湖北省武汉市第一中学2022-2023学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附答案）
展开武汉市第一中学2022-2023年度上学期十月月考
高三数学试卷
考试时间：2022年10月23日上午07：50-09：50
试卷满分：150分
一､单选题
1.若，则（）
A. B.C. D.
2.已知，定义且，则（）
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则（）
A. B. C.1 D.e
4.设函数，则下列函数中为偶函数的是（）
A. B. C. D.
5.已知，则（）
A. B.
C. D.
6.已知点在单位圆上，，若，则的最小值是（）
A.2 B.3 C. D.4
7.已知函数的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（）
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二､多选题
9.数列的前项和为，则有（）
A. B.为等比数列
C. D.
10.设的内角所对的边长分别为和分别为的面积和外接圆半径.若，则选项中能使有两解的是（）
A. B. C. D.
11.函数在区间上的大致图象可能为（）
A.B.
C.D.
12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（）
A.当时，
B.函数有2个零点
C.的解集为
D.，都有
三､填空题
13.设，则__________.
14.如图，在中，为的中点，若与的夹角为，则__________.
15.在中，角的对边分别为，已知边上的高为，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
16.已知函数在（为自然对数的底）内有零点，则的最小值为__________.
四､解答题
17.已知各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.
18.如图，在平面四边形中，.
（1）若，求的面积；
（2）若，求.
19.北苑食堂为了了解同学在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据（假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一），如下表所示.
学生数（人） | 25 | 10 | ||
打饭时间（秒/人） | 10 | 15 | 20 | 25 |
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为秒.
（1）确定的值；
（2）若各学生的结算相互独立，记为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求的分布列及数学期望.（注；将频率视为概率）
20.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为.设M，N分别为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
22.已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）函数在处有极大值，求a的取值范围.
参考答案
1-8BCBDBABD
9.ABD 10.AD11.ABD12.ACD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）因为是正数等比数列，且
所以，即分解得，
又因为，所以，所以数列的通项公式为；
（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以，
所以
.
18.（1）由，可得，又，
故，故；
（2）设则，
在中，由正弦定理可得，
即，
∴，即，
∴
故，
又，解得，
又由正弦定理有，
故.
19.（1）因为第65百分位数为，所以，
所以；
（2）由已知得
打饭时间为10秒的概率为：，打饭时间为15秒的概率为：，
打饭时间为20秒的概率为：，打饭时间为25秒的概率为：，
由题可知的可能取值为，
，，，
分布列如下
0 | 1 | 2 | |
.
20.（1）过点､分别做直线､的垂线､并分别交于点､.
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，
而，∴平面，而平面.
（2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴.
21.（1）由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
（2）设直线，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
22.解：（1），，
当时，；
当时，；在上递减，在上递增.
∴的极小值也是最小值为.
（2）.设，
则.
当时，，在上单调递增，
时，；时，
在上递减，在上递增，
是的极小值点，与题意矛盾
当时，在上是增函数，且
①当时､时，.从而在上是增数，
故有.所以在上是增函数，与题意矛盾
②当时，若，则，从而在上是减函数，
故有，所以在上是增函数，
若，由（1）知，，则
又，
所以，存在使得.从而当时
所以，在上是减函数，从而，在上减函数，故是的极大值点，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围为.
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