点A作于M，于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，
∴图中阴影部分的面积
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了扇弧长，扇形的扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．
【答案】 3：8
【解析】
【分析】
（1）根据正六边形的性质特点求出的面积即可．
（2）根据第一问，利用和面积相等求解．
【详解】
（1），
（2），
由题意是的中位线，
，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．
【答案】 180 300
【解析】
【分析】
（1）在的内心I处修建了一个凉亭，从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小就是过向三边作垂线，垂线段的和就是结论；
（2）根据图形求出长度，再求即可．
【详解】
（1）解：过作于，如图所示：
过凉亭的小路，小路c与d之间相距，
m，
是的内心，
到的三边垂线段都相等，均等于m，
从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为m，
故答案为：180；
（2）连接，如图所示：
是的内心，为的三个内角的角平分线的交点，
，
，
，
，
，
，
，
游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为300m，
故答案为：300．
【点睛】
本题考查三角形内心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形三个内角的角平分线的交点是解决问题的关键．
17．（2022·河北保定·一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是_________cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________________cm.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）利用圆的面积、等边三角形的面积．即可判断；
（2）设计方案如图，利用勾股定理求出半径即可．
【详解】
解：（1）如图1，在正六边形中，过点B作BM⊥OA，过C作CN⊥OA，
∵正六边形的边长为1，∠ABC=∠BCO= ，
∴∠BAM=，
∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，
∴AM==，四边形BMNC是矩形，
∴MN=BC=1，
同理ON=，
∴OA=AM+MN+ON=2，
如图2中，圆的半径为3，
∴底面积为9π（）；
如图3中，连接OA，OD，OB
∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°
∴OA=OB=2OD=4cm，
∴ (cm)，
∴等边三角形的边长AC=4 cm，
∴底面积=（）<9π（）
∴等边三角形作为底面积时，面积较小，底面积为 ；
（2）如图4中，设计方案如图4所示，过点G作GH⊥OE于H，
在Rt△GHE中，∠HGE= ，GE=1cm
∴GH=cm ，HE=（cm）
∴OE=4（cm）
在Rt△OET中，ET=1cm，OE= cm，
∴（cm）
∴底面半径的最小值为 cm，
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解题．
三、解答题
18．（2022·河北石家庄·三模）如图1，已知AB是半圆O的直径，，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若OD=5，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度；
(3)如图2，当射线CD与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE//OC．
①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由；
②求此时旋转角的度数．
【答案】(1)点C与点O之间距离的最小值为3
(2)
(3)①AE=OD，理由见解析；②旋转角α=54°．
【解析】
【分析】
（1）当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，据此作图即可求解；
（2）连接OC，根据切线的性质求得∠DOC=45°，利用弧长公式即可求解；
（3）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题；
(1)
解：（1）如解图①，当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，
∵CD=OA=2，OD=5，
∴OC=3．
即点C与点O之间距离的最小值为3；
(2)
解：如解图②，连接OC，
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD．
∴∠ODC=∠COD
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠DOC=45°，劣弧的长度为；
(3)
解：如图，连接OE．
∵CD=OA，CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AE∥OC，∴∠2=∠3，
设∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x，
∴∠AOE=∠OCD=180°−2x，
①AE=OD．
理由：
在△AOE与△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD(SAS)．
∴AE=OD；
②∵∠6=∠1+∠2=2x，OE=OC，
∴∠5=∠6=2x，
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180°，
即x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠ODC=36°，
∴旋转角α=90°−36°=54°．
【点睛】
本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2022·河北唐山·三模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦．
(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．
【答案】(1)；
(2)
(3)①，②
【解析】
【分析】
（1）由∠DAB=∠CBA可得AC=BD，∠CAB=∠DBA，从而由SAS可证明△CAB≌△DBA；再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠DCB=∠CDA，∠CAD=∠DBC，从而由AAS可证明△CAD≌△DBC；
（2）过D作于H，由∠DAB=15°，可得∠ODB=∠DAB+∠ADO=30°，即知DH=，，故
，即得；
（3）①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，根据直径AB=6，弦CD=3，可得△COD是等边三角形，而M是CD的中点，即知CM =，OM⊥CD，OM=，ME=，即得当OE最大时，ME最小，而△COD是等边三角形，即可得点M到AB的距离的最小值是；
②根据OM=，知M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，当C与A重合时，∠AOM =30°，即可得∠MOM '=120°，故点M的运动路径长为．
(1)
证明：∵，
∴∠CAD=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA（SAS）；
∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，
∴∠CDA=∠DCB，
在△CAD和△DBC中，
∴△CAD≌△DBC（AAS）；
(2)
解：过作于，如图：
∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴；
答：阴影部分面积是；
(3)
①，②
解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：
∵直径AB=6，弦CD=3，
∴OC=OD=CD=3，
∴△COD是等边三角形，
∵M是CD的中点，
∴CM =，OM⊥CD，
∴OM=，
∴ME=，
∴当OE最大时，ME最小，
而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图：
∵△COD是等边三角形，M是CD的中点，
∴∠MOC=30°，
∴ME= ，
即点M到AB的距离的最小值是，
故答案为：；
②如图，
由①知：OM，M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，
当C与A重合时，∠AOM=30°，
同理，当D与B重合时，∠BOM '=30°，
∴∠MOM '=120°，
∴点M的运动路径长为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形的判定，圆的性质及圆中的相关计算，解题的关键是掌握M点的轨迹是以O为圆心，为半径的弧．
20．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
【答案】探索：；
思考：（1）；（2）；＜
（3）
【解析】
【分析】
探索：利用勾股定理可以求出BQ的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出CH的最小值．
思考：（1）利用面积法建立方程求出O点到CD的距离，再利用扇形面积公式计算扇形OHQ的面积．
（2）利用勾股定理求出CP，进一步求出运动时间后，可以求出角度，利用等边三角形的判定与性质和弧长公式计算后即可完成求解．
