福建省泉州四校2022-2023学年高三数学上学期10月期中联考试题（Word版附解析）

晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中

2022-2023学年上学期十月高三联考

数学试卷

（考试时间：120分钟    满分：150分   考试范围：高考范围）

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     若复数，则(    )

A.  B. 复数在复平面上对应的点在第二象限
C. 复数的实部与虚部之积为 D.

2.     设，则是的条件．(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要

3.     设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.     某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知，，，函数若，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.     已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知奇函数的定义域为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知函数，若在上单调递增，求实数的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.     已知，，则(    )

A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为D. 若向量与向量的夹角为钝角，则

10. 已知，，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数(    )

A. 是偶函数 B. 其图象关于直线对称
C. 在上是减函数 D. 在区间上的值域为

12. 如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论正确的是(    )

A. 有无数个点满足
B. 当点在棱上运动时，的最小值为
C. 若，则动点的轨迹长度为
D. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 在的展开式中，常数项为          用数字作答
14. 曲线：在处的切线方程为          ．
15. 已知点，，若，则点到直线：的距离的最小值为          ．
16. 关于函数，，下列四个结论中正确的为          ．

在上单调递减，在上单调递增；

有两个零点；

存在唯一极小值点，且；

有两个极值点．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题0分
    在锐角中，角，，所对的边分别为，，已知．
    求；
    当，且时，求．
    
    
    
    
    
     
18. 本小题分

已知等差数列中，公差，，．

求数列的通项公式；

为数列的前项和，求．





 

19. 本小题分
    已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的离心率为，焦距为．
    求椭圆的方程；
    设椭圆的左焦点为，求线段的长及的面积．
    
    
    
    
     
20. 本小题2分
    如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点是的中点．
    直线与平面所成角的正弦值．
    点到平面的距离．

21. 本小题分
    年月日，联合国教科文组织宣布月日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确，则闯关成功若小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立．
    求小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率；
    记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，求的分布列及小明闯关成功的概率．
    
    
    
     
22. 本小题分

已知函数

讨论的单调性

当时，，求实数的取值范围．
 

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2022-2023学年上学期十月高三联考

数学试卷参考答案

1. 解：复数，
   ，故A错误；
   复数在复平面上对应的点坐标为，在第三象限，故B错误；
   复数的实部与虚部之积为，故C正确；
   ，故D错误．

故选：．

2. 解：由解得，

，

是的充分不必要条件．

故选：．

3. 解：，，，
．
故选B．

4. 解：设表示“开关第一次闭合后出现红灯”，表示“开关第二次闭合后出现红灯”，
开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，
，，
在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为：
．
故选：．

5. 解：由知二次函数对称轴为，
即，所以，
又且，在对称轴同侧，
故函数在上单调递减，
则抛物线开口方向朝上，知，
故选A．

6. 解：，，，又，，，
，，
则，
故选：．

7. 解：由是奇函数可知，且当时，，
又因为，故，因此函数的周期为，
故．
故选C．

8. 本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，

把代入函数解析式，求导后得到，，利用点斜式方程得答案；
求出原函数的导函数，由在上恒成立，得在上恒成立，分离参数后利用函数的导数求解函数的最值，即可求解实数的取值范围．选D

9. 解：由，得，不正确
由，，，B正确
，当时，取得最小值，C正确
当时，即，得，当与反向时，，
故若向量与向量的夹角为钝角，则或，不正确．

10. 解：：由题意可知：，，
所以，故A不正确；
：，当且仅当时取等号，即，，
，故B正确；
：，当且仅当时取等号，则，故C不正确；
：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选BD．

11. 解：函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，
所以，
对于，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则为奇函数，故A错误；
对于，令，求得，为最大值，可得其图象关于直线对称，故B正确；
对于，在上，，在上是减函数，故C正确；
对于，在区间上，，，的值域为，故D正确．
故选：．

12. 解：对于选项A：在正方体中，侧面，
侧面，则，
又因为，平面，平面，
所以平面，可知当在线段上时，有，
故存在无数个点满足，故A正确；
对于选项B：旋转平面，使之与平面共面，如右图：
连接交于，
此时最小值为，
故B错误；
对于选项C，当点在平面内时，由面，面，，所以有，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，从而动点轨迹长度为，所以C正确．
对于选项D：由于，据异面直线所成角的定义得到即为所求角，
设与交于点，若在线段上，
，
，故D错误．

故选：

13. 解：在的展开式中，通项公式为：
，令，解得；
所以展开式的常数项为．
故答案为：．

14. 解：，，，
曲线在处的切线的斜率为：，
曲线在处的切线的方程为：，
故答案为．

15. 解：设点的坐标为，则，，
，
，整理得点的轨迹为：，
点到直线的最短距离为，则可得点到直线的距离的最小值为．
故答案为．

16. 解：，，，
设，

当时，，，则，单调递增；

当时，，，则，单调递增；
在上单调递增，

又，

存在，使得，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，

函数有一个极小值点，且

且，则，故错误，正确；
存在，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

又，，，
由函数零点的存在性定理可知，函数在，各存在一个零点，故正确；
故答案为．

17. 解：由已知可得所以．
因为在中，，
所以．
因为，所以．
因为是锐角三角形，所以，．
所以
．
由正弦定理可得：，
所以．

18. 解：等差数列中，公差，
，，可得，
即，，，
由于，可得，，
则，
所以；
当时，，
；
当时，，


．
所以．

19. 解：设椭圆的半焦距为，离心率为，
由题意可得，，即，
可得，，
可得椭圆的方程为；
联立，可得，
设，，
则，，
所以
，
直线的距离为，
则的面积为．

20. 解：四边形为菱形，
，
又面，，，两两垂直，
以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可知，，，且为中点，
，，，，，，
，，，
设面的法向量为，
，

，令，则，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
由可知，面的一个法向量为，
点到平面的距离，
点到平面的距离为．

21. 解：小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为，，，
各题回答正确与否相互独立．
小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率为：

记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，
则的可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：

小明闯关成功的概率．

22. 解：函数定义域为，，
当时，，，在上单调递减，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，由知，在上单调递减，在上单调递增．，
对任意恒成立，记，
则，，令，得，
令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，
，实数的取值范围是．