（3）分析弧与平行四边形的边有两个交点情况的界点值即可求解．
【详解】
索：解：如图，连接BQ，CO，
当点P与点M重合时，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
当C、H、O三点共线时，CH+HO的值最小，由HO为定值，即CH的值最小，
∵，
∴，
故答案为：；．
思考：（1）如图所示，当PQ与D点在一条直线上时，
则，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
设O点到CD的距离为h，
∵
∴，
∵，半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，
∴运动了4秒，
∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，
∴，
∴扇形OHQ的面积为；
故答案为：O点到CD的距离为，扇形OHQ的面积为．
（2）如图，连接OK，CO，当圆O与CD相切于点K时，
则OK⊥CD，
∴CO平分∠DCM，
∴∠DCO=∠OCM=30°，
∴CO=2OK=6，
∴Rt△COP中，，
∴，
∴运动时间为秒，
∴∠HOQ= ，
∴的度数为，
弧HQ的长为；
连接KQ，由∠DCP=60°，∠OKC=90°，∠OPC=90°，
∴∠KOP=120°，
∴∠KOQ=60°，
∵OK=OQ，
∴△KOQ是等边三角形，
∴KQ=3，
∴弧HQ长＜弦KQ长，
故答案为： ，弧HQ长＜弦KQ长．
（3）
理由：如图，当半圆的圆弧与AB相切时，切点记为N，连接ON，OB，
∴BO平分∠ABP，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABP=60°，
∴∠OBP=30°，
∴，
∴，
∴运动时间为秒，
此时，，；
当Q点运动到AB上时，如图所示，
此时，
∴
∴运动时间为秒，
此时，，；
∴．
【点睛】
本题考差了圆的运动问题和圆上的点的运动的问题，涉及到了切线的判定与性质、特殊角的三角函数的应用等，解题关键是找出界点值并进行求解．
21．（2022·河北承德·二模）如图，四边形BODE是周长为4的菱形，∠E＝60°，以O为圆心，OD长为半径作弧交BO的延长线于点C，过点C作CA⊥BC交BD的延长线于点A，P为AC的中点．
(1)求PD的长；
(2)求证：直线PD是弧DC的切线；
(3)直接写出扇形COD的面积．
【答案】(1)PD=；
(2)见解析
(3)扇形COD的面积为．
【解析】
【分析】
（1）证明△BOD和△BED都是边长为1的等边三角形，求得AC=2，利用圆周角定理证明△ACD是直角三角形，利用直角三角形斜边的性质即可求解；
（2）证明△OCP≌△ODP(SSS)，推出∠OCP=∠ODP=90°，即可证明结论；
（3）利用扇形面积公式即可求解．
(1)
解：∵四边形BODE是周长为4的菱形，∠E＝60°，
∴△BOD和△BED都是边长为1的等边三角形，
∴∠CBD=∠BOD=∠BDO=60°，BO=OD=BD=OC=1，
∵CA⊥BC，
∴∠A=30°，
∴AC==2，
连接DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，则△ACD是直角三角形，
∵P为AC的中点，
∴PD=AC=；
(2)
证明：连接DC，OP，
∵△ACD是直角三角形，且P为斜边AC的中点，
∴PC=PD，
∵OD=OC，OP=OP，
∴△OCP≌△ODP(SSS)，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线PD是弧DC的切线；
(3)
解：∵∠BOD=60°，OD=OC=1，
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积==．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定，扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022·河北保定·二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形AOB，将扇形AOB放置在数轴上，使点B与原点重合且OB垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上时停止滚动．记优弧AB与数轴的切点为点P，过点A作直线l平行于数轴，当l与弧AB有两个公共点时，记另一个公共点为点C，将直线l绕点C顺时针旋转，得到直线m，交数轴于点Q．
(1)当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为___________；
(2)当直线l经过圆心O时，线段PQ的长度为___________；
(3)当CQ与扇形AOB所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数；
(4)直接写出整个运动过程中PQ长度的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）滚动的距离即对应数轴上的实数，求优弧AB的长度即可；
（2）分两种情况：点A在点C左边时，；点A在点C右边时，；
（3）连接，作于点M，则M为中点，求出，利用角的度数和等于证明为直径，连接，则数轴，优弧所对圆心角为，作数轴于点N，，求出点对应的实数；
（4）当m切圆于右侧时，最大；
(1)
解：当点A在数轴上时，滚动的距离为，对应数轴上的实数为，
故答案是：；
(2)
第一种情况，如图，
直线l过圆心O，过点C作于点D，
数轴与相切，
，
，
，
，
四边形OPDC是矩形，
，
，
，
在中，，
，
；
第二种情况，如图，
同上可得，；
综上可得PQ的长为：或；
(3)
如图，连接，可知．
∵与相切，
∴，
∴，
作于点M，则M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即为直径，
连接，则数轴，
优弧所对圆心角为，
∴点P对应的实数为，
作数轴于点N，则，
∴，
∴点Q对应的实数为；
(4)
如图，
当m切圆于右侧时．最大，．
【点睛】
本题考查圆的综合题，涉及知识点：弧长的计算、特殊的三角函数值的计算、垂径定理、解直角三角形，解题关键构造需要的直角三角形和矩形．
23．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，是边上一点，点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设．
(1)________，________，当点在上时，求的值；
(2)为何值时，与相切？
(3)当时，求阴影部分的面积；
(4)若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)5，1，
(2)
(3)
(4)或
【解析】
【分析】
（1）先由勾股定理求得AB，再由BD＝BA，可得BD的长，从而CD的长可求；当点Q在⊙P上时，如图1，根据PQ＝PD推得BP＝PD，从而列出方程，解得x的值即可；
（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，由正弦得出关于x 的方程，解得x的值即可；
（3）如图3，连接PE，利用S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE即可得出答案；
（4）由图1和图2即可得出答案．
(1)
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵BD＝BA，
∴BD＝5，
∴CD＝1．
故答案为：5，1；
当点Q在⊙P上时，如图1，
PQ＝PD．
∴BP＝PD，
即4﹣x＝x+1．
解得x＝．
(2)
解：作于点，则∠BFP＝90°，当时，与相切，如图2．
则，BP＝4－x，
∵，
∴．
解得．
经检验，解得是分式方程的解，且满足题意．
∴当时，与相切．
(3)
解：如图3，连接，
∵在中，，．
∴cos∠EPC＝，
∴，
∴，
∴．
(4)
解：由图2可知，当时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；
由图1可知，当＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点．
∴x的取值范围为：或＜x＜4．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）在扇形AOB中，半径，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．
(1)如图，若，且与弧AB所在的圆相切于点B．
①求的度数；
②求OP的长．
(2)如图，与弧AB相交于点D，若点D为弧AB的中点，且，直接写出弧AB的长．
【答案】(1)①；②；
(2)弧AB的长为．
【解析】
【分析】
（1）①由折叠得到，再由直线与圆相切得，根据三角形的内角和定理可求得答案；
②过点O作于点H，由①得，由特殊三角形的边角关系可求得答案；
（2）连接OD，AD，设，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，再由三角形的内角和建立方程，求解可得，从而有，由弧长公式可求得答案．
(1)
解：①因为将沿PB折叠得到，
所以，
又与弧AB所在的圆相切于点B，
所以，
所以，
又，
所以
，
所以；
②过点O作于点H，
由①得，
所以三角形OBH是等腰直角三角形，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以；
(2)
解：弧AB的长为．理由如下：
连接OD，AD，设，
则，
又点D为弧AB的中点，
所以AD=BD，
又OA＝OB＝OD，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以DP＝DB，
所以DP＝DA，
所以，
所以，
所以，
在三角形OBD中，，，
所以，
解得，
所以，
所以弧AB的长为．
【点睛】
本题考查三角形的折叠时的边、角关系，直线与圆的位置关系，以及等腰三角形，直角三角形的性质，解决问题的关键在于熟练掌握以上性质.
25．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，已知的半径为2，四边形ABCD内接于，，点A平分，延长OD至点M，使得，连接AM．
(1)当点C在优弧BD上移动时，AM的位置_______；（选填“改变”或“不变”）
(2)判断AM与的位置关系，并说明理由；
(3)当点C在优弧BD上移动时，若，求的长．
【答案】(1)不变
(2)AM与相切，理由见解析
(3)或
【解析】
【分析】
（1）当点C在优弧BD上移动时，由其他点的位置不发生变化即可得出结果；
（2）连接OA，由圆内接四边形及圆周角定理得出，，结合图形，利用各角之间的关系即可得证明；
（3）分两种情况进行分析讨论，作出相应图形，然后根据各角之间的数量关系及弧长公式求解即可得．
(1)
解：当点C在优弧BD上移动时，
点O，B,A，D的位置不会发生变化，
∴AM的位置不变，
故答案为：不变；
(2)
AM与相切．
理由：连接OA，
∵四边形ABCD内接于，，
∴，
∴
∵点A平分弧BD，
∴，
又∵在中，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴与相切．
(3)
情况一（如图1所示），连接OG，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∵，，
弧CD的长为．
情况二（如图2所示），连接OC，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∵，，
弧CD的长为．
综上可得：弧CD的长为或．
【点睛】
题目主要考查直线与圆的位置关系，圆周角定理，弧长公式，切线的判定及性质等，理解题意，综合运用这些知识点作出相应图形是解题关键．
26．（2022·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为．
(1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________；
(2)探究：当秒时，
①连接、，判断是否垂直；
②求半圆O与矩形重叠部分的面积；
(3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离．
【答案】(1)4；
(2)①不垂直；②
(3)或
【解析】
(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴当A，D，E组成直角三角形时，且AE是斜边时，点D在半圆O上．
∴当点E与点C重合时，点D开始落在半圆O上．
∵AB=3，BC=4，点E的运动速度是每秒1个单位，
∴（秒），．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∴此时半圆O的半径为．
故答案为：4；．
(2)
解：①如下图所示，取BE的中点为P，连接OP，OB，OC．
∵秒，
∴．
∵点P是BE中点，
∴．
∵BC=4，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴点O是AE中点．
∴OP是△ABE的中位线．
∴，．
∴∠OPE=∠ABC=90°．
∴∠OPB=180°-∠OPE=90°．
∵AB=3，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴OB与OC不垂直．
②如下图所示，设半圆O与AD的另一交点为M，过点O作ON⊥AM于N．
∵，AB=3，
∴．
∴∠AEB=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABC=90°．
∴∠OAM=∠AEB=60°，．
∴．
∵ON⊥AM，
∴．
∵OA=OM，
∴△OAM是等边三角形．
∴∠AOM=60°，．
∴，∠EOM=180°-∠AOM=120°．
∴．
∴半圆O与矩形重叠部分的面积为．
(3)
解：如图1所示，当t=0时，点E与点B重合，此时半圆O与BC相切于点B，与AD相切于点A，连接AC，过点B作BF⊥AC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴，．
∴．
∴此时点E到的距离是．
如图2所示，当半圆O与CD相切于点F时，连接FO并延长交AB于G，连接AC，过点E作EQ⊥AC于Q，设半圆O的半径为x．
∴OA=OE=OF=x．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∵半圆O与CD相切于点F，
∴∠OFC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABE=∠BCD=90°．
∴∠OGA=∠OFC=90°，四边形BGFC是矩形．
∴，∠OGA=∠ABE，GF=BC．
∴．
∴．
∵AB=3，BC=4，
∴，GF=BC=4．
∴OG=GF-OF=4-x．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AC=5，
∴．
∴此时点E到的距离是．
∴若半圆O与矩形的边相切时，点E到的距离是或．
图1 图2
【点睛】
本题考查矩形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理逆定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，平行线的判定定理和性质，等边三角形的判定定理和性质，三角形面积公式，扇形面积公式，切线的性质定理，平行线分线段成比例定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．
27．（2022·河北张家口·一模）如图，扇形和扇形的圆心角均为，其中扇形保持不动，扇形绕点O旋转，己知．
(1)如图1：连接，
①若与所在圆相切，求的度数；
②当的面积最大时，求的长；
(2)如图1：连接，当点C落在上时，直接写出扇形与扇形重合部分的面积．
【答案】(1)①；②
(2)或
【解析】
【分析】
（1）① 根据切线性质，利用直角三角形锐角三角函数特殊值求角度即可求得答案．
②根据题意，当的面积最大时，则，根据勾股定理即可求得答案．
（2）过点作于点，利用锐角三角函数特殊三角函数值求角度的方法求出，则当点在上和当点在上两种情况讨论， 求出即可求出答案．
(1)
解：①若与所在圆相切，
则，
，
在中，，
，
，
的度数为．
②，当时，点到的距离最大，
当的面积最大时，，
，
，
即当的面积最大时，的长为：．
(2)
当点落在上时，过点作于点，则，
，，
，
在中，
，
，
若点在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合部分的面积为，
若点在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合的部分的面积为，
综上所述，当点落在上时，扇形与扇形重合的部分的面积为或．
【点睛】
本题考查了切线的性质、锐角三角函数特殊三角函数值求角度、求扇形的面积知识点，熟练掌握锐角三角函数特殊三角函数值求角度及扇形的面积公式，结合分类讨论思想是解题的关键．
28．（2022·河北·二模）如图，点P是△ABC内一点，，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作交AB于点M，连接PM，与交于点F，过点P作交BC于点N．
(1)求证：；
(2)已知，．
①通过计算比较线段PN和哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)见详解
(2)①PN更长；②S阴影=
【解析】
【分析】
（1）根据，得出∠PDN=90°，根据旋转性质得出PD=PE，∠DPE=90°，可证∠EPM=∠DPN，然后利用ASA证明 即可；
（2）①根据，得出EM=DN=，利用勾股定理可求，然后利用锐角三角函数求出∠DPN=30°，求出圆心角∠DPF=90°-30°=60°，利用弧长公式求出即可；②根据，得出∠EPM=∠DPN=30°，EP=DP=3，利用割补法求S阴影=S△EPM-S扇形PEF即可．
(1)
证明：∵，
∴∠PDN=90°，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，
∴PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠EPM+∠MPD=90°，
∵，
∴∠MEP=∠NDP=90°，
∵，
∴∠MPD+∠DPN=90°，
∴∠EPM=∠DPN，
在△PEM和△PDN中，
，
∴（ASA）；
(2)
解：①∵，
∴EM=DN=，
在Rt△PDN中，
，
∴sin∠DPN=，
∴∠DPN=30°，
∴∠DPF=90°-30°=60°，
∴，
∵；
∴PN更长；
②∵，
∴∠EPM=∠DPN=30°，EP=DP=3，
∴S阴影=S△EPM-S扇形PEF=．
【点睛】
本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式是解题关键
29．（2022·河北保定·一模）如图1和图2，在四边形中，，，，，，，点E是上一动点．
(1)________；
(2)如图1，当平分时，求的面积；
(3)如图2，点E从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时，点F从点C出发，以的速度沿边在C，B间往返运动．当点E到达点D时停止运动，点F也随之停止．连接，，，设与交于点G，点E的运动时间为．
①当时，判断的外心与的位置关系，并说明理由；
②若，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①的外心在上，见解析；②或或
【解析】
【分析】
（1）过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，可得到四边形ABPD是矩形，从而得到BP=AD=5cm，PD=AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）先证得．再利用的面积为，即可求解；
（3）①根据题意可得当时，，．可得到，从而得到四边形是矩形．进而得到是直角三角形．即可求解；
②先证得△DEG∽△FCG，可得，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
(1)
解：如图，过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，
∵，，
∴AB⊥AD，
∴∠A=∠B=∠BPD=90°，
∴四边形ABPD是矩形，
∴BP=AD=5cm，PD=AB，
∴PC=BC-BP=2cm，
∴；
故答案为：；
(2)
解：，
．AD⊥PD，
∵平分，
∴．
．
．
的面积为．
(3)
解：①的外心在上．理由如下：
当时，，．
．
∴AE=BF，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，即是直角三角形．
的外心在上；
②∵AD∥BC，
∴△DEG∽△FCG，
∴，
∵，
∴，
根据题意得：点F从点C运动到点B的所用的时间为，点E运动到D的所用的时间为5s， AE=tcm，
∴DE=（5-t）cm，
当时，CF=，
∴，解得：；
当时，CF=（14-4t）cm，
∴，解得：；
当时，CF=（4t-14）cm，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外心的位置，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
30．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．
(1)求的半径；
(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；
(3)①点P的运动路径长是___________；
②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．
【答案】(1)4
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）根据为的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与所围成的弓形的面积等于，即可求解；
（3）①由BC=4，，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；②设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，分两种情况讨论：当点D在线段OC上时，当点D在线段OA上时，即可求解．
(1)
解：∵为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，，
∴，
∴BC=4，
∴的半径为4；
(2)
解：如图，设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，
由（1）得：OA=OM=4，
∵，
∴OA=AM=OM，
∴△OAM是等边三角形，
∴∠OAM=60°，AP=2，
∵AP=PQ，
∴△APQ为等边三角形，
∴，AQ=2，
∴半圆P与所围成的弓形的面积等于；
(3)
解：①如图，连接OP，OM，ON，
∵BC=4，，
∴当M与点B重合时，点N与点C重合，
∴点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，
由（1）得：OA=OM=ON=4，BC=4，
∵，
∴ON=AM=OM，
∴△ONM是等边三角形，
∴∠NOM=60°，
∴，
∴点P的运动路径长是；
故答案为：
②如图，设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，
当点D在线段OC上时，PD⊥OC，
由（2）得：PD=2，由①得：，
∴，
∴；
当点D在线段OA上时，PD⊥OA，
同理，
综上所述，与夹角的正切值为．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
专题06 圆
5年中考真题
一、单选题
1．【2022年】某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．
【详解】
解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
2．【2021年】如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：
①以为圆心，为半径画圆；
②在上任取一点（不与点，重合），连接；
③作的垂直平分线与交于，；
④作的垂直平分线与交于，．
结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
【详解】
解：Ⅰ、如图所示．
∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴．
∴．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴．
如图，
当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证：．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D
【点睛】
本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．
3．【2020年】有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
4．【2018年】如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
5．【2019年】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】
三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心．
二、解答题
6．【2022年】如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】(1)，
(2)见详解，约米
【解析】
【分析】
（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
(1)解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
(2)过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
7．【2021年】如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长的值．
【答案】（1）劣弧更长；
（2）和互相垂直，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】
（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；
（2）连接，，求出，即可得出垂直的位置关系；
（3）根据圆的知识求出，又是的切线，利用三角函数求解即可．
【详解】
（1）劣弧，
直径，
因为，故劣弧更长．
（2）如下图所示连接，，由图可知是直径，
∴对应的圆周角
∴和互相垂直．
（3）如上图所示，
∵是的切线
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、特殊角的三角函数的基本知识．半圆（或直径）所对的圆周角是直角．在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．
8．【2019年】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．
【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．
【解析】
【分析】
（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．
（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
【详解】
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．
当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．
∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°
∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．
【点睛】
本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
9．【2018年】如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN；
（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.
10．【2020年】如图，点为中点，分别延长到点，到点，使．以点为圆心，分别以，为半径在上方作两个半圆．点为小半圆上任一点（不与点，重合），连接并延长交大半圆于点，连接，．
（1）①求证：；
②写出∠1，∠2和三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）．
【答案】（1）①见详解；②∠2=∠C+∠1；（2）与小半圆相切，．
【解析】
【分析】
（1）①直接由已知即可得出AO=PO，∠AOE=∠POC，OE=OC，即可证明；
②由（1）得△AOE≌△POC，可得∠1=∠OPC，根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，即可得出答案；
（2）当最大时，可知此时与小半圆相切，可得CP⊥OP，然后根据，可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，可得出∠EOD，即可求出S扇EOD．
【详解】
（1）①在△AOE和△POC中，
∴△AOE≌△POC；
②∠2=∠C+∠1，理由如下：
由（1）得△AOE≌△POC，
∴∠1=∠OPC，
根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC，
∴∠2=∠C+∠1；
（2）在P点的运动过程中，只有CP与小圆相切时∠C有最大值，
∴当最大时，可知此时与小半圆相切，
由此可得CP⊥OP，
又∵，
∴可得在Rt△POC中，∠C=30°，∠POC=60°，
∴∠EOD=180°-∠POC=120°，
∴S扇EOD==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识点灵活运用是解题关键．
11．【2019年】如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．
（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；
（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；
（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧长度；（3）x≥18．
【解析】
【分析】
（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；
（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时，BP有最小值，即x≥18．
【详解】
（1）如图1，AP经过圆心O．
∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上；
∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．
（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．
∵▱ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；
连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．
在Rt△CPG中，13．
∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度．
∵2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧长度．
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于点A时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．
∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．
∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．
∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，解直角三角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题．
12．【2018年】如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
(1)若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
1
【答案】（1）∠POA=90°，x=；（2）当直线PQ与⊙O相切时时，此时x的值为﹣32.5；（3）满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【解析】
【分析】
（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小；
（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．
(1)
解：如图1中，
由=13π，
解得n=90°，
∴∠POQ=90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO=∠BOQ，
∴tan∠PQO=tan∠QOB=，
∴OQ=，
∴x=；
(2)
解：如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小，
在Rt△OPQ中，OQ=OP÷=32.5，
此时x的值为﹣32.5；
(3)
解：分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5，
此时x的值为31.5；
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH=4k，QH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5+3k）2，
整理得：k2+3k﹣20.79=0，
解得k=﹣6.3（舍弃）或3.3，
∴OQ=5k=16.5，
此时x的值为﹣16.5，
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，AH=3k，
在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，
∴262=（4k）2+（12.5﹣3k）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79=0，
解得k=6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃，
此时x的值为﹣31.5；
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【点睛】
本题考查了弧长公式、平行线的性质、解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．
【详解】
解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知：如图，半径为5，切于点，交于点，，那么的长等于（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OC，根据切线性质可得，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵PC为的切线，
∴，
，，
∴，
在Rt△POC中，根据勾股定理可得：
，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握切线性质，是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断．
【详解】
解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键．
4．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】
解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·河北承德·二模）仅用无刻度的直尺完成下列画图（虚线是画图痕迹）：
①如图1，，AD＝BC，E为AD的中点，找到BD的三等分点F；
②如图2，，AD＝2BC，E为AD的中点，画出△ADC的中线DF；
③如图3，AB是半圆的直径，点C在半圆内，画出△ABC的高CF．
其中画图正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质判断即可．
【详解】
①∵AD=BC，E为AD中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即①正确；
②∵E为AD中点，
∴AE=ED，即AD=2ED，
∵AD=2BC，
∴ED=BC=AE，
∵，
∴，
∴，
∴F点为AC中点，
∴DF为△ADC的中线，，
即②正确；
③根据作图痕迹可知作图方法：延长BC、AC交圆于点D、E，连接AD、BE，并延长AD、BE交于点P，连接PC交AB于F，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴BD⊥AP，AE⊥BP，
∴可知BD、AE是△APB的高线，
∴则C点为△APB的垂心，
∴PF也是△APB的高线，
∴PF⊥AB，
∴CF是△ABC的高，即③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了复杂作图，还考查了平行四边形的性质、平行的性质以及三角形垂心的性质，根据作图痕迹明确作图方法是解答本题的关键．
6．（2022·河北唐山·三模）如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
【答案】D
【解析】
【分析】
过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明Rt△DON≌Rt△EOM（HL），得∠DON=∠EOM，因为∠B=60°，所以∠DOE=120°，即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°；根据Rt△DON≌Rt△EOM，可得四边形OMBN的面积=2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON=OM，∠MON=120°，可得∠ONM=30°，MN=2NF=2ONcos30°=ON，所以△MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可做出判断．
【详解】
解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，
∴∠ODN=∠OEM=90°，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴OD=OE，
在Rt△DON和Rt△EOM中，
，
∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），
∴∠DON=∠EOM，
∵∠B=60°，
∴∠DOE=120°，
∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°
所以甲的判断正确；
∵Rt△DON≌Rt△EOM，
∴四边形OMBN的面积=2S△BOD，
∵点D的位置固定，
∴四边形OMBN的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点O作OF⊥MN于点F，
∵ON=OM，∠MON=120°，
∴∠ONM=30°，
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON，
∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，
∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，
∴丙的判断错误．
综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
7．（2022·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1，使A1B1与⊙O相切于点E，CB1与⊙O相交于点F，则CF的长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OE，延长EO交CD于点G，作，由旋转性质知，，从而得出四边形和四边形都是矩形，且OE=OD=OC=5，继而求得，根据垂径定理可得CF的长．
【详解】
解： 矩形ABCD，AB＝10，AD＝8，
连接OE，延长EO交CD1于点G，作于点H，
是的切线，
则，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，OE=OD=OC=5，
∴，
∴，
由垂径定理可得：
∴CF=2CH=6，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
8．（2022·河北保定·一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（ ）
A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形和圆的性质，可得出△AOD为等腰直角三角形及AC的长度，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AD的长度．
【详解】
解：画出图形，如图所示．
∵AC=BD=mm，
∴AO=OD=mm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴ mm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形和圆以及等腰直角三角形的性质，根据正方形和圆的性质，确认△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．
9．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，点A，B是半径为1的圆上的任意两点，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B两点间的距离可以是
B．以AB为边向内构造等边三角形，则三角形的最大面积为
C．以AB为边向内构造正方形，则正方形的面积可以为3
D．以AB为边向内构造正六边形，则正六边形的最大面积为
【答案】D
【解析】
【分析】
逐一画出相应图形，根据等边三角形性质、正方形性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识解答即可．
【详解】
解：A.的直径为2， A，B两点间的距离不可以是，故A错误；
B.如图，以AB为边向内构造等边三角形，过点O作于点C，
则
即三角形的最大面积为，故B错误；
C.如图， 以AB为边向内构造正方形，过点O作于点C，
则
即正方形的面积可以为2，故C错误；
D. 如图，以AB为边向内构造正六边形，过点O作于点C，
则是等边三角形
即正六边形的最大面积为，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆与内接正多边形，涉及勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）老师在黑板上出了这样的练习题：
如图1所示，四边形是内接四边形，连接AC、BD．BC是⊙O的直径，．请说明线段AD、BD、CD之间的数量关系．
下面是王林解答该问题的思路片段，下列选项错误的是（ ）
如图2，过点A作交BD于点M ∵★，∴，……
∴（@），∴，，
∴是等腰直角三角形，……可得．
A．★表示和都是对的圆周角
B．直接依据@表示AAS
C．是
D．图中辅助线做法也可以是在BD上取
【答案】B
【解析】
【分析】
按照题意补充完整解答过程即可求解．
【详解】
详解：完整证明如下：
∵和都是对的圆周角，故A选项正确；
∴，
∵BC是⊙O的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故B选项错误；
∴，，是等腰直角三角形，故C选项正确
∴，
∴，
即；
在上取，可以依据“”证明，其他不变．故D正确，
故选B
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，直角三角的性质，等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
二、填空题
11．（2022·河北承德·二模）如图，在等边△ABC中，，点D在△ABC内部或其边上，AD＝2，以AD为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．
（1）CE的最小值为______；
（2）当ED的延长线经过点B时，∠DEC＝______°．
【答案】 2﹣2； 60°
【解析】
【分析】
（1）先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边的关系得到CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而得到CE的最小值；
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，先证明△ABD≌△ACE得到∠ADB＝∠AEC，再证明∠AEC＝120°，从而得到∠DEC＝60°．
【详解】
解：（1）∵△ADE为边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC﹣AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），
∴CE的最小值为 AC﹣2＝2﹣2；
故答案为：2﹣2．
（2）当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，
而∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．
即∠DEC＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、圆的基本性质．
12．（2022·河北唐山·一模）如图，已知圆的半径，以为边分别作正五边形和正六边形，则______，图中阴影部分的面积为______结果保留．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据多边形内角和公式计算出、的度数，再求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】
解：由题意得，，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，熟练运用多边形内角和公式和扇形面积公式是解题的关键．
13．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．
【答案】 3 12
【解析】
【分析】
过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】
解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
14．（2022·河北保定·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么，
（1）的长为____________．
（2）图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的边长为2，可知利用勾股定理可求出CD的长，再根据弧长计算公式即可得出结果．
（2）过点A作于M，于N，根据等边三角形的性质得到从而求 得根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵等边三角形的边长为2，
在中，
的长
故的长为：
（2）如图所示：过点A作于M，于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，
∴图中阴影部分的面积
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了扇弧长，扇形的扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．
【答案】 3：8
【解析】
【分析】
（1）根据正六边形的性质特点求出的面积即可．
（2）根据第一问，利用和面积相等求解．
【详解】
（1），
（2），
由题意是的中位线，
，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（2022·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边AB、AC相交于点D、E，，小路c与d之间相距，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为_________m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为_________m．
【答案】 180 300
【解析】
【分析】
（1）在的内心I处修建了一个凉亭，从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小就是过向三边作垂线，垂线段的和就是结论；
（2）根据图形求出长度，再求即可．
【详解】
（1）解：过作于，如图所示：
过凉亭的小路，小路c与d之间相距，
m，
是的内心，
到的三边垂线段都相等，均等于m，
从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为m，
故答案为：180；
（2）连接，如图所示：
是的内心，为的三个内角的角平分线的交点，
，
，
，
，
，
，
，
游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走的这段路程长为300m，
故答案为：300．
【点睛】
本题考查三角形内心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形三个内角的角平分线的交点是解决问题的关键．
17．（2022·河北保定·一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是_________cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________________cm.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）利用圆的面积、等边三角形的面积．即可判断；
（2）设计方案如图，利用勾股定理求出半径即可．
【详解】
解：（1）如图1，在正六边形中，过点B作BM⊥OA，过C作CN⊥OA，
∵正六边形的边长为1，∠ABC=∠BCO= ，
∴∠BAM=，
∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，
∴AM==，四边形BMNC是矩形，
∴MN=BC=1，
同理ON=，
∴OA=AM+MN+ON=2，
如图2中，圆的半径为3，
∴底面积为9π（）；
如图3中，连接OA，OD，OB
∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°
∴OA=OB=2OD=4cm，
∴ (cm)，
∴等边三角形的边长AC=4 cm，
∴底面积=（）<9π（）
∴等边三角形作为底面积时，面积较小，底面积为 ；
（2）如图4中，设计方案如图4所示，过点G作GH⊥OE于H，
在Rt△GHE中，∠HGE= ，GE=1cm
∴GH=cm ，HE=（cm）
∴OE=4（cm）
在Rt△OET中，ET=1cm，OE= cm，
∴（cm）
∴底面半径的最小值为 cm，
故答案为：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解题．
三、解答题
18．（2022·河北石家庄·三模）如图1，已知AB是半圆O的直径，，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，在直线DF上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线CD绕点D逆时针旋转，旋转角为．
(1)若OD=5，求点C与点O之间距离的最小值；
(2)当射线DC与⊙O相切于点C时，求劣弧BC的长度；
(3)如图2，当射线CD与半圆O相交于点C，另一交点为E时，连接AE，OC，若AE//OC．
①猜想AE与OD的数量关系，并说明理由；
②求此时旋转角的度数．
【答案】(1)点C与点O之间距离的最小值为3
(2)
(3)①AE=OD，理由见解析；②旋转角α=54°．
【解析】
【分析】
（1）当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，据此作图即可求解；
（2）连接OC，根据切线的性质求得∠DOC=45°，利用弧长公式即可求解；
（3）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题；
(1)
解：（1）如解图①，当点C在线段OD上时，点C与点O之间的距离最小，
∵CD=OA=2，OD=5，
∴OC=3．
即点C与点O之间距离的最小值为3；
(2)
解：如解图②，连接OC，
∵OC=OA，CD=OA，
∴OC=CD．
∴∠ODC=∠COD
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠DOC=45°，劣弧的长度为；
(3)
解：如图，连接OE．
∵CD=OA，CD=OC=OE=OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AE∥OC，∴∠2=∠3，
设∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x，
∴∠AOE=∠OCD=180°−2x，
①AE=OD．
理由：
在△AOE与△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD(SAS)．
∴AE=OD；
②∵∠6=∠1+∠2=2x，OE=OC，
∴∠5=∠6=2x，
∵AE∥OC，
∴∠4+∠5+∠6=180°，
即x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠ODC=36°，
∴旋转角α=90°−36°=54°．
【点睛】
本题考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2022·河北唐山·三模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦．
(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．
【答案】(1)；
(2)
(3)①，②
【解析】
【分析】
（1）由∠DAB=∠CBA可得AC=BD，∠CAB=∠DBA，从而由SAS可证明△CAB≌△DBA；再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠DCB=∠CDA，∠CAD=∠DBC，从而由AAS可证明△CAD≌△DBC；
（2）过D作于H，由∠DAB=15°，可得∠ODB=∠DAB+∠ADO=30°，即知DH=，，故
，即得；
（3）①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，根据直径AB=6，弦CD=3，可得△COD是等边三角形，而M是CD的中点，即知CM =，OM⊥CD，OM=，ME=，即得当OE最大时，ME最小，而△COD是等边三角形，即可得点M到AB的距离的最小值是；
②根据OM=，知M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，当C与A重合时，∠AOM =30°，即可得∠MOM '=120°，故点M的运动路径长为．
(1)
证明：∵，
∴∠CAD=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA（SAS）；
∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，
∴∠CDA=∠DCB，
在△CAD和△DBC中，
∴△CAD≌△DBC（AAS）；
(2)
解：过作于，如图：
∵半圆O中，直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
∴；
答：阴影部分面积是；
(3)
①，②
解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：
∵直径AB=6，弦CD=3，
∴OC=OD=CD=3，
∴△COD是等边三角形，
∵M是CD的中点，
∴CM =，OM⊥CD，
∴OM=，
∴ME=，
∴当OE最大时，ME最小，
而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图：
∵△COD是等边三角形，M是CD的中点，
∴∠MOC=30°，
∴ME= ，
即点M到AB的距离的最小值是，
故答案为：；
②如图，
由①知：OM，M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，
当C与A重合时，∠AOM=30°，
同理，当D与B重合时，∠BOM '=30°，
∴∠MOM '=120°，
∴点M的运动路径长为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形的判定，圆的性质及圆中的相关计算，解题的关键是掌握M点的轨迹是以O为圆心，为半径的弧．
20．（2022·河北石家庄·二模）如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．
探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
【答案】探索：；
思考：（1）；（2）；＜
（3）
【解析】
【分析】
探索：利用勾股定理可以求出BQ的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出CH的最小值．
思考：（1）利用面积法建立方程求出O点到CD的距离，再利用扇形面积公式计算扇形OHQ的面积．
（2）利用勾股定理求出CP，进一步求出运动时间后，可以求出角度，利用等边三角形的判定与性质和弧长公式计算后即可完成求解．
（3）分析弧与平行四边形的边有两个交点情况的界点值即可求解．
【详解】
索：解：如图，连接BQ，CO，
当点P与点M重合时，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
当C、H、O三点共线时，CH+HO的值最小，由HO为定值，即CH的值最小，
∵，
∴，
故答案为：；．
思考：（1）如图所示，当PQ与D点在一条直线上时，
则，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
设O点到CD的距离为h，
∵
∴，
∵，半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，
∴运动了4秒，
∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，
∴，
∴扇形OHQ的面积为；
故答案为：O点到CD的距离为，扇形OHQ的面积为．
（2）如图，连接OK，CO，当圆O与CD相切于点K时，
则OK⊥CD，
∴CO平分∠DCM，
∴∠DCO=∠OCM=30°，
∴CO=2OK=6，
∴Rt△COP中，，
∴，
∴运动时间为秒，
∴∠HOQ= ，
∴的度数为，
弧HQ的长为；
连接KQ，由∠DCP=60°，∠OKC=90°，∠OPC=90°，
∴∠KOP=120°，
∴∠KOQ=60°，
∵OK=OQ，
∴△KOQ是等边三角形，
∴KQ=3，
∴弧HQ长＜弦KQ长，
故答案为： ，弧HQ长＜弦KQ长．
（3）
理由：如图，当半圆的圆弧与AB相切时，切点记为N，连接ON，OB，
∴BO平分∠ABP，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABP=60°，
∴∠OBP=30°，
∴，
∴，
∴运动时间为秒，
此时，，；
当Q点运动到AB上时，如图所示，
此时，
∴
∴运动时间为秒，
此时，，；
∴．
【点睛】
本题考差了圆的运动问题和圆上的点的运动的问题，涉及到了切线的判定与性质、特殊角的三角函数的应用等，解题关键是找出界点值并进行求解．
21．（2022·河北承德·二模）如图，四边形BODE是周长为4的菱形，∠E＝60°，以O为圆心，OD长为半径作弧交BO的延长线于点C，过点C作CA⊥BC交BD的延长线于点A，P为AC的中点．
(1)求PD的长；
(2)求证：直线PD是弧DC的切线；
(3)直接写出扇形COD的面积．
【答案】(1)PD=；
(2)见解析
(3)扇形COD的面积为．
【解析】
【分析】
（1）证明△BOD和△BED都是边长为1的等边三角形，求得AC=2，利用圆周角定理证明△ACD是直角三角形，利用直角三角形斜边的性质即可求解；
（2）证明△OCP≌△ODP(SSS)，推出∠OCP=∠ODP=90°，即可证明结论；
（3）利用扇形面积公式即可求解．
(1)
解：∵四边形BODE是周长为4的菱形，∠E＝60°，
∴△BOD和△BED都是边长为1的等边三角形，
∴∠CBD=∠BOD=∠BDO=60°，BO=OD=BD=OC=1，
∵CA⊥BC，
∴∠A=30°，
∴AC==2，
连接DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，则△ACD是直角三角形，
∵P为AC的中点，
∴PD=AC=；
(2)
证明：连接DC，OP，
∵△ACD是直角三角形，且P为斜边AC的中点，
∴PC=PD，
∵OD=OC，OP=OP，
∴△OCP≌△ODP(SSS)，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴直线PD是弧DC的切线；
(3)
解：∵∠BOD=60°，OD=OC=1，
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积==．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定，扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022·河北保定·二模）如图1，将半径为2的剪掉一个的扇形之后，得到扇形AOB，将扇形AOB放置在数轴上，使点B与原点重合且OB垂直于数轴，然后将图形沿数轴正方向滚动，直至点A落在数轴上时停止滚动．记优弧AB与数轴的切点为点P，过点A作直线l平行于数轴，当l与弧AB有两个公共点时，记另一个公共点为点C，将直线l绕点C顺时针旋转，得到直线m，交数轴于点Q．
(1)当点A落在数轴上时，其对应数轴上的实数为___________；
(2)当直线l经过圆心O时，线段PQ的长度为___________；
(3)当CQ与扇形AOB所在圆相切于圆的左侧时，求弦AC的长及点Q对应数轴上的实数；
(4)直接写出整个运动过程中PQ长度的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）滚动的距离即对应数轴上的实数，求优弧AB的长度即可；
（2）分两种情况：点A在点C左边时，；点A在点C右边时，；
（3）连接，作于点M，则M为中点，求出，利用角的度数和等于证明为直径，连接，则数轴，优弧所对圆心角为，作数轴于点N，，求出点对应的实数；
（4）当m切圆于右侧时，最大；
(1)
解：当点A在数轴上时，滚动的距离为，对应数轴上的实数为，
故答案是：；
(2)
第一种情况，如图，
直线l过圆心O，过点C作于点D，
数轴与相切，
，
，
，
，
四边形OPDC是矩形，
，
，
，
在中，，
，
；
第二种情况，如图，
同上可得，；
综上可得PQ的长为：或；
(3)
如图，连接，可知．
∵与相切，
∴，
∴，
作于点M，则M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即为直径，
连接，则数轴，
优弧所对圆心角为，
∴点P对应的实数为，
作数轴于点N，则，
∴，
∴点Q对应的实数为；
(4)
如图，
当m切圆于右侧时．最大，．
【点睛】
本题考查圆的综合题，涉及知识点：弧长的计算、特殊的三角函数值的计算、垂径定理、解直角三角形，解题关键构造需要的直角三角形和矩形．
23．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，是边上一点，点在射线上，，以点为圆心，长为半径作，交于点，连接，设．
(1)________，________，当点在上时，求的值；
(2)为何值时，与相切？
(3)当时，求阴影部分的面积；
(4)若与的三边有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)5，1，
(2)
(3)
(4)或
【解析】
【分析】
（1）先由勾股定理求得AB，再由BD＝BA，可得BD的长，从而CD的长可求；当点Q在⊙P上时，如图1，根据PQ＝PD推得BP＝PD，从而列出方程，解得x的值即可；
（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，由正弦得出关于x 的方程，解得x的值即可；
（3）如图3，连接PE，利用S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE即可得出答案；
（4）由图1和图2即可得出答案．
(1)
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵BD＝BA，
∴BD＝5，
∴CD＝1．
故答案为：5，1；
当点Q在⊙P上时，如图1，
PQ＝PD．
∴BP＝PD，
即4﹣x＝x+1．
解得x＝．
(2)
解：作于点，则∠BFP＝90°，当时，与相切，如图2．
则，BP＝4－x，
∵，
∴．
解得．
经检验，解得是分式方程的解，且满足题意．
∴当时，与相切．
(3)
解：如图3，连接，
∵在中，，．
∴cos∠EPC＝，
∴，
∴，
∴．
(4)
解：由图2可知，当时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；
由图1可知，当＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点．
∴x的取值范围为：或＜x＜4．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质、直线与圆的位置关系、扇形与三角形的面积计算、列分式方程解应用题、解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
24．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）在扇形AOB中，半径，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．
(1)如图，若，且与弧AB所在的圆相切于点B．
①求的度数；
②求OP的长．
(2)如图，与弧AB相交于点D，若点D为弧AB的中点，且，直接写出弧AB的长．
【答案】(1)①；②；
(2)弧AB的长为．
【解析】
【分析】
（1）①由折叠得到，再由直线与圆相切得，根据三角形的内角和定理可求得答案；
②过点O作于点H，由①得，由特殊三角形的边角关系可求得答案；
（2）连接OD，AD，设，根据等腰三角形的性质和平行线的性质，再由三角形的内角和建立方程，求解可得，从而有，由弧长公式可求得答案．
(1)
解：①因为将沿PB折叠得到，
所以，
又与弧AB所在的圆相切于点B，
所以，
所以，
又，
所以
，
所以；
②过点O作于点H，
由①得，
所以三角形OBH是等腰直角三角形，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以；
(2)
解：弧AB的长为．理由如下：
连接OD，AD，设，
则，
又点D为弧AB的中点，
所以AD=BD，
又OA＝OB＝OD，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以DP＝DB，
所以DP＝DA，
所以，
所以，
所以，
在三角形OBD中，，，
所以，
解得，
所以，
所以弧AB的长为．
【点睛】
本题考查三角形的折叠时的边、角关系，直线与圆的位置关系，以及等腰三角形，直角三角形的性质，解决问题的关键在于熟练掌握以上性质.
25．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，已知的半径为2，四边形ABCD内接于，，点A平分，延长OD至点M，使得，连接AM．
(1)当点C在优弧BD上移动时，AM的位置_______；（选填“改变”或“不变”）
(2)判断AM与的位置关系，并说明理由；
(3)当点C在优弧BD上移动时，若，求的长．
【答案】(1)不变
(2)AM与相切，理由见解析
(3)或
【解析】
【分析】
（1）当点C在优弧BD上移动时，由其他点的位置不发生变化即可得出结果；
（2）连接OA，由圆内接四边形及圆周角定理得出，，结合图形，利用各角之间的关系即可得证明；
（3）分两种情况进行分析讨论，作出相应图形，然后根据各角之间的数量关系及弧长公式求解即可得．
(1)
解：当点C在优弧BD上移动时，
点O，B,A，D的位置不会发生变化，
∴AM的位置不变，
故答案为：不变；
(2)
AM与相切．
理由：连接OA，
∵四边形ABCD内接于，，
∴，
∴
∵点A平分弧BD，
∴，
又∵在中，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴与相切．
(3)
情况一（如图1所示），连接OG，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∵，，
弧CD的长为．
情况二（如图2所示），连接OC，
∵在中，，
∴，
∴在中，，
∵，，
弧CD的长为．
综上可得：弧CD的长为或．
【点睛】
题目主要考查直线与圆的位置关系，圆周角定理，弧长公式，切线的判定及性质等，理解题意，综合运用这些知识点作出相应图形是解题关键．
26．（2022·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为．
(1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________；
(2)探究：当秒时，
①连接、，判断是否垂直；
②求半圆O与矩形重叠部分的面积；
(3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离．
【答案】(1)4；
(2)①不垂直；②
(3)或
【解析】
(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴当A，D，E组成直角三角形时，且AE是斜边时，点D在半圆O上．
∴当点E与点C重合时，点D开始落在半圆O上．
∵AB=3，BC=4，点E的运动速度是每秒1个单位，
∴（秒），．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∴此时半圆O的半径为．
故答案为：4；．
(2)
解：①如下图所示，取BE的中点为P，连接OP，OB，OC．
∵秒，
∴．
∵点P是BE中点，
∴．
∵BC=4，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AE是半圆O的直径，
∴点O是AE中点．
∴OP是△ABE的中位线．
∴，．
∴∠OPE=∠ABC=90°．
∴∠OPB=180°-∠OPE=90°．
∵AB=3，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴OB与OC不垂直．
②如下图所示，设半圆O与AD的另一交点为M，过点O作ON⊥AM于N．
∵，AB=3，
∴．
∴∠AEB=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABC=90°．
∴∠OAM=∠AEB=60°，．
∴．
∵ON⊥AM，
∴．
∵OA=OM，
∴△OAM是等边三角形．
∴∠AOM=60°，．
∴，∠EOM=180°-∠AOM=120°．
∴．
∴半圆O与矩形重叠部分的面积为．
(3)
解：如图1所示，当t=0时，点E与点B重合，此时半圆O与BC相切于点B，与AD相切于点A，连接AC，过点B作BF⊥AC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴，．
∴．
∴此时点E到的距离是．
如图2所示，当半圆O与CD相切于点F时，连接FO并延长交AB于G，连接AC，过点E作EQ⊥AC于Q，设半圆O的半径为x．
∴OA=OE=OF=x．
∵AE是半圆O的直径，
∴．
∵半圆O与CD相切于点F，
∴∠OFC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠ABE=∠BCD=90°．
∴∠OGA=∠OFC=90°，四边形BGFC是矩形．
∴，∠OGA=∠ABE，GF=BC．
∴．
∴．
∵AB=3，BC=4，
∴，GF=BC=4．
∴OG=GF-OF=4-x．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AC=5，
∴．
∴此时点E到的距离是．
∴若半圆O与矩形的边相切时，点E到的距离是或．
图1 图2
【点睛】
本题考查矩形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理逆定理，解直角三角形，特殊角的三角函数值，平行线的判定定理和性质，等边三角形的判定定理和性质，三角形面积公式，扇形面积公式，切线的性质定理，平行线分线段成比例定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．
27．（2022·河北张家口·一模）如图，扇形和扇形的圆心角均为，其中扇形保持不动，扇形绕点O旋转，己知．
(1)如图1：连接，
①若与所在圆相切，求的度数；
②当的面积最大时，求的长；
(2)如图1：连接，当点C落在上时，直接写出扇形与扇形重合部分的面积．
【答案】(1)①；②
(2)或
【解析】
【分析】
（1）① 根据切线性质，利用直角三角形锐角三角函数特殊值求角度即可求得答案．
②根据题意，当的面积最大时，则，根据勾股定理即可求得答案．
（2）过点作于点，利用锐角三角函数特殊三角函数值求角度的方法求出，则当点在上和当点在上两种情况讨论， 求出即可求出答案．
(1)
解：①若与所在圆相切，
则，
，
在中，，
，
，
的度数为．
②，当时，点到的距离最大，
当的面积最大时，，
，
，
即当的面积最大时，的长为：．
(2)
当点落在上时，过点作于点，则，
，，
，
在中，
，
，
若点在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合部分的面积为，
若点在上，如图所示：
则，
扇形与扇形重合的部分的面积为，
综上所述，当点落在上时，扇形与扇形重合的部分的面积为或．
【点睛】
本题考查了切线的性质、锐角三角函数特殊三角函数值求角度、求扇形的面积知识点，熟练掌握锐角三角函数特殊三角函数值求角度及扇形的面积公式，结合分类讨论思想是解题的关键．
28．（2022·河北·二模）如图，点P是△ABC内一点，，垂足为点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作交AB于点M，连接PM，与交于点F，过点P作交BC于点N．
(1)求证：；
(2)已知，．
①通过计算比较线段PN和哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)见详解
(2)①PN更长；②S阴影=
【解析】
【分析】
（1）根据，得出∠PDN=90°，根据旋转性质得出PD=PE，∠DPE=90°，可证∠EPM=∠DPN，然后利用ASA证明 即可；
（2）①根据，得出EM=DN=，利用勾股定理可求，然后利用锐角三角函数求出∠DPN=30°，求出圆心角∠DPF=90°-30°=60°，利用弧长公式求出即可；②根据，得出∠EPM=∠DPN=30°，EP=DP=3，利用割补法求S阴影=S△EPM-S扇形PEF即可．
(1)
证明：∵，
∴∠PDN=90°，
∵将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到PE，
∴PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠EPM+∠MPD=90°，
∵，
∴∠MEP=∠NDP=90°，
∵，
∴∠MPD+∠DPN=90°，
∴∠EPM=∠DPN，
在△PEM和△PDN中，
，
∴（ASA）；
(2)
解：①∵，
∴EM=DN=，
在Rt△PDN中，
，
∴sin∠DPN=，
∴∠DPN=30°，
∴∠DPF=90°-30°=60°，
∴，
∵；
∴PN更长；
②∵，
∴∠EPM=∠DPN=30°，EP=DP=3，
∴S阴影=S△EPM-S扇形PEF=．
【点睛】
本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积，弧长公式，扇形面积公式是解题关键
29．（2022·河北保定·一模）如图1和图2，在四边形中，，，，，，，点E是上一动点．
(1)________；
(2)如图1，当平分时，求的面积；
(3)如图2，点E从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时，点F从点C出发，以的速度沿边在C，B间往返运动．当点E到达点D时停止运动，点F也随之停止．连接，，，设与交于点G，点E的运动时间为．
①当时，判断的外心与的位置关系，并说明理由；
②若，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①的外心在上，见解析；②或或
【解析】
【分析】
（1）过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，可得到四边形ABPD是矩形，从而得到BP=AD=5cm，PD=AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）先证得．再利用的面积为，即可求解；
（3）①根据题意可得当时，，．可得到，从而得到四边形是矩形．进而得到是直角三角形．即可求解；
②先证得△DEG∽△FCG，可得，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
(1)
解：如图，过点D作DP⊥BC于点P，则∠BPD=90°，
∵，，
∴AB⊥AD，
∴∠A=∠B=∠BPD=90°，
∴四边形ABPD是矩形，
∴BP=AD=5cm，PD=AB，
∴PC=BC-BP=2cm，
∴；
故答案为：；
(2)
解：，
．AD⊥PD，
∵平分，
∴．
．
．
的面积为．
(3)
解：①的外心在上．理由如下：
当时，，．
．
∴AE=BF，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
，即是直角三角形．
的外心在上；
②∵AD∥BC，
∴△DEG∽△FCG，
∴，
∵，
∴，
根据题意得：点F从点C运动到点B的所用的时间为，点E运动到D的所用的时间为5s， AE=tcm，
∴DE=（5-t）cm，
当时，CF=，
∴，解得：；
当时，CF=（14-4t）cm，
∴，解得：；
当时，CF=（4t-14）cm，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外心的位置，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
30．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．
(1)求的半径；
(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；
(3)①点P的运动路径长是___________；
②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．
【答案】(1)4
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）根据为的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与所围成的弓形的面积等于，即可求解；
（3）①由BC=4，，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；②设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，分两种情况讨论：当点D在线段OC上时，当点D在线段OA上时，即可求解．
(1)
解：∵为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵，，
∴，
∴BC=4，
∴的半径为4；
(2)
解：如图，设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，
由（1）得：OA=OM=4，
∵，
∴OA=AM=OM，
∴△OAM是等边三角形，
∴∠OAM=60°，AP=2，
∵AP=PQ，
∴△APQ为等边三角形，
∴，AQ=2，
∴半圆P与所围成的弓形的面积等于；
(3)
解：①如图，连接OP，OM，ON，
∵BC=4，，
∴当M与点B重合时，点N与点C重合，
∴点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，
由（1）得：OA=OM=ON=4，BC=4，
∵，
∴ON=AM=OM，
∴△ONM是等边三角形，
∴∠NOM=60°，
∴，
∴点P的运动路径长是；
故答案为：
②如图，设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，
当点D在线段OC上时，PD⊥OC，
由（2）得：PD=2，由①得：，
∴，
∴；
当点D在线段OA上时，PD⊥OA，
同理，
综上所述，与夹角的正切值为．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
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